线性规划知识解决高考数学有关综合问题寻踪.pdf

名 宋沁 笼 滩 侈男泌恩分 舞欢 男靛 9里 粼 娜奥 舞 夕 中学数学杂志 2 0 0 8 年第1 期 找性规划知识解决离考毅学有关徐合问题寻踪 北京市陈经纶中学1 0 0 0 2 0陈星春 求线性目 标函数在线性约束条件下的最大值或 最小值的问题 统称为线性规划问题 求解线性规划 问题的基本程序是作可行域 画平行线 解方程组 求 最值 线性规划知识在解决有关数学综合问题时常发 挥重要作用 请从以下高考题例示中得到启示 1 考查线性规划模型的建立与求解等基础知识 例1 2 0 0 7 年高考文科数学 已知函 数 f 幻 静 一 2 一 1 在 一 处 取 得 极 大 值 在二 二 x 2 处 取 得 极 小 值 且0 x 1 x 2 0 2 若z a 2 b 求z 的取值范围 本题主要考查极值有关知识 线性规划模型的 建立与求解等基础知识 考查通过建立简单的数学 模型来解决问题的能力 解求函 数f x 的 导数 f x a x e 2 b x 2 一b 1 由函数f x 在x x 处取得极大值 在x 二x 处取得极小值 知xx 是f x 二0 的两个 根 所以 f x a x 一 x x 一 x 2 当x 0 由x x O x一 x 2 0 所以 例 2 的 取 值 范 围 为 华 8 1 2 0 0 5 年辽宁卷第2 0 题 某工厂生产甲 乙两种产品 每种产品都是经过第一和第二工序加 工而成 两道工序的加工结果相互独立 每道工序的 加工结果均有A B两个等级 对每种产品 两道工 序的加工结果都为A 级时 产品为一等品 其余均为 二等品 I 已知甲 乙两种产品每一道工序的加工结 果为A 级的 概率如表1 所示 分别求生产出的甲 乙 产 品 为 一 等 品 的 概 率心 尸 乙 II 已知一件产品的利润如表2 所示 用6 n 分别表示一件甲 乙产品的利润 在 I 的条件下 求e 的 分布 列 及E f E n m 已知生产一件产品需用的工人数和资金 额如表3 所示 该工厂有工人4 0 名 可用资金6 0 万 元 设x y 分别表示生产甲 乙产品的数量 在 n 的条件下 x y 为何值时 二x 峪 州 最大 最大 值是多少 解答时须给出图示 表 1 工 序 严 I 第一工序 第二工序 2 在题设下 0 0 a一2 b 2一b 0 图 1 1 n 7 级 产 品 之飞 一等二等 甲5 万元 2 5 万元 乙 2 5 万元 1 5 万元 化简得 2一b 0 a 一3 b 2 0 甲 乙 此不等式组表示的区域为平面a O b 上三条直 线 2一 b O a一 3 b 2 0 4 a一 5 b 2 0 所围 表3 一 AA 工人 名 资金 万元 成的 A B C的内部 其三个顶点分别为 B 2 2 C 4 2 I4 6 八任 二 二 7 7 1 在这三点的值依次为等 I 6 8 本题主要考查相互独立事件的概率 随机变量 的分布列及期望 线性规划模型的建立与求解等基 础知识 考查通过建立简单的数学模型以解决实际 万方数据 中学数学杂志 2 0 0 8 年第1 期 另废熟 1体 候哭 沼9 一邢衫召落 黔9 苏男 召 名 粼少 rlwelsesese之seseeseeset n曰尸 日卜 问题的能力 I 解P 甲 0 8 x 0 8 5 0 6 8 P z 0 7 5 x 0 8 0 6 8 时 甲公司无失败的风险 n 解随机变量6 n的分布列分别是 6 52 5 尸0 6 80 3 2 刀 2 51 5 尸0 60 4 Y妻x 4 1 x 育Y 8 二 二 2 一 女 口 图 x 0 Y 0 3 所示 阴影部分区域表示甲 乙两公司均无失败的 Y x 4 r 1 由 5 x0 6 8 2 5 x 0 3 2 2 5 x0 6 1 5 x0 4 4 2 2 1 风险 解得 1 x 二 Y L x二2 0 y二 峪助 1 u 解 5 x 1 0 y 6 0 8 x 2 y 4 0 x 0 y 0 2 l y 目标函数 故在双方均无失败风险 的情况下 甲 公司至少投人2 0 口I 8 x 乙公司至少投人 2 4万 图3 知 设 题 由 为 x E e y E 7 二4 2 x 作出可行域 如图2 作直 线1 4 2 x 2 l y二 0 将l 向右上方平移至l 位置时 直线经过可行域上的 点M 点M 与原点距离最大 此时 4 2 x 2 l y取最大值 解方程组 图2 