广东省潮州市高考数学二模试卷 文（含解析）.doc

广东省潮州市2015届高考数学二模试卷（文科） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分1（5分）若复数（2+i）（1+ai）是纯虚数（i是虚数单位，a是实数），则a等于（）a1bc2d32（5分）从匀速传递的新产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件新产品进行某项指标检测，这样的抽样是（）a系统抽样b分层抽样c简单随机抽样d随机数法3（5分）在空间中，两两相交的三条直线最多可以确定的平面的个数有（）a1个b2个c3个d4个4（5分）已知数列an的前n项和，则a3a2的值为（）a2b2c3d35（5分）在abc中，若a2+b2c2，则abc的形状是（）a锐角三角形b直角三角形c钝角三角形d不能确定6（5分）若将一个质点随机投入如图所示的长方形abcd中，其中ab=2bc=4，则质点落在以ab为直径的半圆内的概率是（）abcd7（5分）执行如图的程序框图，若输出，则输入p=（）a6b7c8d98（5分）以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆（x1）2+（y+3）2=1的圆心的抛物线的方程是（）ay=3x2或y=3x2by=3x2cy2=9x或y=3x2dy=3x2或y2=9x9（5分）已知a（1，2），b（a，1），c（b，0）三点共线，其中a0，b0，则ab的最大值是（）abcd10（5分）已知奇函数y=f（x）的导函数f（x）0在r恒成立，且x，y满足不等式f（x22x）+f（y22y）0，则的取值范围是（）abc1，2d二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分（一）必做题（11-13题）11（5分）如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积为12（5分）已知，则=13（5分）函数f（x）定义域为d，若满足：f（x）在d内是单调函数；存在a，bd使f（x）在a，b上的值域为2a，2b；那么就称y=f（x）为“域倍函数”若函数f（x）=loga（ax+2t）（a0，a1）是“域倍函数”，则t的取值范围为（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）【坐标系与参数方程选做题】14（5分）已知圆的极坐标方程=2cos，直线的极坐标方程为cos2sin+7=0，则圆心到直线距离为 【几何证明选讲选做题】15如图所示，o的两条切线pa和pb相交于点p，与o相切于a，b两点，c是o上的一点，若p=70，则acb=（用角度表示）三解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（12分）已知向量，函数的最大值为2（1）求f（x）的最小正周期和解析式；（2）设，0，f（3+）=，f（3+2）=，求cos（+）的值17（12分）为调查学生每周平均体育运动时间的情况，某校收集到2015届高三（1）班20位学生的样本数据（单位：小时），将他们的每周平均体育运动时间分为6组：0，2），2，4），4，6），6，8），8，10），10，12加以统计，得到如图所示的频率分布直方图（1）根据频率分布直方图，求出该班学生的每周平均体育运动时间的平均数的估计值；（2）若在该班每周平均体育运动时间低于4小时的学生中任意抽取2人，求抽取到运动时间低于2小时的学生的概率18（14分）如图1，平面五边形sabcd中sa=，ab=bc=cd=da=2，abc=，sad沿ad折起成如图2，使顶点s在底面的射影是四边形abcd的中心o，m为bc上一点，bm=（1）证明：bc平面som；（2）求四棱锥sabmo的体积19（14分）已知数列an的前n项和sn满足an+1=2sn+6，且a1=6（1）求a2的值；（2）求数列an的通项公式；（3）设，证明：b1+b2+bn120（14分）已知直线l：y=x+1过椭圆c：=1（ab0）的一个焦点和一个顶点（1）求椭圆c的标准方程；（2）过原点的直线与椭圆c交于a，b两点（a，b不是椭圆c的顶点）点d在椭圆c上，且adab，直线bd与bc平面som轴交于点m，求常数使得kam=kbd21（14分）已知函数f（x）=lnxa（x1），其中a0（1）若函数f（x）在（0，+）上有极大值0，求a的值；（2）讨论并求出函数f（x）在区间上的最大值；（3）在（2）的条件下设h（x）=f（x）+x1，对任意x1，x2（0，+）（x1x2），证明：不等式恒成立广东省潮州市2015届高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分1（5分）若复数（2+i）（1+ai）是纯虚数（i是虚数单位，a是实数），则a等于（）a1bc2d3考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：利用复数的乘法运算法则化简复数，通过复数虚部不为0，实部为0，求解即可解答：解：复数（2+i）（1+ai）=2a+（2a+1）i，复数（2+i）（1+ai）是纯虚数，可得2a=0，2a+10，解得a=2故选：c点评：本题考查复数的基本运算以及基本概念的应用，考查计算能力2（5分）从匀速传递的新产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件新产品进行某项指标检测，这样的抽样是（）a系统抽样b分层抽样c简单随机抽样d随机数法考点：系统抽样方法 