初一数学下各章节知识点例题总结.doc

人教版 七年级数学（下册）1第五章 相交线与平行线1（一）知识总结1（二）例题精讲1知识点一：相交线1知识点二：平行线2二、相交线与平行线 规律总结4（一）规律总结4（二）例题精讲4考点一：垂线的常考题型4考点二：平行线的判定与性质6考点三：平行线的判定与性质在实际生活中的应用7第六章 平面直角坐标系9一、平面直角坐标系 知识总结9（一）知识总结9（二）例题精讲9知识点一： 平面直角坐标系的相关概念9知识点二： 平面直角坐标系的应用11二、平面直角坐标系(规律总结)13（一）规律总结13（二）例题精讲13考点一：平面直角坐标系中的数形结合思想13考点二：直角坐标系中的面积问题16第七章 三角形18一、认识三角形 知识总结18（一）知识总结18（二）例题精讲18知识点一：三角形三边关系19知识点二：与三角形有关的角20知识点三： 三角形的高、中线和角平分线22二、认识三角形 规律总结24（一）规律总结24（二）例题精讲24考点一：三角形中的转化思想24考点二：三角形中的分类讨论思想26三、多边形及其内角和 知识总结27（一）知识总结27（二）例题精讲28知识点一： 多边形及其内角和, 外角和28知识点二： 图形的镶嵌29四、多边形及其内角和 规律总结30（一）规律总结30（二）例题精讲30考点一：多边形中的转化思想.31考点二：镶嵌中的方程思想.32第八章 二元一次方程组33一、二元一次方程组的概念及解法33（一）知识总结33（二）例题精讲34知识点一：二元一次方程(组)的概念34知识点二：解二元一次方程 组 代入消元法35知识点三：解二元一次方程 组 加减消元法37二、二元一次方程组的概念与解法 规律总结38（一）规律总结38（二）例题精讲39考点一：整体法解二元一次方程组39考点二：综合其他知识给出方程组40（一）知识总结42（二）例题精讲42知识点一：审题列方程42知识点二：创新情景44四、二元一次方程组的应用 规律总结45（一）规律总结45（二）例题精讲45考点一：由对话形式给出信息45考点二：其他形式给出信息48第九章 不等式与不等式组50一、一元一次不等式与一元一次不等式组 知识总结50（一）知识总结50（二）例题精讲50知识点一：一元一次不等式(组)的概念和解法50知识点二：实际问题52二、一元一次不等式与一元一次不等式组 规律总结53（一）规律总结53（二）例题精讲53考点一：用比较法比较大小53考点二：一元一次不等式(组)参数范围的确定55考点三：不等式(组)的应用57第十章 数据收集与整理59一、数据收集与整理（知识总结）59（一）知识总结59（二）例题精讲59知识点一：统计调查59知识点二：直方图61二、数据收集与整理 规律总结63考点一：对相关概念的理解63考点二：从图中获取相关信息64七年级数学讲义第五章 相交线与平行线一、相交线与平行线 知识总结（一）知识总结 （二）例题精讲 知识点一：相交线 知识点二：平行线 知识点一：相交线A、夯实基础如图，已知直线AB、CD都经过O点，OE为射线，若135 255，则OE与AB的位置关系是_ 解：135， 255（已知） AOE18012 1803555 90OEAB (垂直的定义)B、双基固化 1、过直线 外 一点 做已知直线的 垂线。2、垂线 是一条什么线呢？3、点 P 和 垂足 之间的部分，是什么？4、这些线段中，哪一条最短？如图：P为直线 l 外一点，点A、B、C在直线 l 上， PA=3cm,PB=4cm,PC=6cm,则点 P 到直线 l 的距离 （ C ）A 等于 3cmB 小于 3cmC 不大于 3cmD 等于 5cmC、能力提升 AOB与BOC是一对邻补角, OD平分AOB, OE在BOC内部, 并且2BOE=COE, DOE=72.COE= 72 解:运用方程,设BOE=x,则其他角可相应表示为COE=2x, BOC=3x,AOB=180-3x DOE=BOD+BOE 求得未知数x=36 知识点二：平行线 A、夯实基础如图直线ab, 直线c是截线, 如果1=50那么2=( C ) A 150 B 140C 130 D 120 B、双基固化 下列A、B、C、D四幅图案中，能通过平移图案（1）得到的是（ ）两个图形具有平移关系应满足：（1）两个图形的大小相等，形状相同；（2）对应点所连接的线段互相平行、相等（1）A B C DC、能力提升 如图所示,已知ABCD,分别探索下列四个图形中P与A,C的关系,请你从所得的四个关系中任选一个加以说明(1) (2) (3) (4) (1)P=360-A-C,(2)P=A+C, (3) A +P + 1 =C+1,P=C-A, (4) C +P + 1 =A+1, P=A-C 如图所示,已知ABCD,分别探索下列四个图形中P与A,C的关系,请你从所得的四个关系中任选一个加以说明(1) (2) (3) (4) (1)P=360-A-C,(2)P=A+C,(3)P=C-A,(4)P=A-C 二、相交线与平行线 规律总结（一）规律总结 平面内两条直线的位置关系是“空间与图形”所要研究的基本问题，垂直作为两条直线相交的特殊情形，与它有关的概念和结论是学习下一章“平面直角坐标系”的直接基础.