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全国各重点高中自主招生试题集及答案 07 10 年 浙江省萧山中学 2007 年自主招生考试数学试卷 满分为 100 分 考试时间为 70 分钟 一 选择题 每个题目只有一个正确答案 每题 4 分 共 32 分 1 计算tan602sin452cos30 的结果是 A 2 B 2 C 1 D 3 2 如图 边长为 1 的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30 到正 方形ABCD 图中阴影部分的面积为 A 3 1 3 B 3 3 C 3 1 4 D 1 2 3 已知ba 为实数 且1 ab 设 11 b b a a M 1 1 1 1 ba N 则NM 的 大小关系是 A NM B NM C NM D 无法确定 4 一名考生步行前往考场 10 分钟走了总路程的 4 1 估计步行不能准时到达 于是他改乘出租车赶往考场 他的行程与时间关系如图所示 假定总路程为 1 则 他到达考场所花的时间比一直步行提前了 A 20 分钟 22 分钟 24 分钟 D 26 分钟 5 二次函数142 2 xxy的图象如何移动就得到 2 2xy 的图象 A 向左移动 1 个单位 向上移动 3 个单位 B 向右移动 1 个单位 向上移动 3 个单位 C 向左移动 1 个单位 向下移动 3 个单位 D 向右移动 1 个单位 向下移动 3 个单位 6 下列名人中 比尔 盖茨 高斯 刘翔 诺贝尔 陈景润 陈省身 高尔基 爱因斯坦 其中是数学家的是 A B C D 7 张阿姨准备在某商场购买一件衣服 一双鞋和一套化妆品 这三件物品的原价和优惠 方式如下表所示 A B C D B D C 欲购买的 商品 原价 元 优惠方式 一件衣服 420 每付现金 200 元 返购物券 200 元 且付款时可以使用购物券 一双鞋 280 每付现金 200 元 返购物券 200 元 但付款时不可以使用购物券 一套化妆品 300 付款时可以使用购物券 但不返购物券 请帮张阿姨分析一下 选择一个最省钱的购买方案 此时 张阿姨购买这三件物品实 际所付出的钱的总数为 A 500 元 B 600 元 C 700 元 D 800 元 8 向高为 H 的水瓶中注水 注满为止 如果注水量 V 与水深 h 的函数关系的图象如上 图所示 那么水瓶的形状是 二 填空题 每题 6 分 共 30 分 9 若关于x的分式方程 3 1 3 1 x a x 在实数范围内无解 则实数 a 10 三角形的两边长为 4cm 和 7cm 则这个三角形面积的最大值为 cm2 11 对正实数ba 作定义baabba 若444 x 则x的值是 12 已知方程 033 2 xax在实数范围内恒有解 并且恰有一个解大于 1 小于 2 则a的取值范围是 13 如果有 2007 名学生排成一列 按 1 2 3 4 5 4 3 2 1 2 3 4 5 4 3 2 1 的规律报数 那么第 2007 名学生所报的数是 三 解答题 本题有 4 个小题 共 38 分 解答应写出文字说明 证明过程或推演步骤 14 本小题满分 8 分 田忌赛马 齐王和他的大臣田忌均有上 中 下马各一匹 每 场比赛三匹马各出场一次 共赛三次 以胜的次数多者 为赢 已知田忌的马较齐王的马略有逊色 即 田忌的 上马不敌齐王的上马 但胜过齐王的中马 田忌的中马 不敌齐王的中马 但胜过齐王的下马 田忌的下马不 敌齐王的下马 田忌在按图 1 的方法屡赛屡败后 接受 田忌上马 齐王中马 田忌中马 齐王下马 田忌下马 齐王上马 田忌上马 齐王上马 田忌中马 齐王中马 田忌下马 齐王下马 图 1 图 2 了孙膑的建议 用图 2 的方法 结果田忌两胜一负 赢了比赛 假如在不知道齐王出马顺 序的情况下 1 请按如图的形式 列出所有其他可能的情况 2 田忌能赢得比赛的概率是 15 本题满分 10 分 把几个数用大括号围起来 中间用逗号断开 如 3 2 1 19 8 7 2 我们称之为集合 其中的数称其为集合的元素 如果一个集合满足 当实数a是集合的 元素时 实数a 8也必是这个集合的元素 这样的集合我们称为好的集合 1 请你判断集合 2 1 7 4 1是不是好的集合 