4 即x 4 y二 4 时 取最大值 的最大值为2 5 2 例3甲 乙两公司生产同一种新产品 经测 算 对于函数f x g x 及任意的x 0 甲公司 投人x 万元作宣传时 若乙公司投人的宣传费小于 f x 万元 则乙公司有失败的风险 否则无失败的 风险 当乙 公司投入x 万元作宣传时 若甲 公司投人 的宣传费小于g x 万元 则甲 公司有失败的风险 否则无失败的风险 1 请解释f 0 g o 的实际 J 1 意义 2 当 f x x 4 g x 专x 8 时 甲 乙 一 一 产一J 一 产 一 0 一 2 一 切 一 两公司为了避免恶性竞争 经过协商 同意在双方均 无失败风险的情况下尽可能地少投人宣传费用 问 此时甲 乙两公司应各投入多少宣传费用 解 1 f o 表示当甲 公司不投人宣传费时 乙 公司 要回 避失败的风险 至少 投入f o 万 元的 宣传费 g o 表示当乙 公司 不投人宣传费时 甲 公司要回 避失 败的 风险 至少要投人g o 万元的宣传费 2 将甲 公司投人的宣传费用二 来表示 乙公 司投入的宣传费用Y 来表示 依题意 当Y f x 4 时 乙 公 司 无 失 败 的 风 险 当 二 9 书 一 一一 一 一 一 一 一一 j 2 2 考查线性规划约束条件的建立 解决与距离 斜 率有关的问题 例4 2 0 0 6 年高考四川卷 理8 某厂生产甲 产品每千克需用原料A 和原料B 分别为a b 千克 生产乙产品每千克需用原料A和原料B分别为a 2 b 千克 甲 乙产品每千克可获利润分别为d 内元 月初一次性购进原料A B 各 c 千克 要计划本 月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总 额达到最大 在这个问题中 设全月生产甲 乙两种 产品分别为x 千克 Y 千克 月利润总额为 元 那么 用于求使总利润 d x d 2 Y 最大的数学模型中 约束条件为 B a x a 2 Y多 c b x b 2 Y c 2 x 0 Y 0 a x a 2 Y感 c i b x b 2 Y鉴 c 2 x 0 Y 0 a x b j c a 2 x b 2 Y c 2 x 0 Y 0 a x a 2 Y c b x b 2 Y c 2 x 0 Y 0 r 1 A 产 D 口IJL eeee C 答案 C 例5 2 0 0 6年高考湖南 卷 理1 2 文1 3 已 知x 1 x Y 1 0 2 x 一 Y 一 2 则 2x 2Y的 最 小 值 是 解题中不等式组表示 的 平面区 域如图4 所示 x 2 Y 2 的 几何意 义是区域内 的点到 原 点 距 离的 平 方 显 然 O A 1 2 最 小 最小值为5 答案 5 图4 万方数据 名 兔牲乡渗 L f 乘 l Z 沼F Z 君 e e 之吧 矛7中学数学杂志2 0 0 8 年第 1 期 例6 2 0 0 7 年高考安徽文科题 如果点P 在平 2 x一 Y 2 0 x Y 一 2 上 点O 在曲 线x 2x Y 2 2 2 y一1 0 那么 P Q I 的最小值为 解 1 w 首先画出可行域 如图5 阴影部分 二x 2 y 2 表示的是可行域内任意一点 面区域 二1 上 x 力到 0 0 点的距离的平方 由图可知 点A x Y 到点0 0 0 的距离最小 点A的坐标是 1 0 所以二 m in 1 2 0 2二1 A 号 C 2 涯 一 1 答案 A 例7 2 0 0 6 生一 1 拓 万 一1 2 x v 2 0 B D 年高考北京卷 已知点P x 力的 Y鉴4 坐标满足条件 Y x x 1 点 口为坐标原点 那么 2 W 2 二 黔表 示 的 是 可 行域内任意一点 x 力 到B 1 1 点连线的斜率 由图形可 知 点A 1 0 与B 一1 1 点 连线 的斜 率 最 小 w m in 1一0 1二 一 立 一 一 二 竺 一 二一止 7 11 二 r 于 日现 一 1一1 2 一m a x一 一 犷 POI 答案 的最小值等于 最大值等于 O P I 的 最 大 值 为丫 1 0 最 小 值为 江 例 8 2 0 0 6 年 高 考 湖 南 卷 不到 所以二 的取值范围是 图5 w 1 x 1 二 一 Y 1 则犷 尹的 最 小 值 是 2 一Y一2 0 例1 2 已知实系数方 已知程二 a x 2 b 0 的 两 根 在区间 0 1 与区间 1 2 内 求 b 2a 1 