本章重点是：平行线的判定公理及两个判定定理难点是：理解由判定公理推出判定定理的证明过程平行线的性质，是学生在已学习相交线、平行线的定义，平行线的判定基础上来学习的，同时它是后面研究平行四边形的性质重要理论依据，在教材中起着承上启下的作用。考查用平行线的性质进行简单的推理和计算。理解平行线的判定方法和性质区别。（二）例题精讲 考点一：垂线的常考题型考点二：平行线的判定与性质考点三：平行线的判定与性质在实际生活中的应用ACBD图考点一：垂线的常考题型A、夯实基础如图所示， BAC=，ADBC，垂足为D，则下列结论:AB与AC互相垂直; AD与AC互相垂直;点C到AB的垂线段是线段AB; 点A到BC的距离是线段AD;线段AB的长度是点B到AC的距离;线段AB是点B到AC的距离.其中正确的有( )A.2 B.3 C.4 D5【解析】:根据垂直的特征:交角为直角，可得正确， 错误.C点到AB的垂线段应是AC，故错误.点A到BC的距离是指线段AD的长度，故错误. 符合定义，正确，故错误. 【解答】A.B、双基固化如图，OC是AOB的角平分线，点P是OC上一点. （1）分别画出点P到AOB两边的垂线段； （2）比较点P到AOB两边距离的大小； （3）在OC上（除O，C外）任选点D，重复(1)、(2)步骤，并根据(2)的结果完成以下猜想:角平分线上的点到角两边的距离_.【解析】根据垂线段的定义，画垂线段的实质是画垂线，再取点P与垂足间的线段. (1)如图，PE，PF即为所求. (2)点P到AOB两边的距离相等. (3)相等.C、能力提升已知点O直线AB上一点，OD平分， OE平分，试说明.证明 ：点O在直线AB上， ( ) OD平分， OE平分， _，( )即.( ).【解析】90推垂直, 垂直推90 都用垂直定义.【解答】平角定义 AOC 角平分线定义AOC 垂直定义考点二：平行线的判定与性质A、夯实基础完成下面的推理，并在括号中写出相应的根据如下图所示ADEDEF(已知)AD_() 又EFDC(已知)EF_()_ ()【解析】图中ADE和DEF没有直接给出，所以应自己画出辅助线，如下图此时就可以看一看ADE和DEF是什么关系的角，不难看出它们是一对内错角【解答】解：EF 内错角相等，两直线平行 BC 同位角相等，两直线平行 AD BC 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行点评：本题考察平行关系的判定与性质B、双基固化如图， AB/CD， 若ABE=120， DCE=35， 则有BEC=_度. 图【解析】要求BEC的度数，可过E点作EF/AB，根据AB/CD，可得EF/CD，这样可借助平行线的性质找到BEC与ABE和DCE之间的关系.从而求出BEC的度数.【解答】作EF/AB，因为AB/CD，所以EF/CD，所以ABE+BEF=180，FEC=C，所以BEC=ABE+DCE=120+35=155.【点评】当所求的角和两已知平行线没有直接关系时，可通过添加平行线，借助平行线的性质解决.C、能力提升已知：如图，直线ABCD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，BEF的平分线与DFE的平分线相交于点P说明：P=90 图【解析】根据ABCD，可得到BEF+EFD=180，根据EP、FP分别是BEF和DFE的平分线，可得PEF+PFE=90，进而EPF=90.【解答】因为ABCD，所以BEF+DFE=180又因为BEF的平分线与DFE的平分线相交于点P，所以PEF=BEF，PFE=DFE所以PEF+PFE=（BEF+DFE）=90因为PEF+PFE+P=180，所以P=90【点评】本题在求解过程中，用到三角形的内角和等于180这一性质.考点三：平行线的判定与性质在实际生活中的应用A、 夯实基础 如图，一块不规则的木料，只有AB一边成直线，木工师傅为了在此木料上截出有一组对边平行的一块木板，用角尺在ED处画了一条直线，然后又在PN处用角尺画了一条直线，画完后用锯沿ED，PN锯开就截出了一块有一组对边平行的木料，你认为这样做有道理吗？