广东省湛江市第五中学高三数学1月月考卷试题 理（含解析）.doc

2014-2015学年广东省湛江五中 高三（上）1月月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分1（5分）已知a，br，i是虚数单位，若ai与2+bi互为共轭复数，则（a+bi）2=（） a 54i b 5+4i c 34i d 3+4i【考点】： 复数代数形式的乘除运算【专题】： 数系的扩充和复数【分析】： 由条件利用共轭复数的定义求得a、b的值，即可得到（a+bi）2的值【解析】： 解：ai与2+bi互为共轭复数，则a=2、b=1，（a+bi）2=（2+i）2=3+4i，故选：d【点评】： 本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题2（5分）设集合a=xr|x1|2，b=yr|y=2x，xr，则ab=（） a b 的人做问卷a，编号落入区间的人做问卷b，其余的人做问卷c则抽到的人中，做问卷b的人数为（） a 7 b 9 c 10 d 15【考点】： 系统抽样方法【专题】： 概率与统计【分析】： 由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为an=9+（n1）30=30n21，由45130n21750 求得正整数n的个数【解析】： 解：96032=30，故由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为an=9+（n1）30=30n21由 45130n21750 解得 15.7n25.7再由n为正整数可得 16n25，且 nz，故做问卷b的人数为10，故选：c【点评】： 本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，属于基础题8（5分）设a是整数集的一个非空子集，对于ka，如果k1a且k+1a，那么称k是集合a的一个“好元素”给定集合s=1，2，3，4，5，6，7，8，由s的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有（） a 2个 b 4个 c 6个 d 8个【考点】： 元素与集合关系的判断【专题】： 集合【分析】： 根据题意，要使s的三个元素构成的集合中不含好元素，只要这三个元素相连即可，所以找出相连的三个数构成的集合即可【解析】： 解：根据好元素的定义，由s的3个元素构成的集合中，不含好元素的集合为：1，2，3，2，3，4，3，4，5，4，5，6，5，6，7，6，7，8故选c【点评】： 考查对好元素概念的理解，以及子集的概念，元素与集合的关系二、填空题（本大题共7小题，其中第9第13题为必做题，第14第15题为选做题，考生从中任选一题作答，两题均选按第14题给分，每小题5分，总分30分）9（5分）若二项式（+2）n（nn*）的展开式中的第5项是常数项，则n=6【考点】： 二项式系数的性质【专题】： 二项式定理【分析】： 先求出二项式展开式的通项公式，再根据r=4时，x的幂指数等于0，求得n的值【解析】： 解：二项式（+2）n（nn*）的展开式的通项公式为 tr+1=2r，由于第5项是常数项，可得n=0，n=6，故答案为：6【点评】： 本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题10（5分）若曲线y=kx+lnx在点（1，k）处的切线平行于x轴，则k=1【考点】： 利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】： 导数的概念及应用【分析】： 先求出函数的导数，再由题意知在1处的导数值为0，列出方程求出k的值【解析】： 解：由题意得，y=k+，在点（1，k）处的切线平行于x轴，k+1=0，得k=1，故答案为：1【点评】： 本题考查了函数导数的几何意义应用，难度不大11（5分）（2014秋赤坎区校级月考）若等差数列an和等比数列bn满足a1=b1=1，a2=b2=2则a5b5=80【考点】： 等差数列的通项公式；等比数列的通项公式【专题】： 等差数列与等比数列【分析】： 由已知结合等差数列和等比数列的通项公式求得等差数列的公差和等比数列的公比，然后求得a5，b5，则答案可求【解析】： 解：由等差数列an满足a1=1，a2=2，得d=1，a5=5，等比数列bn满足b1=1，b2=2，得q=2，b5=24=16，a5b5=80故答案为：80【点评】： 本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，是基础的计算题12（5分）按如图的程序框图运行后，输出的s应为40【考点】： 程序框图【专题】： 算法和程序框图【分析】： 