专题：概率与统计分析：根据抽样的定义和性质进行判断即可解答：解：新产品没有明显差异，抽取时间间隔相同，故属于系统抽样，故选：a点评：本题主要考查系统抽样的判断，比较基础3（5分）在空间中，两两相交的三条直线最多可以确定的平面的个数有（）a1个b2个c3个d4个考点：平面的基本性质及推论 专题：空间位置关系与距离分析：根据题意，画出图形，结合图形，即可得出正确的结论解答：解：在空间中，两两相交的三条直线最多可以确定3个平面，如图所示；pa、pb、pc相较于一点p，且pa、pb、pc不共面，则pa、pb确定一个平面pab，pb、pc确定一个平面pbc，pa、pc确定一个平面pac故选：c点评：本题考查了确定平面的条件是什么，解题时应画出图形，以便说明问题，是基础题目4（5分）已知数列an的前n项和，则a3a2的值为（）a2b2c3d3考点：等差数列的性质 专题：等差数列与等比数列分析：直接利用数列的和，通过s3s2，s2s1求解即可解答：解：数列an的前n项和，a3a2=（s3s2）（s2s1）=322222+12=2故选：b点评：本题考查等差数列的性质，数列的函数的特征，考查计算能力5（5分）在abc中，若a2+b2c2，则abc的形状是（）a锐角三角形b直角三角形c钝角三角形d不能确定考点：余弦定理 专题：计算题分析：直接通过余弦定理，推出结果即可解答：解：由余弦定理：a2+b22abcosc=c2，因为a2+b2c2，所以2abcosc0，所以c为钝角，钝角三角形故选c点评：本题考查三角形的形状的判断，余弦定理的考查，也可以通过特殊值法能够避繁就简，注意表达式的形式的转化6（5分）若将一个质点随机投入如图所示的长方形abcd中，其中ab=2bc=4，则质点落在以ab为直径的半圆内的概率是（）abcd考点：几何概型 专题：概率与统计分析：利用几何槪型的概率公式，求出对应的图形的面积，利用面积比即可得到结论解答：解：ab=2bc=4，ab=4，bc=2，长方体的abcd的面积s=42=8，圆的半径r=2，半圆的面积s=2，则由几何槪型的概率公式可得质点落在以ab为直径的半圆内的概率是=，故选：b点评：本题主要考查几何槪型的概率的计算，求出对应的图形的面积是解决本题的关键，是基础题7（5分）执行如图的程序框图，若输出，则输入p=（）a6b7c8d9考点：程序框图 专题：图表型；算法和程序框图分析：模拟执行程序框图，可得解得n的值为7，退出循环的条件为7p不成立，从而可得p的值解答：解：模拟执行程序框图，可得解得：n=7故当p=7时，n=7p，不成立，退出循环，输出s的值为故选：b点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题8（5分）以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆（x1）2+（y+3）2=1的圆心的抛物线的方程是（）ay=3x2或y=3x2by=3x2cy2=9x或y=3x2dy=3x2或y2=9x考点：轨迹方程 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：分类讨论，设出抛物线方程，代入圆心坐标，即可得出结论解答：解：圆（x1）2+（y+3）2=1的圆心为（1，3），设x2=2py，（1，3）代入可得p=，抛物线的方程为x2=；设y2=2px，（1，3）代入可得p=，抛物线的方程为y2=9x，故选：d点评：本题考查抛物线的方程，考查圆的性质，比较基础9（5分）已知a（1，2），b（a，1），c（b，0）三点共线，其中a0，b0，则ab的最大值是（）abcd考点：基本不等式 专题：计算题；不等式的解法及应用；平面向量及应用分析：由题意利用向量可推出2a+b=1，再由基本不等式求最大值即可解答：解：共线，2a+b=1，（当且仅当2a=b，即a=，b=时，等号成立）；，；故ab的最大值是；故选d点评：本题考查了平面向量与基本不等式的应用，属于基础题10（5分）已知奇函数y=f（x）的导函数f（x）0在r恒成立，且x，y满足不等式f（x22x）+f（y22y）0，则的取值范围是（）abc1，2d考点：函数的单调性与导数的关系 专题：函数的性质及应用；导数的综合应用分析：根据函数f（x）为奇函数，导函数f（x）0，由不等式f（x22x）+f（y22y）0即可得到不等式x22x2yy2，从而得到（x1）2+（y1）22，根据该不等式所表示的几何意义即可求出的最小值和最大值，从而求得其取值范围解答：解：因为函数y为奇函数，所以f（x22x）f（2yy2）；由函数y=f（x）的导函数f（x）0在r恒成立，知函数y=f（x）为减函数；x22x2yy2；即（x1）2+（y1）22；满足该不等式的点（x，y），在以（1，1）为圆心，半径为的圆及圆内部；点（x，y）到原点的最小距离为0，最大距离为2；故的取值范围是0，故选：a点评：考查奇函数的概念，函数导数符号和函数单调性的关系，函数单调性定义的应用，以及圆的标准方程，能找出不等式所表示的平面区域二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