2 请你写出满足条件的两个好的集合的例子 16 本小题满分 10 分 如图 在 ABC 中 AC BC CD 是 AB 边上的高线 且有 2CD 3AB 又 E F 为 CD 的三等分点 求证 ACB AEB 十 AFB 1800 17 本小题满分 10 分 已知点 M N 的坐标分别为 0 1 0 1 点 P 是抛物线 2 1 4 yx 上的一个动点 1 求证 以点 P 为圆心 PM 为半径的圆与直线1y 的相切 2 设直线 PM 与抛物线 2 1 4 yx 的另一个交点为点 Q 连接 NP NQ 求证 PNMQNM 四 附加题 本题满分为 3 分 但即使记入总分也不能使本次考试超出 100 分 18 有人认为数学没有多少使用价值 我们只要能数得清钞票 到菜场算得出价钱这点数 学知识就够了 根据你学习数学的体会 谈谈你对数学这门学科的看法 浙江省萧山中学 2007 年自主招生考试数学参考答案 一 选择题 每题 4 分 共 32 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A B C C D B B 二 填空题 每题 6 分 共 30 分 9 1 10 14 11 36 12 2 1 1 a 或323 a 13 3 三 三 解答题 共 38 分 解答应写出文字说明 证明过程或推演步 步骤 171414 本小题满分 8 分 解 1 其他可能的对阵形式有 田忌上马 齐王上马 齐王中马 齐王下马 齐王下马 田忌中马 对 齐王下马 齐王上马 齐王上马 齐王中马 田忌下马 齐王中马 齐王下马 齐王中马 齐王上马 每写出一个得 1 分 2 根据对对阵形式的分析可以知道 天忌赢得比赛的概率为 6 1 得 4 分 解 115 本小题满分 10 分 解 解 1 集合 2 1不是好的集合 7 4 1是好的集合 每个判断正确得 2 分 学校 准考证号 姓名 密 封 线 2 集合 4 5 4 3 6 2 7 6 4 2 1等都可以举 每举出一个得 3 分 16 本小题满分 10 分 证明 ABCD32 且FE 为CD三等分点 D为AB中点 ABCD 2 1 3 1 即DFAD 45 AFD 得 4 分 FCFEDFDFADAF 2222 2 CFAAFE AEFCAF 得 3 分 即 45 AFDAEDACD 90 AFDAEDACD 所以得证 得 3 分 17 本小题满分 10 分 解 1 设点 P 的坐标为 2 00 1 4 xx 则 PM 222222 0000 111 1 1 1 444 xxxx 又 因 为 点P到 直 线1y 的 距 离 为 22 00 11 1 1 44 xx 所以 以点 P 为圆心 PM 为半径的圆与直线1y 相切 得 4 分 2 如图 分别过点 P Q 作直线1y 的垂线 垂足分别为 H R 由 1 知 PH PM 同理可得 QM QR 因为 PH MN QR 都垂直于直线1y 所以 PH MN QR 于是 QMMP RNNH 所以 QRPH RNHN 因此 Rt PHN Rt QRN 于是HNPRNQ 从而PNMQNM 得 6 分 附加题 可以在反面作答 18 可以从数学的基础性 应用的广泛性 培养严密的逻辑思维能力 人文素养 科学精 神等各方面价值作简单说明 2007 年罗田一中自主招生考试 数学试卷 一 填空题 4085 分 1 方程组 26 211 3 3 yx yx 的解是 2 若对任意实数x不等式bax 都成立 那么a b的取值范围为 3 设21 x 则2 2 1 2 xxx的最大值与最小值之差为 4 两个反比例函数 x y 3 x y 6 在第一象限内的图象点 1 P 2 P 3 P 2007 P在反 比例函数 x y 6 上 它们的横坐标分别为 1 x 2 x 3 x 2007 x 纵坐标分别是1 3 5 共2007个连续奇数 过 1 P 2 P 3 P 2007 P分别作y轴的平行线 与 x y 3 的图象交点依次为 111 yxQ 222 yxQ 2007 20072007 yxQ 则 20072007Q P 5 如右图 圆锥的母线长是3 底面半径是1 A是底面圆周上一点 从A点出 发绕侧面一周 再回到A点的最短的路线长是 6 有一张矩形纸片ABCD 9 AD 12 AB 将纸片折叠使A C两点重 