高中数学 2.1数列的概念与简单表示法教案（二）新人教A版必修5(1).doc

21数列的概念与简单表示法（一）教学过程一、知识讲解 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，第n 项，.例如，上述例子均是数列，其中中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项.数列的一般形式：，或简记为，其中是数列的第n项结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. 中，这是一个数列，它的首项是“1”，“”是这个数列的第“3”项，等等。下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：项 序号 这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：来表示其对应关系即：只要依次用1，2，3代替公式中的n，就可以求出该数列相应的各项结合上述其他例子，练习找其对应关系 数列的通项公式：如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注意：并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列；一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，它的通项公式可以是，也可以是.数列通项公式的作用：求数列中任意一项；检验某数是否是该数列中的一项.数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项，又是这个数列中所有各项的一般表示通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项5.数列与函数的关系数列可以看成以正整数集n*（或它的有限子集1，2，3，n）为定义域的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。反过来，对于函数y=f(x),如果f(i)（i=1、2、3、4）有意义，那么我们可以得到一个数列f(1)、 f(2)、 f(3)、 f(4)，f(n)，6数列的分类：1）根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6。是有穷数列无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是无穷数列2）根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列。递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列。常数数列：各项相等的数列。摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列二、范例讲解 例1 根据下面数列的通项公式，写出前5项：（1）分析：由通项公式定义可知，只要将通项公式中n依次取1，2，3，4，5，即可得到数列的前5项解：（1） (2) 练习1根据下面数列的通项公式，写出前5项： 解：； ，例2写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）1，3，5，7； （2）（3）-，-，. 解：（1）项1=21-1 3=22-1 5=23-1 7=24-1 序号 1 2 3 4即这个数列的前4项都是序号的2倍减去1，它的一个通项公式是： ；（2）序号：1 2 3 4 项分母：2=1+1 3=2+1 4=3+1 5=4+1 项分子： 22-1 32-1 42-1 52-1即这个数列的前4项的分母都是序号加上1，分子都是分母的平方减去1，它的一个通项公式是： ； （3）序号 这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是： 练习2：根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1) 3, 5, 9, 17, 33,； (2) , , , , , ； (3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,； (4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ；(5) 2, 6, 12, 20, 30, 42,. 解：(1) 2n1； (2) ； (3) ； (4) 将数列变形为10, 21, 30, 41, 50, 61, 70, 81, , n；(5) 将数列变形为12, 23, 34, 45, 56,， (1)n(n1)例3 数列中， 是数列中的第几项？ 为何值时，有最小值？并求最小值解： 由，解得，是数列中的第项 ， 或时，练习3：数列中，求数列的最大项和最小项解： ，又，数列是递增数列数列的最小项为，没有最大项三、课堂小结：本节课学习了以下内容：数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n项求一些简单数列的通项公式。四、巩固练习：1.数列1，0，1，0，1，的一个通项公式是（ ）a.an= b.an=c.an=d.an=【解析】将数列与 对应项相加得到的数列即是.【答案】b2.设数列，则2是这个数列的（ ）a.第六项 b.第七项c.第八项d.第九项【解析】可观察所给数列的通项公式是an=，由得n=7【答案】b3.已知an=n2+n,那么（ ）a.0是数列中的一项b.21是数列中的一项c.702是数列中的一项d.30不是数列中的一项【解析】由n2+n=702即n2+n702=0得：n=26或n=27(舍去)【答案】c4.函数f(n)=当自变量依次取正整数1，2，3，n,时对应的函数值，以数列形式表示为（ ）a.1,1,1,1 b.1,1,1,1,1,1c.1,1,1,1,1,1,， d.1,1,1,1,1,1,，【解析】显然数列f(n)为无穷数列【答案】d5.已知数列an的通项公式an (nn*)，那么是这个数列的第_项.【解析】令an=即,得n=10，或n=12(舍去)【答案】106.已知数列an的通项公式为an=9n()n，则此数列的前4项分别为_.