的 取 值 范 围 答案 5 例9 2 0 0 7 年高考山东理科题 设D 是不等式 x 2 y 1 0 解 设 f x 二 z a x 2 b 依题意 此函数图象 图6 与x 轴两交点横坐标在 0 1 和 1 2 内 其条件为 r 子 t nUf 日协 2 x Y 3 O x 0 0 b 0 1 a 2 b0 组 十 Y二1 0 的 距离的最大值是在直角坐标系中作出可行域 如图6 所示 由 答案 4 2 例 1 0 2 0 0 7 的几何意义知 A B C内任一点P a b 与定 年高考辽宁文科题 已知变量x 一 Y 2 0 b一2 a 一 1 点M 1 2 连线的斜率的范围即为所求 因为k m Y 满足约束条件 1 Y一7 0 则 上的 取 值 范围 是 14 k hlB 1 P J l 以二 万 斗 b一2 a 一 1 1 XXX 1 刀rl L 3 考查求线性目 标函数在线性约束条件下的最大 值或最小值的问题 例1 3 2 0 0 6 年高考天津卷 设变量x y 满足 O 一引 B C 一 9 5 3 U 6 00 约束条件 足 D 3 6 答案 A 例 1 1实 数 x y 满 足 不 等 式 组 Y 0 x一Y 0 小值为 A 2 答案 例 1 4 Y x y 2 则目 标函 数 二 2 x y 的 最 Y 3 x一6 B 3 C 4 D 9 选 B 2 0 0 6 年高考上海卷 已知实数x y 满 2 x一 Y一 2 0 试求 1 w x 2 尹的 最小值 2 w 2 Y一1 x 1 x Y一 3 0 x 2 y一5 0 0 y 0 则 y一2 x的最大值是 的取值范围 万方数据 中学数学杂志 2 0 0 8 年第1 期苏 瘫 之 勿多舅 令压叉 粥器另淞9 男一 男 召 名一 箫7 答案 例 1 5 收男职员 依题意 令 二 0 可得直线x m y二 2 0 0 6 年高考山东卷 理 1 1 某公司招 x 名 一1 1 y 一 十3 y 9 毛 1 1 女职员Y 名 x 和Y 须满足约束条件 2 2 则 二l o x l o y的最大值是 解 斜率为 1 刀n 结合可行域可知当直线x m y 0的 0与 戈X火 白2 护 1哎1 Ljr A 8 0 B 8 5 C 9 0 解析画出可行域 如图7 易得 A 5 5 4 5 且当 直线 二 l o x l o y 过 A 点时 取得最大值 此 时 二9 0 答案 C 4考查已知线性目标函 D 9 5 直线A C 平行时 线段A C上的任意一点都可使目 标 函数 二 x m y 取得最小值 而直线A C 的 斜率为 1 所以m二1 选 C 5 考查线性约束条件构成的有关区域形状或面积 等问题 例 1 9 2 0 0 7年高考北京题 若不等式组 2 v 3 9 一y 0 2 x y 2 Y 0 x y感 a 表示的平面区域是一个三角形 则a 的 S x 1 1 2 2 图7 取值范围是 XXX r卜 产 数在线性约束条件下的最大值或最小值 求有关的 参数范围 例1 6 2 0 0 6 年高考重庆卷 已知变量x y 满 足约束条件1 x y 4 一 2 0 仅在点 3 1 处取得最 大值 则a 的取值范围为 A 二 二 奇B 0 a l C l a 夸D 0 a 或 二 奇 答案 D 例2 0 2 0 0 6 年高考浙江卷 在平面直角坐标 解析变量x y 满足 约 束 条 件1 x y 4 2 0 中的 z 表示斜率为 一 a 的直线系 中的截距的大小 若仅在点 3 系中 不等式组 y一2 0 一 y 2 0 表 示的 平面区 域的 面 2 图8 1 处取得最大值 则 斜率应小于气 二 一 1 即一 a 一 1 所以a 的取值范 围为 1 例 2 0 0 6 年高考重庆卷 已知变量x y 满 足约束条件 2 y一3 0 3 y 一 3 0 若目 标函 数 a x y一1 0 仅在点 3 0 处取得最大值 则a 的 取值范围为 答案 a 1 二一 Z 积 是 A 4 涯B 4 C 2 海D 2 分析本题考查简单的线性规划的可行域 三 角形的面积 答案 选B 例2 1 已知点P 3 一 1 和Q 一 1 2 在直线 a x 2 y 一 1 二 0 两侧 则实数a 的取值范围 是 A 1 a 3 B a3 C a 3 解析由 3 a 2 x 1 1 a 2 x 2 1 0 得a3 答案 B 例2 2 点 一 2 t 在直线2 x 一 3 y 6二 0