合 那么折痕长是 7 已知3 a 4 b 5这五个数据 其中a b是方程023 2 xx的两个根 则 这五个数据的标准差是 8 若抛物线142 2 ppxxy中不管p取何值时都通过定点 则定点坐标为 二 选择题 4085 分 9 如图 ABC 中 D E是BC边上的点 1 2 3 ECDEBD M在AC边上 2 1 MACM BM交AD AE于H G 则GMHGBH 等 于 A 1 2 3 B 1 3 5 C 5 12 25 D 10 24 51 10 若一直角三角形的斜边长为c 内切圆半径是r 则内切圆的面积与三角形面积之比 是 A rc r 2 B rc r C rc r 2 D 22 rc r 11 抛物线 2 axy 与直线1 x 2 x 1 y 2 y围成的正方形有公共点 则实数 a的取值范围是 A 1 4 1 a B 2 2 1 a C 1 2 1 a D 2 4 1 a 12 有铅笔 练习本 圆珠笔三种学习用品 若购铅笔3支 练习本7本 圆珠笔1支共 需15 3元 若购铅笔4支 练习本10本 圆珠笔1支共需2 4元 那么 购铅笔 练 习本 圆珠笔各1件共需 A 2 1元 B 05 1元 C 95 0元 D 9 0元 13 设关于x的方程09 2 2 axaax 有两个不相等的实数根 1 x 2 x 且 1 x 1 2 x 那么实数a的取值范围是 A 11 2 a B 5 2 7 2 a C 5 2 a D 0 11 2 a 14 如图 正方形ABCD的边1 AB 和都是以1为半径的圆弧 则无阴影部分 的两部分的面积之差是 A 1 2 B 4 1 C 1 3 D 6 1 15 已知锐角三角形的边长是2 3 x 那么第三边x的取值范围是 A 51 x B 135 x C 513 x D 155 x 16 某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了 x 第三季度的产值又比第二季度 的 产 值 增 长 了 x 则 第 三 季 度 的 产 值 比 第 一 季 度 增 长 了 A 2x B 21x C 1 xx D 2 xx 三 解答题 17 15 分 设m是不小于1 的实数 关于x的方程033 2 2 22 mmxmx有 两个不相等的实数根 1 x 2 x 1 若 2 1 x6 2 2 x 求mr 值 2 求 2 2 2 1 2 1 11x mx x mx 的最大值 18 15 分 如图 开口向下的抛物线aaxaxy128 2 与x轴交于A B两点 抛物 线上另有一点C在第一象限 且使OCA OBC 1 求OC的长及 AC BC 的值 2 设直线BC与y轴交于P点 点C是BP的中点时 求直线BP和 抛物线的解析式 19 15 分 某家电生产企业根据市场调查分析 决定调整产品生产方案 准备每周 按120 个工时计算 生产空调器 彩电 冰箱共360台 且冰箱至少生产60台 已知生产 这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表 家电名称 空调 彩电 冰箱 工 时 2 1 3 1 4 1 产值 千元 4 3 2 问每周应生产空调器 彩电 冰箱各多少台 才能使产值最高 最高产值是多少 以 千元为单位 20 10 分 一个家庭有3个孩子 1 求这个家庭有2个男孩和1个女孩的概率 2 求 这个家庭至少有一个男孩的概率 21 15 分 如图 已知 O和 O相交于A B两点 过点A作 O的切线交 O于 点C 过点B作两圆的割线分别交 O O于E F EF与AC相交于点P 1 求证 PFPCPEPA 2 求证 PB PF PC PE 2 2 3 当 O与 O为 等圆时 且5 4 3 EPCEPC时 求PEC 与FAP 的面 积的比值 数学试卷参考答案 一 1 0 26 1 1 y x 或 28 2 2 2 y x 2 0 a 0 b 3 1 4 2 4013 5 33 6 4 45 7 2 8 33 4 二 9 16 DBDB DABD 三 17 15 分 解 方程有两个不相等的实数根 044 33 4 2 4 22 mmmm 1 m 由题意知 11 m 1 610102 33 2 2 42 222 21 2 21 2 2 2 1 mmmmmxxxxxx 2 