并说明你的理由。【解答】这样做有道理。根据角尺结构的特点可知，EDCPNM90，即EDCPNM180，所以PNEC（同旁内角互补，两直线平行）。所以木工师傅这样做是有道理的。点评:本题考察平行线的判定与性质在合理用料中的应用.B、双基固化一位学员在广场上练习汽车驾驭，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（ ）A先向左拐30，再向右拐30 B先向右拐50，再向左拐130C先向右拐50，再向左拐130 D先向左拐50，再向左拐130【解析】如图2，由题意：汽车两次拐弯后行驶方向相同，说明不但要求ABCD，而且方向朝同一方向，怎样才能使ABCD呢？则应满足平行的条件（同位角相等；内错角相等；或同旁内角互补）。因此可先将四个选项的图形准确地画出来，再观察判断。故选（A）DBCAC、能力提升 如图所示，潜望镜中的两个镜子是平行放置的，光线经过镜子反射时，入射角等于反射角（它们的余角有13，46），请解释为什么进入潜望镜的光和离开潜望镜的光线是平行的？【解析】因为镜子是平行的，所以可以把它们看成是两条平行线，根据两直线平行，内错角相等，所以34，又因为13，46，所以1346，所以180（13）180（46），即25根据内错角相等，两直线平行，所以进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行的。【点评】本题从平行线的性质“两直线平行，内错角相等”出发，得出了平行线，再利用平行线的条件“内错角相等，两直线平行”判别两直线平行。是平行线的判定与性质在物理光学上的应用.如图，在甲、乙两地之间要修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东45，如果甲、乙两地同时开工，若干天后公路准确接通，乙地所修公路的走向是什么？【解析】因为正北方向的两条直线是平行的，即ab，所以12（两直线平行，内错角相等）。又145，所以245，所以乙地开工的公路走向应为南偏西45。【点评】正确理解方向角的，利用平行线的性质是解此题的关键。第六章 平面直角坐标系一、平面直角坐标系 知识总结（一）知识总结点P有序实数对 (x,y)确定平面内点的位置平面直角坐标系表示点或平移建立平面直角坐标系画两条数轴 垂直 有公共点（二）例题精讲知识点一： 平面直角坐标系的相关概念知识点二： 平面直角坐标系的应用知识点一： 平面直角坐标系的相关概念A、夯实基础在平面直角坐标系中，点P（1，3）位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】B在平面直角坐标系中，点P（0，3）位于（ ）X轴的正半轴； B. x轴的负半轴； C. y轴的正半轴； D. y轴的负半轴.【答案】C【解析】1.各象限内点的坐标的符号特征：第一象限（+，+）； 第二象限（-，+）； 第三象限（-，-）； 第四象限（+，-）；2.坐标轴上点的坐标的特征：X轴的正半轴（+，0）；x轴的负半轴（-，0）；y轴的正半轴（0，+）；y轴的负半轴（0，-）。3.坐标原点O的坐标为（0，0）。B、双基固化已知（a-2）2+(b+3)2=0，试判断点M（-a，-）所在的象限.【分析】由（a-2）2+(b+3)2=0，得a=2，b=-3，所以点M（-2，-）在第三象限.【解析】由（a-2）2+(b+3)2=0，得a=2，b=-3，-a=-2，-=-，即点M的坐标为（-2，-），又-20，-第三边，故有2cm+9cm第三边长, 即11cm第三边长，两边差第三边, 即9cm-2cm第三边长, 也就是7cmbc, 若aa-b, ba-c 由abc 可知,ac, b是正数,故a+bc. 同理a+cb.即ab-c【解答】(1)因为6+810， 所以6，8，10能组成三角形。 (2)因为5+28 , 所以5，8，2不能组成三角形AB、双基固化如图AD是ABC边BC上的中线, 已知: AB=5cm, AC=3cmCB求ABD与ACD周长的差.D解析:有关中线的题目, 常与周长联系, 考查长度的计算.