高中数学 2.4等比数列学案 新人教A版必修5(1).doc

第二章 数列24 等比数列（第1课时） 学习目标 1掌握等比数列的定义，理解等比中项的概念；2掌握等比数列的通项公式及推导思路；3能根据等比数列的定义判断或证明一个数列为等比数列 要点精讲 1如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示2在数列中，若对任意，有，则称数列为等比数列；在数列中，若对任意，有，则数列为等比数列3由三个数组成的等比数列可以看成最简单的等比数列这时，叫做与的等比中项为与的等比中项组成等比数列4设等比数列的首项是，公比是，则通项公式公式推导方法为归纳法对于任意，有 范例分析 例1在等比数列中，（1），求与；（2），求；例2已知是与的等比中项，又是与的等差中项，求的值例3正项等比数列与等差数列满足且，则，的大小关系为（ ） a b c d不确定例4在等差数列中，公差，且是和的等比中项，已知， 成等比数列，求数列的通项 规律总结 1可以把等比数列的问题归结为两个基本量和的问题；2判定一个数列是不是等比数列，就是看是不是一个与无关的常数3等比数列与指数函数的关系：等比数列的通项公式，它的图象是分布在曲线且上的一些孤立的点当时，等比数列是递增数列；当时，等比数列是递增数列；当时，等比数列是递减数列；当时，等比数列是递增数列；当时，等比数列是摆动数列；当时，等比数列是常数数列 基础训练 一、选择题1在数列中，对任意，都有，则等于（ ）a b c d2已知等差数列的公差为2，若成等比数列， 则（ ）a b c d3已知成等比数列，且曲线的顶点是，则等于（ ）a b c d4在abc中，是以为第项，为第项的等差数列的公差，是以为第项，为第项的等比数列的公比，则该三角形为 ( )a锐角三角形 b直角三角形 c钝角三角形 d等腰三角形5设等差数列的公差不为0， 若是与的等比中项，则（ ）a b c d二、填空题6在等比数列中，对任意，都有，则公比_ 。7已知为等比数列，则的通项公式为 8已知，把数列的各项排成三角形状； 记表示第行，第列的项，则 。三、解答题9若成等比数列，试证：也成等比数列。10已知等差数列的公差和等比数列的公比相等，且都等于若，求通项， 能力提高 11在数列中，对任意，都有（为常数），则称为“等差比数列”下面对“等差比数列”的判断：不可能为；等差数列一定是等差比数列；等比数列一定是等差比数列；通项公式为的数列一定是等差比数列，其中正确的判断为 （ ）a b c d12是否存在都大于的一对实数，使得可以按照某一次序排成一个等比数列？若存在，求出所有的实数对；若不存在，说明理由22 等比数列（第1课时）14答案例1（1）或；（2），两式相除，消去，得，则，解得或当时， ；当时， 。例2，即，所以或，或例3c解法1：因为，所以，故解法2：由题意知，等比数列的通项公式，它的图象是分布在曲线且上的一些孤立的点等差数列的通项公式，它的图象是分布在直线上的一些孤立的点因为，所以两列图像有两个公共点，如图， 显然有当与同为递减数列时同样可得例4解：由题意得：， 即又 ， 又成等比数列,该数列的公比为， 所以又，所以数列的通项为 基础训练 1a 提示：2b解：因为 ，由已知，解得3c 解：由已知，所以4a 解：易得，所以5b 解：，因为，所以，解得6 提示：由得，故，解之得。7或 提示：，两式相除，消去，得，解得或。8 解：第9行最后一个数为，故第10行最后一个数为9由成等比数列，则且，显然，都不等零，且，所以成等比数列。10由已知得，则，两式相除得，解得，又，所以代入的，故，所以， 能力提高 11d 提示：等差数列公差为零时不是等差比数列；等比数列公比为时不是等差比数列。12解：因为，且，若四数成等比数列，则，所以，又，解得24 等比数列（第2课时） 学习目标 1了解等比数列的性质，会用性质解决等比数列的简单问题；2能进一步根据等比数列的定义判断或证明一个数列为等比数列 要点精讲 1等比数列的性质（1）在等比数列中，若，则注意：（2）在等比数列中，；（3）在等比数列中，（4）在等比数列中，也成等比数列，公比为 2数列为等比数列的证明方法（1）定义法：若常数对任意的整数成立，则数列为等比数列；（2）中项法：若对任意的整数成立，则数列为等比数列；（3）通项公式法：若，则数列为等比数列 范例分析 例1（1）已知是等比数列，且，求；（2）已知是等比数列，公比，求例2三个实数排成一行，在和之间插入两个实数，和之间插入一个实数，使得这六个数中的前三个、后三个分别成等差数列，且插入的三个数本身依次成等比数列，那么所插入的这三个数的和可能是：；其中正确的序号是 例3在数列中，（）证明数列是等比数列； （）求数列的通项公式 例4已知等比数列中，公比，又分别是某等差数列的第项，第项，第项（1）求的通项公式；（2）设，为数列的前项和，问：从第几项起？ 规律总结 1若数列是等比数列，则数列是等比数列；2若数列是等比数列，且对任意，则数列是等差数列，公差是；若数列是等比数列，则数列是等差数列，公差是；3若数列是等差数列，则数列是等比数列，公比是；4若数列是等比数列，则数列是等比数列，公比是；5若数列、是等比数列，则数列、是等比数列 基础训练 一、选择题1等比数列中，则的值为（ ）a b c d 2某单位某年12月份产量是同年1月份产值的倍，那么该单位此年的月平均增长率是（ ）a b c d3公比不为的等比数列中，若，则等于（ ）a6 b7 c8 d94若是互不相等的实数，且成等差数列，成等比数列，则等于 （ ）a b c d5等比数列中，则等于（ ）a b()9 c d()10二、填空题6已知是一次函数，且成等比数列，则_7数列是等比数列，下列四个命题：、都是等比数列；都是等差数列；、都是等比数列；、都是等比数列正确的命题是 8若方程与的四个实数根适当排列后，恰好组成一个首项为的等比数列，则的值为_。解答题9在等比数列中，已知，且公比为整数，求10有四个数，其中前三个成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和为16，第二个数与第三个数的和为12。求这四个数。 能力提高 11已知等比数列的公比，则的最大值是 12数列的前项和记为，已知证明：（1）数列是等比数列； （2）24 等比数列（第2课时）15答案例1（1）因为，所以，又，所以（2）因为，所以，又，所以，或，所以或，所以或或。例2 解析：设6个数为，则，解得或，所以或。例3）证明：由题设，得，又，所以数列是首项为，且公比为的等比数列（）解：由（）可知，于是数列的通项公式为例4（1），（2），从第项起 基础训练 1b 解：2c 提示：3b