分（一）必做题（11-13题）11（5分）如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积为32+4考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题分析：由三视图可知，该几何体是下部为正四棱柱，上部是半径为1的球，直接求表面积即可解答：解：由三视图容易推知几何体是：上部是半径为1的球，下部是底面边长为2的正方形的直四棱柱，高为3，该几何体的表面积为：4+4+24+4r2=32+4，故答案为：32+4点评：本题考查三视图、组合体的表面积考查简单几何体的三视图的运用；培养同学们的空间想象能力和基本的运算能力；中档题12（5分）已知，则=1考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：已知条件两边分别平方相减可得结果解答：解：由，分别平方可得，两式相减得，故答案为：1点评：本题考查向量的模以及向量的数量积的求法，考查计算能力13（5分）函数f（x）定义域为d，若满足：f（x）在d内是单调函数；存在a，bd使f（x）在a，b上的值域为2a，2b；那么就称y=f（x）为“域倍函数”若函数f（x）=loga（ax+2t）（a0，a1）是“域倍函数”，则t的取值范围为考点：函数的零点与方程根的关系 专题：函数的性质及应用分析：由题意利用“域倍函数”定义有，即方程f（x）=2x有两个不同实根，令ax=u0，则u2u2t=0有两个不同正实根，可得，由此解得t的范围解答：解：根据函数是增函数，由“域倍函数”定义有，即方程f（x）=2x有两个不同实根，即方程ax+2t=a2x有两个不同实根令ax=u0，则u2u2t=0有两个不同正实根，解得t0，故答案为：点评：本题考查函数的值域的求法，解题的关键是正确理解“域倍函数”，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，属于中档题（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）【坐标系与参数方程选做题】14（5分）已知圆的极坐标方程=2cos，直线的极坐标方程为cos2sin+7=0，则圆心到直线距离为 考点：简单曲线的极坐标方程 专题：计算题分析：先利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用cos=x，sin=y，2=x2+y2，进行代换即得圆和直线的直角坐标方程，再在直角坐标系中算出圆心到直线距离即可解答：解：由=2cos2=2cosx2+y22x=0（x1）2+y2=1，cos2sin+7=0x2y+7=0，圆心到直线距离为：故答案为：点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化【几何证明选讲选做题】15如图所示，o的两条切线pa和pb相交于点p，与o相切于a，b两点，c是o上的一点，若p=70，则acb=55（用角度表示）考点：弦切角 专题：选作题；立体几何分析：先求出aob=110，再利用acb=aob，即可得出结论解答：解：如图所示，连接oa，ob，则oapa，obpb故aob=110，acb=aob=55故答案为：55点评：本题考查弦切角，考查圆心角与圆周角的关系，考查学生的计算能力，比较基础三解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（12分）已知向量，函数的最大值为2（1）求f（x）的最小正周期和解析式；（2）设，0，f（3+）=，f（3+2）=，求cos（+）的值考点：三角函数的周期性及其求法；两角和与差的余弦函数；由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式 专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质分析：（1）由f（x）=利用两角差的正弦函数公式化简可得，结合已知可求a的值，即可得解析式，由周期公式可求最小正周期（2）由（1）结合诱导公式化简f（3+）=可得sin，由诱导公式化简f（3+2）=可得cos，结合，的范围，由同角三角函数关系式可求cos，sin的值，由两角和的余弦函数公式即可得解解答：解：f（x）=，向量，（3分）因为函数，（a0）的最大值为2，所以a=2，（2分）所以（3分）f（x）的最小正周期（4分）（2）=f（3+）=2sin（）=2sin，（5分）sin=，（6分）f（3+2）=2sin（3+2）=2cos=，cos，0，cos=，sin=（8分）cos（+）=coscossinsin=（12分）点评：本题主要考查了由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式，三角函数的周期性及其求法，三角函数恒等变换的应用，平面向量的应用，综合性较强，属于中档题17（12分）为调查学生每周平均体育运动时间的情况，某校收集到2015届高三（1）班20位学生的样本数据（单位：小时），将他们的每周平均体育运动时间分为6组：0，2），2，4），4，6），6，8），8，10），10，12加以统计，得到如图所示的频率分布直方图（1）根据频率分布直方图，求出该班学生的每周平均体育运动时间的平均数的估计值；（2）若在该班每周平均体育运动时间低于4小时的学生中任意抽取2人，求抽取到运动时间低于2小时的学生的概率考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图 