175 m 11 m 2 175 m 2 2 2 2 1 2 1 11x mx x mx mm mmmm xx xxxxxxm 2 23 21 2121 2 2 2 1 2882 1 1 2 5 2 3 2 13 2 1 13 1 2 22 2 mmm mm mmmm 11 m 1 m y取最大值为10 18 15 分 解 1 由题设知0 a 且方程0128 2 aaxax有两二根6 2 21 xx 于是6 2 OBOA OCA OBC 12 2 OBOAOC 即32 OC 而3 2 2 OC OB S S AC BC OCA OBC 故 3 AC BC 2 因为C是BP的中点 BCOC 从而C点的横坐标为3 又32 OC 3 3 C 设直线BP的解析式为bkxy 因其过点 0 6 B 3 3 C 则有 bk bk 33 60 32 3 3 b k 32 3 3 xy 又点 3 3 C在抛物线上 aaa122493 3 3 a 抛物线解析式为 34 3 38 3 3 2 xxy 19 15 分 解 设每周应生产空调 彩电 冰箱的数量分别为x台 y台 z台 则有 60 3 12 1 90120 4 1 3 1 2 1 360 z yxzyx zyx 总产值 xxyxyxzyxzyxA 1080 3 720 2 2234 60 z 3 0 0 yx 而3603 yx 3003360 xx 30 x 1050 A 即 30 x 2 7 0 y 60 z 20 10 分 解 用B和G分别代表男孩和女孩 用 树状图 列出所有结果为 这个家庭有2个男孩和1个女孩的概率为 8 3 这个家庭至少有一个男孩的概率 8 7 21 15 分 解 1 证明 连结AB CA 切 O于A FCA B ECA B FE CEAF PA PC PF PE PFPCPEPA 2 证明 在 O中 PCPAPEPB 得 PFPCPAPBPEPA 22 PB PF PC PE 2 2 3 连结AE 由 1 知PEC PFA 而5 4 3 EPCEPC 5 4 3 PFFAPA 设xEPxCExPC5 4 3 222 CEPCEP 222 FAPAPF 0 90 CAFC AE 为 O的直径 AF为 O的直径 O与 O等圆 yAFAE4 222 AECEAC 222 4 4 33 yxyx 即 第 2 题 071825 22 yxyx 即0 725 yxyx 25 7 y x 6 2 5 4 9 2 2 y x SS FAPECP 2007 年乐清中学自主招生考试 数学试题卷 亲爱的同学 欢迎你参加考试 考试中请注意以下几点 1 全卷共三大题 满分 120 分 考试时间为 100 分钟 2 全卷由试题卷和答题卷两部分组成 试题的答案必须做在答题卷的相应位置上 做在试题卷上无效 3 请用钢笔或圆珠笔在答题卷密封区上填写学校 姓名 试场号和准考证号 请勿遗漏 4 答题过程不准使用计算器 祝你成功 一 选择题 本题共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 在每小题的四个选项中 只有一个 符合题目要求 1 如果一直角三角形的三边为a b c B 90 那么关于 x 的方程 a x2 1 2cx b x2 1 0 的根的情况为 A 有两个相等的实数根 B 有两个不相等的实数根 C 没有实数根 D 无法确定根的情况 2 如图 PPP 123 是双曲线上的三点 过这三点分别作 y 轴的垂线 得三个三角形 PAOP A OP A O 112233 设它们的面积分别是SSS 123 则 第 5 题 A SSS 123 B SSS 213 C SSS 132 D SSS 123 3 如图 以 BC 为直径 在半径为 2 圆心角为 900的扇形内作半圆 交弦 AB 于点 D 连 接 CD 则阴影部分的面积是 A 1 B 2 C 1 2 1 D 2 2 1 4 由 3 25 xya xya xy am 得 a 3 则 m 的取值范围是 A m 3 B m 3 C m 3 D m 3 5 如图 矩形 ABCG AB BC 与矩形 CDEF 全等 点 B C D 在同一条直线上 APE 的顶点 P 在线段 BD 上移动 使APE 为直角的点 P 