解答: CABD=AB+AD+BD CACD=AC+AD+CD因为BD=CD故CABD -CACD=AB-AC=2cmC、能力提升已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，求这个三角形的腰长图DCBA【解析】如图，设腰为AB, 底为BC，D为AC边的中点根据题意，得AB+AB12，且BC+AB21；或AB+AB21，且+12解得8，17；或14，5显然当=8，=17时，8817不符合定理，应舍去故此三角形的腰长是14cm 注意：本题有陷阱，即在根据题设条件求得结论时，其中可能有一个答案是错误的，即求出的三角形的三边长不满足三角形三边关系，需要我们去鉴别，而鉴别的依据就是三角形三边关系定理及推论知识点二：与三角形有关的角A、夯实基础A点P是ABC内一点，连结BP并延长交AC于D，连结PC，D则图中1、2、A 的大小关系是（ ）PAA 2 1 BA 2 1 21C2 1 A D1 2 A CB解析: 三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的两个内角和.答案: D将一副三角板按图中的方式叠放，则角等于ABCD解析: 作辅助线l上下两个直角边, l4321因为平行故1=2, 3=4(两直线平行内错角相等), =2+3 (对顶角相等) =1+4=45+30=75当然, 量一量也是可以的【答案】AAB、双基固化如图求A+B+C+D+E的度数解析:添加辅助线解答: 法一:延长BE交AC于F. A+B=BFC(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)同理: D+E=FPC故A+B+C+D+E=BFC+FPC+C=180(三角形的内角A和等于180)法二: 连结，(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)(三角形的内角和等于180)点评：敢于添加辅助线C、能力提升已知ABC中，A=60，ABC、ACB的平分线交于点O，则BOC的度数为解：如图2，由BO平分ABC，得1=ABC；由CO平分ACB，得2=ACB所以1+2=(ABC +ACB)=(180-A) =(180-60)=60解析：如图，ABC中，角平分线AD 、BE 、CF相交于点H，过H点作HGAC，垂足为G,那么AHE=CHG？为什么？解答：AD、BE、CF为ABC的角平分线BAC=21, ABC=22=故2AHE=22=BAC+ABC在CHG中，CHG=90-32CHG=180-23=180-BCA=BAC+ABCAHE=CHG；知识点三： 三角形的高、中线和角平分线A、夯实基础下列说法：三角形的高、中线、角平分线都是线段；三角形的三条中线都在三角形内部；三角形的高有两条在三角形的外部，还有一条在三角形的内部；如果点P是ABC中AC边的中点，则PB是ABC的中线，其中正确的是（ ） A B C D【解答】A【解析】ABC的三条高.三角形高的位置与三角形的形状有关，锐角三角形的三条高在三角形内部；钝角三角形的三条高有两条高在三角形的外部；直角三角形有两条高与直角边重合.锐角三角形ABC的三条高交于一点，交点在三角形内部；钝角三角形ABC三条高不交于一点，但高所在的直线交于一点；直角三角形ABC的三条高交于一点，交点为直角顶点A.因为SBCAD=ACBE=ABCF，所以BCAD=ACBE=ABCF.ABC中所有中线.【注意】无论什么形状的三角形，三条边上的中线均在三角形内，并交于一点.由AF=BF=AB，BD=DC=BC，AE=CE=AC，所以SACF=SBCF=SABD=SADC=SABE=SBCE.ABC中所有角平分线.【注意】三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线. 无论什么形状的的三角形，三个角的平分线都在三角形内部，并相交于一点.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形 D都有可能B、双基固化如图，ABC中，AD，CE是ABC的两条高，BC=5cm，AD=3cm，CE=4cm，你能求出AB的长吗？【解析】由于三角形面积等于底与高乘积的一半.因此，三角形的面积就有三种不同的表达方式.我们若设ABC的三边长分别为a，b，c，对应边上的高分别为ha，hb，hc，那么三角形的面积S=aha=bhb=chc.本题中已知三角形的两条高与其中一条高所对应的边，求另一条边，利用三角形面积SABC=BCAD=ABCE，解决十分方便.