专题：概率与统计分析：（1）利用频率分布直方图，求出各组的频率，各组的中点数值，然后求解该班学生的每周平均体育运动时间的平均数的估计值（2）求出平均运动时间低于4小时的学生中，在0，2）的人数，在2，4）的人数，列出机抽取2人的可能情况有10种，其中，抽取到运动时间低于2小时的学生的可能情况有4种，求解概率解答：（1）解：根据频率分布直方图，各组的频率分别为：0.05，0.2，0.3，0.25，0.15，0.05，（2分）各组的中点分别为：1，3，5，7，9，11，（4分）该班学生的每周平均体育运动时间的平均数的估计值为0.051+0.23+0.35+0.257+0.159+0.0511=4.45（6分）（2）依题意可知，平均运动时间低于4小时的学生中，在0，2）的人数有0.0520=1，记为1，在2，4）的人数有0.220=4，记为2，3，4，5，（8分）从这5人中随机抽取2人的可能情况有10种，分别为：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）； （10分）其中，抽取到运动时间低于2小时的学生的可能情况有4种，分别为：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5）； （11分）故所求概率（12分）点评：本题考查古典概型的概率的求法，频率分布直方图的应用，考查计算能力18（14分）如图1，平面五边形sabcd中sa=，ab=bc=cd=da=2，abc=，sad沿ad折起成如图2，使顶点s在底面的射影是四边形abcd的中心o，m为bc上一点，bm=（1）证明：bc平面som；（2）求四棱锥sabmo的体积考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定 专题：空间位置关系与距离分析：（1）由菱形的性质与余弦定理可得：om，再利用勾股定理的逆定理可得ombc，由so平面abcd，可得sobc，即可证明；（2）由题意及如图2知由so底面abcd，sooa利用sabmo=soab+sobm，四棱锥sabmo的体积=，即可得出解答：（1）证明：四边形abcd为菱形，o为菱形中心，连接ob，则aoob，又，且，在obm中om2=ob2+bm22obbmcosobm=，ob2=om2+bm2，故ombm，即 ombc，又顶点s在底面的射影是四边形abcd的中心o，由so平面abcd，sobc，从而bc与平面som内两条相交直线om，so都垂直，bc平面som（2）解：由（1）可知，由题意及如图2知由so底面abcd，sooaso=此时sabmo=soab+sobm=+=+=四棱锥sabmo的体积=点评：本题考查了菱形的性质与余弦定理、勾股定理的逆定理、线面垂直的判定与性质定理、四棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19（14分）已知数列an的前n项和sn满足an+1=2sn+6，且a1=6（1）求a2的值；（2）求数列an的通项公式；（3）设，证明：b1+b2+bn1考点：数列的求和；数列递推式 专题：等差数列与等比数列；不等式的解法及应用分析：（1）令n=1，由a1=s1，即可得到所求；（2）将n换成n1，两式相减，再结合等比数列的定义和通项公式，计算即可得到所求；（3）求出sn，可得bn，再由裂项相消求和，计算即可得证解答：解：（1）当n=1时，a2=2s1+6=2a1+6=18，a2=18；（2）由an+1=2sn+6，得an=2sn1+6（n2）：得an+1an=2sn2sn1，即an+1=3an（n2），又a1=6，a2=18，所以a2=3a1，数列an是以6为首项，公比为3的等比数列，；（3）证明：由（2）得：，故，=点评：本题考查数列的通项和求和，主要考查等比数列的通项和数列的求和方法：裂项求和，考查运算能力，属于中档题20（14分）已知直线l：y=x+1过椭圆c：=1（ab0）的一个焦点和一个顶点（1）求椭圆c的标准方程；（2）过原点的直线与椭圆c交于a，b两点（a，b不是椭圆c的顶点）点d在椭圆c上，且adab，直线bd与bc平面som轴交于点m，求常数使得kam=kbd考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）利用直线的截距，求出椭圆的几何量，然后求解方程（2）设a（x1，y1）（x1y10），d（x2，y2），直线ab的斜率，直线ad的斜率，设直线ad的方程为y=kx+m，由题意知k0，m0，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理求出kbd，推出m（3x1，0）利用kam=2kbd，求出解答：解：（1）直线过两点（1分）因为椭圆的焦点在x轴时，故焦点为，顶点为（0，1）（2分）b=1，c=（3分）a=2，（4分）所以，所求椭圆c的方程为（5分）（2）设a（x1，y1）（x1y10），d（x2，y2），则b（x1，y1），直线ab的斜率，（6分）又abad，所以直线ad的斜率