根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件i5，计算输出s的值【解析】： 解：由程序框图知：第一次运行i=1，t=311=2，s=0+2=2，i=2，不满足条件i5，循环，第二次运行i=2，t=321=5，s=5+2=7，i=3，不满足条件i5，循环，第三次运行i=3，t=331=8，s=7+8=15，i=4，不满足条件i5，循环，第四次运行i=4，t=341=11，s=15+11=26，i=5，不满足条件i5，循环，第五次运行i=5，t=351=14，s=26+14=40，i=6，满足条件i5，程序终止，输出s=40故答案是：40【点评】： 本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算程序运行的结果是解答此类问题的常用方法比较基础13（5分）已知abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，且c=，b=120，则abc的面积等于【考点】： 正弦定理【专题】： 计算题；解三角形【分析】： 先根据余弦定理建立关于a的等式，解出a=再根据三角形的面积公式加以计算，可得abc的面积【解析】： 解：根据余弦定理，可得b2=a2+c22accosb，即6=a2+22a（），解之得a=因此abc的面积s=故答案为：【点评】： 本题给出三角形的两条边和其中一条边的对角，求它的面积着重考查了利用正余弦定理解三角形、三角形的面积求法等知识，属于中档题14（5分）已知在直角坐标系中曲线c1的参数方程为（t为参数且t0），在以原点o为极点，以x轴正半轴为极轴建立的极坐标系中曲线c2的极坐标方程为=（r），则曲线c1与c2交点的直角坐标为（2，2）【考点】： 简单曲线的极坐标方程【专题】： 坐标系和参数方程【分析】： 由曲线c1的参数方程（t为参数且t0），消去参数t可得x2=y+2由曲线c2的极坐标方程为=（r），可得y=x联立解得即可【解析】： 解：由曲线c1的参数方程（t为参数且t0），可得x2=+2=y+2（y0）由曲线c2的极坐标方程为=（r），可得y=x联立，解得x=y=2曲线c1与c2交点的直角坐标为（2，2）故答案为：（2，2）【点评】： 本题考查了把参数方程与极坐标方程化为直角坐标方程，属于基础题15如图，pt切圆o于点t，pa交圆o于a、b两点，且与直径ct交于点d，cd=2，ad=3，bd=6，则pb=15【考点】： 与圆有关的比例线段【专题】： 计算题；压轴题【分析】： 首先根据题中圆的相交弦定理得dt，再依据直角三角形的勾股定理用pb表示出pt，最后结合切割线定理求得一个关于pb线段的方程式，解此方程即可【解析】： 解：如图，由相交弦定理可知，2dt=36dt=9在直角三角形ptd中，由切割线定理可知pt2=pbpa（6+x）292=x（x+9）x=15故填：15【点评】： 此题综合运用了切割线定理、圆的相交弦定理以及与圆有关的直角三角形，属于基础题三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16（12分）已知函数的部分图象如图所示，其中点p是图象的一个最高点（1）求函数f（x）的解析式；（2）已知且，求【考点】： 由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式；三角函数的化简求值【专题】： 计算题；三角函数的图像与性质【分析】： （1）依题意知，a=2，由图得t=从而可得=2；又2+=2k+，kz，（0，），可求得，于是可得函数f（x）的解析式；（2）易求cos=，利用两角和的正弦即可求得f（）=2sin（+）的值【解析】： 解：（1）由函数最大值为2，得a=2由图可得周期t=4=，=2 又2+=2k+，kz，=2k+，kz，又（0，），=，f（x）=2sin（2x+）；（2）（，），且sin=，cos=，f（）=2sin（2+）=2（sincos+cossin）=2=【点评】： 本题考查由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式，考查三角函数的化简求值，属于中档题17（12分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率直方分布图如图所示，其中成绩分组区间是：（1）求图中x的值；（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求的数学期望【考点】： 离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式【专题】： 