高中数学 1.2 应用举例学案 新人教A版必修5(1).doc

12 应用举例（第1课时）学习目标1 能运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决与测量学、航海问题等有关的实际问题；2 分清仰角、俯角、张角、视角和方位角及坡度、经纬度等概念。3 将实际问题转化为解三角形问题要点精讲1仰角、俯角、方位角、视角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角；方位角指从正北方向顺时针转到目标方向的水平角。观察物体时，从物体两端(上、下或左、右)引出的光线在人眼光心处所成的夹角叫视角。2坡度通常把坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比）用字母i表示。3解三角形的实际问题的常见题型测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等。范例分析例1（1）平地上有甲乙两楼，甲楼高15米已知从甲楼顶测得乙楼底的俯角为30，又测得乙楼顶的仰角为15则乙楼的高是_米（15=0.2679，精确到0.01）（2）为了测量上海东方明珠的高度，某人站在a处测得塔尖的仰角为，前进38.5m后，到达b处测得塔尖的仰角为.试计算东方明珠塔的高度 （精确到1m）.例2（1）某舰艇在a处测得遇险渔船在北偏东45距离为10海里的c处，此时得知，该渔船沿北偏东105方向，以每小时9海里的速度向一小岛靠近，舰艇时速21海里，则舰艇到达渔船的最短时间是 （2）一船以每小时15km的速度向东航行,船在a处看到一个灯塔b在北偏东，行驶h 后，船到达c处，看到这个灯塔在北偏东，这时船与灯塔的距离为 km例3某观察站c在a城的南偏西20方向，由a城出发有一条公路，走向是南偏东40，距c处31千米的公路上的b处有一人正沿公路向a城走去，走了20千米后到达d处，此时cd距离为21千米，问此人还需走多少千米才能到达a城？例4隔河看两目标a和b，但不能到达，在岸边选取相距千米的c、d两点，测得acb=75，bcd=45，adc=30，adb=45（a、b、c、d在同一平面内），求之间的距离。规律总结运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤是：分析：理解题意，弄清清与未知，画出示意图（一个或几个三角形）；建模：根据书籍条件与求解目标，把书籍量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；求解：利用正弦定理、余弦定理理解这些三角形，求得数学模型的解；检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。基础训练一、选择题1有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20，现要将倾斜角改为10，则坡底要伸长a1公里bsin10公里ccos10公里dcos20公里2海上有a、b两个小岛相距10海里，从a岛望c岛和b岛成60的视角，从b岛望c岛和a岛成75的视角，则b、c间的距离是（ ）a.10海里 b.海里 c. 5海里 d.5海里3甲船在岛b的正南方a处，ab10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自b出发以每小时6千米的速度向北偏东60的方向驶去，当甲，乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（ ）a分钟b分钟c21.5分钟d2.15分钟4某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离与第二辆车与第三辆车的距离d2之间的关系为（ ）a. b. c. d. 不能确定大小 5如图，d、c、b三点在地面同一直线上，dc=a，从c、d两点测得a点的仰角分别是、a（a），则a点离地面的高ab等于（ ）a.b. c. d.二、填空题6在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30、60，则塔高为 。