的个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 6 已知抛物线 y ax2 2ax 4 0 a 3 A x1 y1 B x2 y2 是抛物线上两点 若 x1 x2 且 x1 x2 1 a 则 A y1 y2 D y1与 y2的大小不能确定 二 填空题 本题共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 把答案填写在题中横线上 7 二次函数 y ax 2 a b x b 的图象如图所示 那么化简 22 2 aabbb a 的结果是 8 如图所示 在正方形 ABCD 中 AO BD OE FG HI 都垂 第 7 题 第 3 题 直于 AD EF GH IJ 都垂直于 AO 若已知 S AJI 1 则S正方形 ABCD 9 将一个棱长为 8 各个面上均涂有颜色的正方体 锯成 64 个同样大小的小正方体 其中 所有恰有 2 面涂有颜色的小正方体表面积之和为 10 用黑白两种颜色正方形的纸片按黑色纸片数逐渐加 l 的规律拼成一列图案 1 第 4 个图案中有白色纸片 张 2 第 n 个图案中有白色纸片 张 3 从第 1 个图案到第 100 个图案 总共有白色纸片 张 11 如图所示 线段 AB 与 CD 都是 O 中的弦 其中 108 36 OO ABABa CDCDb 则 O 的半径 R 12 阅读下列证明过程 已知 如图四边形 ABCD 中 AB DC AC BD AD BC 求证 四边形 ABCD 是 等腰梯形 第 10 题 第 12 题 第 11 题 第 8 题 读后完成下列各小题 1 证明过程是否有错误 如有 错在第几步上 答 2 作 DE AB 的目的是 3 判断四边形 ABED 为平行四边形的依据是 4 判断四边形 ABCD 是等腰梯形的依据是 5 若题设中没有 AD BC 那么四边形 ABCD 一定是等腰梯形吗 为什么 答 2007 年漳州一中高中自主招生考试 数 学 试 卷 满分 150 分 考试时间 120 分钟 亲爱的同学 欢迎你参加本次考试 请细心审题 用心思考 耐心解答 祝你成功 答题时请注意 请将答案或解答过程写在答题卷的相应位置上 写在试卷上不得分 一 选择题 本大题共有 10 小题 每小题 4 分 共 40 分 每小题都有 A B C D 四个选项 其中有且只有一个选项是正确的 请将正确答案的代号填写在答题卷中 相应的表格内 答对得 4 分 答错 不答或答案超过一个的得零分 1 下列运算正确的是 A 22 532baabab B 632 aaa C 0 1 2 2 a a a D yxyx 2 如图 点A在数轴上表示的实数为a 则2 a等于 A 2 a B 2 a C 2 a D 2 a 3 甲 乙两名运动员在10次的百米跑练习中 平均成绩分别为x 甲 7 10 秒 x 乙 7 10 秒 方差分别为 S 2 甲 054 0 S 2 乙 103 0 那么在这次百米跑练习中 甲 乙两名运动员成绩较为稳定的是 A 甲运动员 B 乙运动员 C 甲 乙两人一样稳定 D 无法确定 4 如图 A B C D是直线l上顺次四点 M N分别是AB CD的中点 且6 MNcm 1 BCcm 则AD的长等于 A 10cm B 11cm C 12cm D 13cm 5 已知等腰三角形的一个外角等于 140 则这个三角形的三个内角的度数分别 是 A 20 20 140 B 40 40 100 C 70 70 40 D 40 40 100或 70 70 40 6 如图 点A在函数 y x 6 0 x的图象上 过点 A 作AE垂直x轴 垂足为E 过点A作AF垂直y 轴 垂足为F 则矩形AEOF的面积是 A 2 B 3 C 6 D 不能确定 7 用大小和形状完全相同的小正方体木块搭成 一个几何体 使得它的正视图和俯视图如图 所示 则搭成这样的一个几何体至少需要小 y x O A F E 第 6 题图 A 1 0 1 2 3 第 2 题图 A M B C N D l 第 4 题图 正视图 俯视图 第 7 题图 正方体木块的个数为 A 22个 B 19个 C 16个 D 13个 8 用半径为cm6 圆心角为 120的扇形做成一个圆锥的侧面 则这个圆锥的底面半径 是 A 2cm B 3cm C 4cm D 6cm 