概率与统计【分析】： （1）根据所以概率的和为1，即所求矩形的面积和为1，建立等式关系，可求出所求；（2）不低于80分的学生有12人，90分以上的学生有3人，则随机变量的可能取值有0，1，2，然后根据古典概型的概率公式求出相应的概率，从而可求出数学期望【解析】： 解：（1）由300.006+100.01+100.054+10x=1，得x=0.018（2）由题意知道：不低于80分的学生有12人，90分以上的学生有3人随机变量的可能取值有0，1，2【点评】： 本题主要考查了频率分布直方图，以及古典概型的概率公式和离散型随机变量的数学期望，同时考查了计算能力和运算求解的能力，属于基础题18（14分）正三棱柱abca1b1c1的所有棱长都为4，d为的cc1中点（1）求证：ab1平面a1bd；（2）求二面角aa1db的余弦值【考点】： 用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法【专题】： 空间位置关系与距离；空间角【分析】： （1）通过建立如图所示的空间直角坐标系，利用数量积，即可证明ab1平面a1bd；（2）利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角【解析】： （1）证明：取bc中点o，连接ao，abc为正三角形，aobc，在正三棱柱abca1b1c1中，平面abc平面bcc1b1，ao平面bcc1b1，取b1c1中点为o1，以o为原点，的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，ab1面a1bd（2）设平面a1ad的法向量为，令z=1，得为平面a1ad的一个法向量，由（1）知ab1面a1bd，为平面a1ad的法向量，由图可以看出：二面角aa1db是锐角二面角aa1db的余弦值为【点评】： 熟练掌握：通过建立如图所示的空间直角坐标系的方法，利用数量积与垂直的关系证明线面垂直；利用两个平面的法向量的夹角得到二面角19（14分）已知数列an满足a1=，an=2（n2），sn是数列bn的前n项和，且有=1+bn（1）证明：数列为等差数列；（2）求数列bn的通项公式；（3）设cn=，记数列cn的前n项和tn，求证：tn1【考点】： 数列与不等式的综合【专题】： 计算题；证明题；等差数列与等比数列；不等式【分析】： （1）化简an=2，化出的形式，（2）由an=snsn1化简，得到递推公式，再推通项公式；（3）利用裂项求和法求和证明不等式成立【解析】： 解：（1）证明：，即：数列是以为首项，1为公差的等差数列（2）当n2时，即：；，当n=1时，b1=s1=2，（3）证明：由（1）知：，【点评】： 本题全面考查了数列的相关知识，有等差数列的证明，也用到了通项与前n项之间的普遍关系，同时考查了裂项求和的方法，属于难题20（14分）已知双曲线c：=1（a0，b0），f1、f2分别是它的左、右焦点，a（1，0）是其左顶点，且双曲线的离心率为e=2设过右焦点f2的直线l与双曲线c的右支交于p、q两点，其中点p位于第一象限内（1）求双曲线的方程；（2）若直线ap、aq分别与直线x=交于m、n两点，求证：mf2nf2；（3）是否存在常数，使得pf2a=paf2恒成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由【考点】： 直线与圆锥曲线的综合问题【专题】： 圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】： （1）由题可知：a=1由于，可得c=2再利用b2=c2a2即可（2）设直线l的方程为：x=ty+2，另设：p（x1，y1）、q（x2，y2）联立，可得根与系数的关系又直线ap的方程为，解得m同理解得n只要证明=0即可（3）当直线l的方程为x=2时，解得p（2，3）易知此时af2p为等腰直角三角形，可得：=2当af2p=2paf2对直线l存在斜率的情形也成立利用正切的倍角公式、斜率计算公式、双曲线的方程、正切函数的单调性即可证明【解析】： （1）解：由题可知：a=1，c=2b2=c2a2=3，双曲线c的方程为：（2）证明：设直线l的方程为：x=ty+2，另设：p（x1，y1），q（x2，y2）联立，化为（3t21）y2+12ty+9=0又直线ap的方程为，代入x=，解得m同理，直线aq的方程为，代入x=，解得n=+=+=mf2nf2（3）解：当直线l的方程为x=2时，解得p（2，3）易知此时af2p为等腰直角三角形，其中，也即：=2下证：af2p=2paf2对直线l存在斜率的情形也成立tan2paf2=1，结合正切函数在上的图象可知，af2p=2paf2【点评】： 本题综合考查了双曲线的标准方程及其性质、向量垂直与数量积的关系、正切的倍角公式、斜率计算公式、双曲线的方程、正切函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题21（14分）已知函数f（x）=x2