7一货轮航行到m处，测得灯塔s在货轮的北偏东15相距20里处，随后货轮按北偏西30的方向航行，半小时后，又测得灯塔在货轮的北偏东45，则货轮的速度为 8 有一广告气球直径为6米，放在公司大楼上空（如图），当某行人在a地观测气球时，其中心仰角为bac=30，并测得气球的视角=2，若很小时，可取sin=，试估计气球的高bc的值约为 米 三、解答题9如图,甲船以每小时海里的速度向正北方向航行, 乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于处时,乙船位于甲船的北偏西的方向处,此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达处时,乙船航行到甲船的北偏西方向的处,此时两船相距海里,问乙船每小时航行多少海里?10如图，在斜度一定的山坡上的一点a测得山顶上一建筑物顶端c对于山坡的斜度为15，向山顶前进100m后，又从点b测得斜度为45，假设建筑物高50m，求此山对于地平面的斜度q的余弦值 能力提高11两灯塔a,b与海洋观察站c的距离都等于a(km), 灯塔a在c北偏东30,b在c南偏东60,则a,b之间的相距 ( ) aa (km) ba(km) ca(km) d2a (km)12a、b、c是一条直路上的三点，ab与bc都等于1千米，从三点望塔p，见塔在a的正东北，在b的正东，在c的南偏东60，求塔到直路的距离12 应用举例（第1课时）参考答案例1解：（1）设甲、乙两楼的高度分别为，则米；（2）设上海东方明珠的高度为，则。例2解：（1）设经过小时后舰艇和渔船同时到达处，则，由余弦定理得，即，解得小时，答：舰艇到达渔船的最短时间是40分钟。（2）在中，由正弦定理得。例3解：在中，由余弦定理得，在中，由正弦定理得，于是千米，故此人还需走15千米才能到达a城例4解：如图所示，在acd中， adc=30，acd=120，基础训练15 adaca；6米；7里/小时；8 86米；提示 sin2=，米。9解：如图，连结，是等边三角形，在中，由余弦定理得， 因此乙船的速度的大小为答：乙船每小时航行海里.10解：在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，解得。11c12解：千米由条件知：，过p点作于d，在中，由余弦定理：（千米）12 应用举例（第2课时）学习目标1能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化；2能够利用正、余弦定理解决平面几何中的问题。要点精讲解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形。解斜三角形的主要依据是：设abc的三边为a、b、c，对应的三个角为a、b、c。（1）角与角关系：a+b+c = ；（2）边与边关系：a + b c，b + c a，c + a b，ab c，bc b；（3）边与角关系：正弦定理 （r为外接圆半径）；余弦定理 c2 = a2+b22bccosc，b2 = a2+c22accosb，a2 = b2+c22bccosa；它们的变形形式有：a = 2r sina，。范例分析例1已知abc，b为b的平分线，求证：abbcac例2在abc中，ab5，ac3，d为bc中点，且ad4，求bc边长例3如图，在四边形abcd中，已知adcd, ad=10, ab=14, bda=60, bcd=135，求bc的长例4在abc中，a30，cosb2sinbsinc(1)求证：abc为等腰三角形；(提示bc75)(2)设d为abc外接圆的直径be与ac的交点，且ab2，求addc的值规律总结1设abc的三边长分别为，边上的中线分别为，则，。2平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和。基础训练一、选择题1如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为（ ）a.锐角三角形 b.直角三角形 c.钝角三角形 d.由增加的长度决定2在abc中，若，则abc是（ ）a有一内角为30的直角三角形 b等腰直角三角形c有一内角为30的等腰三角形d等边三角形 3在abc中，ab=3，bc=，ac=4，则边ac上的高为（ ）a.b. c. d.34若abc的三条边的长分别为3、4、6，则它的较大的锐角的平分线分三角形所成的两个小三角形的面积比是（ ）a.11b.12c.14d.34 5abc中，则abc的周长为（ ）a bc d二、填空题6已知abc的三个内角满足，且ab1，bc4，则边bc上的中线ad的长为 7已知三角形两边长分别为1和，第三边上的中线长为1，则三角形的外接圆半径为 8在中，的对边分别为，若，则的取值范围是 。三、解答题9、已知平面四边形，求的长。10如图，在中，（1）求的值；（2）求的值. 能力提高11cd是abc的边ab上的高，且，则( )a b 或c 或d 或 12如图，已知abc是边长为1的正三角形，m、n分别是边ab、ac上的点，线段mn经过abc的中心g，设mgaa（）（1） 试将agm、agn的面积（分别记为s1与s2）表示为a的函数（2）求y的最大值与最小值12 应用举例（第2课时）参考答案例1证明：在abd内，利用正弦定理得：在bcd内，利用正弦定理得：bd是b的平分线abddbc sinabdsindbcadbbdc180sinadbsin（180bdc）sinbdc，。