9 若n为整数 则能使 1 1 n n 也为整数的n的个数有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 10 已知a为实数 则代数式 2 21227aa 的最小值为 A 0 B 3 C 33 D 9 二 填空题 本大题共有 6 小题 每小题 4 分 共 24 分 请将正确的答案直接填写 在答题卷中相应的横线上 11 函数 1 2 x x y的自变量x的取值范围是 12 分解因式 xyyx273 3 13 把2007个边长为1的正方形排成如右图所示的 图形 则这个图形的周长是 14 如图 正方形ABCD的边长为4cm 正方形AEFG 的边长为1cm 如果正方形AEFG绕点A旋转 那么 C F两点之间的最小距离为 cm 15 若规定 m表示大于m的最小整数 例如 4 3 2 4 2 m表示不大于m的最大整数 例如 5 5 4 6 3 则使等式 4 2 xx成立的整数 x 16 如图 E F分别是 A B CD的边AB CD上 的点 AF与DE相交于点P BF与CE相交于 点Q 若S APD 15 2 cm S BQC 25 2 cm 则阴影部分的面积为 2 cm E A B C D G F 第 14 题图 P A B C D E F Q 第 16 题图 第 13 题图 三 解答题 本大题共有 7 小题 共 86 分 其中第 17 题 8 分 第 18 19 题各 10 分 第 20 题 12 分 第 21 题 14 分 第 22 23 题各 16 分 请将解答过程写在答题卷的相应位 置上 17 计算 2330tan3 2 0 18 先化简 再求值 2 12 2 x x 2 4 x x 其中42 x 19 将背面相同 正面分别标有数字1 2 3 4的四张卡片洗匀后 背面朝上放在桌面 上 1 从中随机抽取一张卡片 求该卡片正面上的数字是偶数的概率 2 先从中随机抽取一张卡片 不放回 将该卡片正面上的数字作为十位上的数字 再随机抽取一张 将该卡片正面上的数字作为个位上的数字 则组成的两位数恰 好是 4 的倍数的概率是多少 请用树状图或列表法加以说明 20 为配合我市 创卫 工作 某中学选派部分学生到若干处公共场所参加义务劳动 若每 处安排10人 则还剩15人 若每处安排14人 则有一处的人数不足14人 但不少于10 人 求这所学校选派学生的人数和学生所参加义务劳动的公共场所个数 21 如图 四边形ABCD是正方形 点N是CD A B C D M N 的中点 M是AD边上不同于点A D的点 若 10 10 sin ABM 求证 MBCNMB 22 如图 抛物线的顶点坐标是 8 9 2 5 且经过点 14 8 A 1 求该抛物线的解析式 2 设该抛物线与y轴相交于点B 与x轴相交于C D两点 点C在点D的左边 试求点B C D的坐标 3 设点P是x轴上的任意一点 分别连结AC BC 试判断 PBPA 与BCAC 的大小关系 并说明理由 23 如图 AB是 O 的直径 过点B作 O 的切线BM 点P在右半圆上移动 点P与点A B不重合 过点P作PC AB 垂足为C 点Q在射线BM 上移 动 点M在点B的右边 且在移动过程中保持OQ AP 1 若PC QO的延长线相交于点E 判断是否存在点P 使得点E恰好在 O 上 若存在 求出APC 的大小 若不存在 请说明理由 D A O x y C B 第 22 题图 2 连结AQ交PC于点F 设 PC PF k 试问 k的值是否随点P的移动而变化 证明你的结论 2007 年漳州一中高中自主招生考试 数学参考答案及评分意见 一 选择题 本大题共有 10 小题 每小题 4 分 共 40 分 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答 案 C A A B D C D A D B 二 填空题 本大题共有 6 小题 每小题 4 分 共 24 分 11 2 x且1 x 12 xy3 3 x 3 x 或 3 3 3xxxy 13 4016 14 23 15 2 16 40 三 解答题 本大题共有 7 小题 共 86 分 17 8 分 原式23 3 3 31 6 分 1 8 分 18 10 分 原式 x x x xx 4 2 2 12 2 2 2 