解：SABC=BCAD=ABCE53=AB4，解得AB=（cm）【点评】用同一个三角形不同的面积表达式建立等式求线段的长度，是一种很重要的方法，在今后的学习中，我们应注意这种方法的运用C、能力提升下图是一个等边三角形木框，甲虫在边框上爬行（，端点除外），设甲虫到另外两边的距离之和为，等边三角形的高为，则与的大小关系是（）无法确定【解答】C【解析】连结BP，则有，因为ABC是等边三角形，根据等积法，可证得）本章主要内容有三角形的有关线段、角，三角形的高、中线和角平分线是三角形中的主要线段，与三角形有关的角有内角、外角。教材通过实验让学生了解三角形的稳定性，在知道三角形的内角和等于1800的基础上，进行推理论证，从而得出三角形外角的性质。这些知识加深了学生对三角形的认识，既是学习特殊三角形的基础，也是研究其它图形的基础。通过本节课的学习要了解与三角形有关的线段（边、高、中线、角平分线）。理解三角形两边的和大于第三边，会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形。会画出任意三角形的高、中线、角平分线。了解三角形的稳定性及其应用。了解与三角形有关的角（内角、外角），会用平行线的性质与平角的定义说明三角形内角和等于180，探索并了解三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。二、认识三角形 规律总结（一）规律总结三角形的知识是中考中重要的内容，是今后学习的基础. 在这一章中, 体现了不少数学思想,一是转化的思想,一是分类讨论的思想. 它将为我们后续的学习打下坚实的基础. （二）例题精讲考点一：三角形中的转化思想考点二：三角形中的分类讨论思想考点一：三角形中的转化思想A、夯实基础ABCDEFGHI123如图: 求A+B+C+D+E+F的度数.【解析】将求角度问题转化为三角形内角和问题,A+B+C+D+E+FABG内角内角和+CDH内角和+EFI内角和-GHI内角和【解答】ABC中, A+B+AGB=180(三角形内角和定理) 同理: +=180 +=180 1+2+3=180A+B+C+D+E+F+=540AGB=1（对顶角相等）同理GIH=2, GHI=3故A+B+C+D+E+F+1+2+3=540从而A+B+C+D+E+FB、双基固化下图是一个等边三角形，点在上爬行（A,B端点除外），设点到另外两边的距离之和为，等边三角形的高为，则与的大小关系是（）无法确定【解答】C【解析】连结CP，根据等积法，则有，D即BCDP+ACPE=ACh因为ABC是等边三角形，故DP+PE=h,而DP+PE=d可证得d=hE本题运用了转化的思想, 将长度关系转化为面积关系求解.【点评】在利用数学知识解决实际问题时，需要先把实际问题转化成数学问题，然后再利用数学知识进行解决。因此，转化思想是利用数学知识解决实际问题的关键。所谓转化的思想是将陌生的或不易解决的问题，设法通过某种手段转化为我们所熟悉的或已经解决的，或易于解决的问题，从而使原问题获得圆满的解决的一种思想方法。这样不但易于培养创新思维能力。同时也降低了对知识理解的难度，一举多得。_图_B_E_C_A_DC、能力提升如图，已知五角星形的顶点分别为A、B、C、D、E，请你求出A+B+C+D+E的度数. _图_B_E_C_A_D_1_2NM【解析】直接求这五个角的度数和显然比较难，又考虑到此图中提供的角应与三角形有关，我们应该想办法将这几个角转化成三角形的内角，然后利用三角形的内角和定理求解.【解答】解法一：1是CEM的外角，1=C+E，2是BDN的外角，1=B+D.在AMN中，由三角形内角和定理，得A+1+2=180，A+B+C+D+E=180.解法二：如图，连结CD，在BOE和COD中，5=6，3+4+6=B+E+5=180，3+4=B+E.在ACD中，A+ACE+ADC=180，A+ACE+ADC+3+4+ADB=180，A+B+C+D+E=180.【点评】在遇到不熟悉的数学问题时，要善于研究分析该问题的结构，通过“拼”、“拆”、“合”、“分”等方法将之转化为熟悉问题来解决.这种将不熟悉的数学问题转化为熟悉的数学问题来解决，这就是转化的思想.在运用三角形知识解决有关问题时，通过添加辅助线将一般图形转化为三角形来解决是常用解答方法之一.考点二：三角形中的分类讨论思想A、夯实基础现有长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为（ ）A1B2C3D4【解析】要确定三角形的个数只需根据题意，首先确定有几种选择，再运用三角形三边关系逐一验证，做到不漏不重由三角形的三边关系知：若以长度分别为2cm、3cm、4cm，则可以组成三角形；若以长度分别为3cm、4cm、5cm，则可以组成三角形；若以长度分别为2cm、3cm、5cm，则不可以组成三角形；若以长度分别为2cm、4cm、5cm