评注：上述结论即为内角平分线性质，利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，要注意互补角的正弦值相等这一特殊关系式的应用例2解：设bc边为，则由d为bc中点，可得bddc，在adb中，cosadb在adc中，cosadc又adbadc180cosadbcos（180adc）cosadc解得，2, 所以，bc边长为2例3解：在abd中，设bd=x，则即 整理得：解之： （舍去）由正弦定理： 例4解：（1）由已知，展开得，于是bc75，abc为等腰三角形。（2）方法1：易得，在和中，；方法2：；方法3：连，则，于是。评注：事实上，因为，所以，于是，。基础训练15 abbbd；5提示：在中，由正弦定理得：化简得ac=，化简得ab=，所以三角形的周长为：3+ac+ab=3+=3+。故选d。6 提示；由a+c=2b，且a+b+c=可得ad为边bc上的中线可知bd=2,由余弦定理定理可得。7；提示：可得第三边长为2，三角形为直角三角形；8；提示：因为，所以，又因为在是减函数，故。9解1：延长交于点p，则，可得。解2：设，可得。10（1）解： 由余弦定理， 那么，（2）解：由，且得由正弦定理，解得。所以，。由倍角公式，且，故. 11d提示：由已知，得，当时，或；当时，。12解：（1）因为g是边长为1的正三角形abc的中心，所以 ag，mag，由正弦定理得则s1gmgasina，同理可求得s2（2）y72（3cot2a），因为，所以当a或a时，y取得最大值ymax240当a时，y取得最小值ymin2161.2 应用举例(第3课时)学习目标1能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化；2能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式要点精讲在abc中，应熟练掌握下列知识（1），等；（2）在中，；（3）在锐角三角形中，范例分析例1在abc中，已知sin2bsin2csin2asinasinc，求b的度数例2在abc中，证明下列各式：（1）（a2b2c2）tana（a2b2c2）tanb0(2) 例3在abc中，三边长为连续的自然数，且最大角是最小角的2倍，求此三角形的三边长例4在abc中，若.(1)判断abc的形状； (2)在上述abc中，若角c的对边，求该三角形内切圆半径的取值范围。 规律总结1余弦定理是解斜三角形中用到的主要定理，若将正弦定理代入得：sin2asin2bsin2c2sinbsinccosa，这是只含有三角形三个角的一种关系式，利用这一定理解题，简捷明快。请解决下面问题：求sin210cos240sin10cos40的值（答案：）2在非直角三角形中，tana+tanb+tanc=tanatanbtanc.基础训练一、选择题1已知a、b、c是abc的三个内角，则在下列各结论中，不正确的是（ ）asin2asin2bsin2c2sinbsinccos(bc)bsin2bsin2asin2c2sinasinccos(ac)csin2csin2asin2b-2sinasinbcoscdsin2(ab)sin2asin2b-2sinbsinccos(ab)2在三角形abc中,a、b都是锐角，且sina=cosb，则此三角形是（ ） a锐角三角形 b直角三角形 c钝角三角形 d不能确定形状3在abc中，cos（ab）sin（ab）=2，则abc的形状是（ ）a.等边三角形b.等腰钝角三角形c.等腰直角三角形d.锐角三角形4若，则abc是（ ）（a）直角三角形 （b）等腰直角三角形（c）等边三角形 （d）顶角为120的等腰三角形5在abc中，若，这个三角形必含有（ ）a.30的内角b.45的内角c.60的内角d.90的内角二、填空题6sin220cos280sin20cos80的值为 7在abc中，a+c=2b，ac=60，则sinb= . 8若钝角三角形三内角的度数满足：，且最大边长与最小边长的比值为m，则m的取值范围是 。三、解答题9在中，求证： （1）；（2）。10已知abc中，2（sin2asin2c）=（ab）sinb，外接圆半径为.求：（1）c；（2）abc面积的最大值. 能力提高11在abc中，若，则的大小为（ ）a.30b.45c.60d.7512在中，（）求角的大小；（）若最大边的边长为，求最小边的边长1.2 应用举例 (第3课时) 参考答案例1解：由余弦定理得sin2bsin2asin2c2sinasinccosb，2sinasinccosbsinasincsinasinc0 cos b150例2证明：(1)左边（a2b2c2）故原命题得证 故原命题得证例3解1：设三角形的三边长分别为，1，2，其中*，又设最小角为，则 ,又由余弦定理可得2（1）2（2）22（1）（2）cos将代入整理得：2340解之得14，21(舍)所以此三角形三边长为4，5，6解2：设三角形