分 Q A B C E F P M O 第 23 题图 x x 4 16 2 4 4 4 x xx 4 x 7 分 当42 x时 原式 4 42 2 10 分 19 10 分 1 4 分 4 2 偶数 p 2 1 4 分 2 4 分 树状图为 或列表法为 画出树状图或列出表 格得 4 分 4 分 2 分 所以 4 1 12 3 4 的倍数 p 2 分 20 12 分 解法一 设参加x处公共场所的义务劳动 则学校派出 1510 x名学生 2 分 依题意得 2 10 1 14 1510 1 14 1 14 1510 xx xx 6 分 由 1 得 4 3 3 x 由 2 得 4 3 4 x 4 3 4 4 3 3 x 8 分 又x 为整数 4 x 10 分 当4 x时 551510 x 11 分 答 这所学校派出 55 名学生 参加 4 处公共场所的义务劳动 12 分 解法二 设这所学校派出x名学生 参加y处公共场所的义务劳动 1 分 依题意得 2 14 1 1410 1 1510 yx xy 6 分 第 一 次 第二次 1 2 3 4 1 21 31 41 2 12 32 42 3 13 23 43 4 14 24 34 1 2 3 4 2 3 4 1 2 3 4 1 1 2 3 4 12 13 14 21 23 24 31 32 34 41 42 43 解得 4 3 4 4 3 3 y 8 分 y 为整数 4 y 10 分 当4 y时 5515410 x 11 分 答 这所学校派出 55 名学生 参加 4 处公共场所的义务劳动 12 分 21 14 分 证法一 如图 分别延长BC MN相交于点E 1 分 设1 AM 10 10 sin ABM 10 10 BM AM 得10 BM 3 分 3 22 AMBMAB 4 分 是正方形四边形ABCD 2 AMADDM 且 2 3 2 1 DCCNDN 在DMNRt 中 2 5 22 DNMDMN 6 分 又 RtECNMDN ENCMND ASAECNMDN 9 分 2 MDCE 2 5 MNNE 11 分 5 NEMNME 5 CEBCBE BEME 13 分 MBCNMB 14 分 证法二 设1 AM 同证法一 2 5 22 DNMDMN 6 分 如图 将ABM 绕点A顺时针旋转 90得到BCE 连结ME RtBCDBCE NCE 是平角 即点ECN 三点共线 7 分 BECBMA 8 分 1 AMCE BMBE 9 分 BEMBME 10 分 MNCECNNE 2 5 1 2 3 11 分 NEMNME 12 分 NEMBEMNMEBME AMBBECBMN 13 分 又 MBCAMB MBCBMN 14 分 22 16 分 B A C E D M N B C D N M A E 1 4 分 设抛物线的解析式为 8 9 2 5 2 xay 1 分 抛物线经过 14 8 A 8 9 2 5 814 2 a 解得 2 1 a 3 分 8 9 2 5 2 1 2 xy 或2 2 5 2 1 2 xxy 4 分 2 4 分 令0 x得2 y 2 0 B 1 分 令0 y得02 2 5 2 1 2 xx 解得1 1 x 4 2 x 3 分 0 1 C 0 4 D 4 分 3 8 分 结论 BCACPBPA 1 分 理由是 当点CP与点重合时 有 BCACPBPA 2 分 当时异于点点CP 直线AC经过点 14 8 A 0 1 C 直线AC的解析式为22 xy 3 分 设直线AC与y轴相交于点E 令0 x 得2 y 2 0 E 则 2 0 2 0 BE与点 关于x轴对称 4 分 ECBC 连结PE 则PBPE AEECACBCAC 5 分 在APE 中 有AEPEPA 6 分 BCACAEPEPAPBPA 7 分 综上所得BCACBPAP 8 分 23 16 分 1 6 分 解法一 当点E在 O上时 设OQ与 O交于点D PCAB APAE 1 分 AP OQ PEQAPE 2 分 PDAP 3 分 又BODAOE BDAE 4 分 APBAE 3 1 即 5 分 30180 3 1 2 1 3 1 2 1 AOBAPE 6 分 解法二 设点E在 O上时 由已知有CPEC 1 分 EOC PAC 2 分 CAOC APOE 3 分 在Rt APC中 