黑龙江省海林市高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 双曲线的标准方程课件2 新人教A版选修11.ppt

第二章圆锥曲线与方程 2 2双曲线2 2 1双曲线及其标准方程 1 了解双曲线的定义 标准方程 2 掌握用待定系数法求双曲线标准方程中的a b c 能根据条件确定双曲线的标准方程 新知视界1 双曲线的定义把平面内与两个定点f1 f2的距离的差的绝对值等于常数 小于 f1f2 的点的轨迹叫做双曲线 这两个定点叫做双曲线的焦点 两焦点间的距离叫做双曲线的焦距 2 平面内与两个定点f1 f2的距离的差等于常数 小于 f1f2 的点的轨迹是不是双曲线 提示 不是 是双曲线的某一支 在双曲线的定义中 p为动点 f1 f2分别为双曲线的左 右焦点 则 pf1 pf2 2a 曲线只表示双曲线的右支 pf1 pf2 2a 曲线只表示双曲线的左支 2 双曲线的标准方程 提示 在x2 y2的系数异号的前提下 如果x2项的系数是正的 那么焦点在x轴上 如果y2项的系数是正的 那么焦点在y轴上 对于双曲线 a不一定大于b 因此 不能像椭圆那样用比较分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上 尝试应用1 动点p到点m 1 0 n 1 0 的距离之差的绝对值为2 则点p的轨迹是 a 双曲线b 双曲线的一支c 两条射线d 一条射线答案 c 答案 a 4 点 0 3 是双曲线ky2 8kx2 8的一个焦点 则k的值为 答案 1 点评 1 本题三角形中的角的关系转化为边的关系 为利用双曲线的定义创造了条件 2 由于动点m到两定点a b的距离的差为常数 而不是差的绝对值为常数 因此 其轨迹只能是双曲线的一支 这一点要特别注意 解析 1 由已知得 pm pn 2 mn p点的轨迹是一条射线 2 设f1 5 0 f2 5 0 则由双曲线的定义知 pf1 pf2 2a 8 而 pf2 15 解得 pf1 7或23 答案 1 d 2 d 分析 可先设出双曲线的标准方程 再构造关于a b的方程组 求得a b 从而求得双曲线的标准方程 注意对平方关系c2 a2 b2的运用 点评 求双曲线的标准方程一般采用待定系数法 若明确焦点位置时 可直接设出双曲线方程 若无法判定双曲线的焦点位置 分两种情况讨论 或者将双曲线方程设为mx2 ny2 1 mn 0 同时在解题时应注意方法技巧的灵活运用 如图1所示 在 f1pf2中 由余弦定理 得 点评 在解决与焦点三角形有关的问题的时候 首先要注意定义条件 pf1 pf2 2a的应用 其次是要利用余弦定理 勾股定理等知识进行运算 在运算过程中要注意整体思想的应用和一些变形技巧的应用 类型四双曲线实际应用 例4 如图2所示 某村在p处有一堆肥 今要把此堆肥料沿道路pa或pb送到成矩形的一块田abcd中去 已知pa 100m pb 150m bc 60m apb 60 能否在田中确定一条界线 使位于界线一侧的点沿道路pa送肥较近而另一侧的点则沿pb送肥较近 如果能 请说出这条界线是什么曲线 并求出它的方程 分析 首先确定分界线上的任一点应是沿pa pb两条路线距离相等的点 然后再进行讨论即可 解 田地abcd中的点可分为三类 第一类沿pa送肥较近 第二类沿pb送肥较近 第三类沿pa和pb送肥一样远近 由题意知 界线是第三类点的轨迹 设m是界线上的任一点 则 pa ma pb mb 即 ma mb pb pa 50 定值 故所求界线是以a b为焦点的双曲线的一支 点评 有关双曲线的实际应用题 关键是审清题意 根据题目中所给的条件列出方程或等式 如果没有坐标系要先建系 再根据双曲线的定义用待定系数法可解 迁移体验4如图3 b地在a地的正东方向4km处 c地在b地的北偏东30 方向2km处 河流的沿岸pq 曲线 上任意一点到a的距离比到b的距离远2km 现要在曲线pq上选一处m建一座码头 向b c两地转运货物 经测算 从m到b m到c修建公路的费用都是a万元 km 那么修建这两条公路的总费用最低是 答案 a 思悟升华1 双曲线的定义 1 在定义中 必须是一个动点到两定点距离的差的绝对值 而不是距离的差 2 要注意常数要小于 f1f2 当常数等于 f1f2 时 轨迹为两条射线 当常数大于 f1f2 时 轨迹不存在 在学习中与椭圆类比记忆 3 注意常数不能为0 为0时轨迹为线段f1f2的垂直平分线 2 无论焦点在什么轴上 a b c均满足c2 a2 b2 与椭圆要区别记忆 3 双曲线标准方程的求法 1 定义法 根据已知条件 若判断出点的轨迹为