【解析】a1=6,a2=8,a3=8,a4=【答案】6，8，8，五、课后作业课本习题2.1a组的第1题2.1数列的概念与简单表示法（第课时）教学过程一、知识运用图中的三角形称为希尔宾斯基（sierpinski）三角形。在下图4个三角形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象。二、探究新知观察以下数列，并写出其通项公式： 问题： 除了用通项公式外，还有什么办法可以确定这些数列的每一项？定义：已知数列的第一项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的递推公式.定义:一、知识讲解1.数列的表示方法（1）通项公式法如果数列的第n项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。如：数列 的通项公式为 ； 的通项公式为 ； 的通项公式为 ；（2）图象法启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形具体方法是以项数 为横坐标，相应的项 为纵坐标，即以 为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列 为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在 轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势（3）递推公式法知识都来源于实践，最后还要应用于生活用其来解决一些实际问题 观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型 模型一：自上而下： 第1层钢管数为4；即：141+3 第2层钢管数为5；即：252+3 第3层钢管数为6；即：363+3 第4层钢管数为7；即：474+3 第5层钢管数为8；即：585+3 第6层钢管数为9；即：696+3 第7层钢管数为10；即：7107+3若用表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且n7）运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数这会给我们的统计与计算带来很多方便。让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律）模型二：上下层之间的关系自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1。即；依此类推：（2n7）对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要。定义：递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式递推公式也是给出数列的一种方法。如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89递推公式为：数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列表法，图象法，解析式法相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用 表示第一项，用 表示第一项，用 表示第 项，依次写出成为（4）列表法简记为 2数列的前n项和：数列中，称为数列的前n项和，记为. 表示前1项之和：= 表示前2项之和：=表示前n-1项之和：=表示前n项之和：=.当n1时才有意义；当n-11即n2时才有意义.2与之间的关系：由的定义可知，当n=1时，=；当n2时，即.说明：数列的前n项和公式也是给出数列的一种方法.三、范例讲解例1 设数列满足写出这个数列的前五项。解：题中已给出的第1项即，递推公式：据题意可知：，练习1 已知数列中，3），试写出数列的前4项解：由已知得 例2. 数列中，求，并归纳出解：，由，可以归纳出练习2：已知数列的第1项是1，第2项是2，以后各项由给出写出这个数列的前5项； 利用上面的数列，通过公式构造一个新的数列，试写出数列 的前5项解： 由，得，； 依题意有：，例3 已知,求.解法一: - 观察法解法二: -累加法练习3：已知， 写出前5项，并猜想 法一： ，观察可得 法二：由 即 例4、已知下列数列的前项和，分别求它们的通项公式； 解： 当时，当时，当时， 当时，当时，当时，练习4: 已知数列的前n项和，求数列的通项公式： =n+2n； =n-2n-1.解：当n2时，=-=(n+2n)-(n-1)+2(n-1)=2n+1；当n=1时，=1+21=3；经检验，当n=1时，2n+1=21+1=3，=2n+1为所求.当n2时，=-=(n-2n-1)-(n-1)+2(n-1)-1=2n-3；当n=1时，=1-21-1=-2；经检验，当n=1时，2n-3=21-3=-1-2，=为所求. (五). 课堂小结：1.递推公式的概念；2.递推公式与数列的通项公式的区别是：(1)通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相临两项(或n项)之间的关系.(2)对于通项公式,只要将公式中的n依次取即可得到相应的项，而递推公式则要已知首项（或前n项），才可依次求出其他项.3通项公式与前n项和的关系：(六)课堂练习1.在数列an中，a1=,an=(1)n2an1(n2)，则a5等于a. b.c.d. 【解析】由a1=,an=(1)n2an1得 a2=,a3=,a4=,a5=【答案】b2.在数列an中，a1=2,a2=5,且an+1=an+2+an，则a6的值为a.3b.11c.5d.19【解析】由a1=2,a2=5又an+1=an+2+an即an+2=an+1ana3=3,a4=2,a5=5,a6=3【答案】a3.已知an+1=an+3，则数列an是a.递增数列b.递减数列c.常数列d.摆动数列【解析】由an+1=an+3，即an+1an=30知，数列an为递增数列.【答案】a4.已知数列an满足a10，且an+1=an,则数列an是a.递增数列b.递减数列c.常数列d.摆动数列【解析】由a10,且an+1=an则an0又1an+1an因此数列an为递减数列.【答案】b5.已知f(1)=2,f(n+1)= (nn*)，则f(4)=_.【解析】f(2)=f(3)= f(4