2 1 2 sin AC AC OA AC AP AC APC 5 分 30APC 6 分 C x y A B D E O P A B C P E D Q O 2 10 分 k值不随点P的移动而变化 理由是 P是 O右半圆上的任意一点 且AP OQ QOBPAC 1 分 BM是 O的切线 RtABQ 又 ABPC RtACP ABQACP 2 分 ACP OBQ 3 分 QB PC OB AC 4 分 又 BAQCAF RtABQACF ACF ABQ 6 分 BQ CF AB AC 7 分 又 OBAB2 BQ CF OB AC 2 即 BQ CF OB AC2 8 分 CFPC2 即CFPF 9 分 PC PF k 2 1 即k值不随点P的移动而变化 10 分 Q A B C E F P M O 部分试题参考答案 21 1 证明 BC 是O的直径 BE是O的切线 EBBC 又ADBC ADBE 易证BFCDGC FECGAC BFCFEFCF DGCG AGCG BFEF DGAG G 是AD的中点 DGAG BFEF 2 证明 连结AOAB BC 是O的直径 90BAC 在RtBAE 中 由 1 知F是斜边BE的中点 AFFBEF FBAFAB 又OAOB ABOBAO BE 是O的切线 90EBO 90EBOFBAABOFABBAOFAO PA 是O的切线 3 解 过点F作FHAD 于点H BDADFHAD FHBC 由 1 知FBABAF BFAF 由已知 有BFFG AFFG 即AFG 是等腰三角形 FHAD AHGH DGAG 2DGHG 即 1 2 HG DG 90FHBDBFADFBD 四边形BDHF是矩形 BDFH FHBC 易证HFGDCG FHFGHG CDCGDG 即 1 2 BDFGHG CDCGDG O 的半径长为3 2 6 2BC 1 26 2 BDBDBD CDBCBDBD 解得2 2BD O D G C A E F B P 2 2BDFH 1 2 FGHG CGDG 1 2 FGCG 3CFFG 在RtFBC 中 3CFFG BFFG 由勾股定理 得 222 CFBFBC 222 3 6 2 FGFG 解得3FG 负值舍去 3FG 或取CG的中点H 连结DH 则2CGHG 易证AFCDHC FGHG 故2CGFG 3CFFG 由GDFB 易知CDGCBF 22 33 CDCGFG CBCFFG 由 6 22 36 2 BD 解得2 2BD 又在RtCFB 中 由勾股定理 得 222 3 6 2 FGFG 3FG 舍去负值 24 解 对游戏 A 画树状图 或用列表法 2 3 4 第 二 次 第 一 次 2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 3 4 开始 2 2 2 23 2 4 3 32 33 34 4 4 2 43 4 4 所有可能出现的结果共有 9 种 其中两数字之和为偶数的有 5 种 所以游戏A小华获胜的 概率为 5 9 而小丽获胜的概率为 4 9 即游戏A对小华有利 获胜的可能性大于小丽 对游戏B 画树状图 或用列表法 5 6 8 8 5 56 58 58 6 65 68 68 8 85 86 88 8 85 86 88 所有可能出现的结果共有 12 种 其中小华抽出的牌面上的数字比小丽大的有 5 种 根据 游戏B的规则 当小丽抽出的牌面上的数字与小华抽到的数字相同或比小华抽到的数字小 时 则小丽获胜 所以游戏B小华获胜的概率为 5 12 而小丽获胜的概率为 7 12 即游戏B 对小丽有利 获胜的可能性大于小华 小 丽 小 华 开始 6 8 8 5 8 8 5 6 8 5 6 8 8 8 6 5 小丽 小华 蚌埠二中 2008 年自主招生考试 数学素质测试题 注意事项 本试题共三大题 满分 120 分 考试时间 120 分钟 参考公式 3223 3 33babbaaba 2233 babababa 3223 3 33babbaaba 2233 babababa 一 选择题 每小题 5 分 共 30 分 以下每小题均给出了代号为 A B C D 的四个 选项 其中有且只有一个选项是正确的 请将正确选项的代号填入题后的括号里 不填 多填或错填均得 0 分 1 已 知 80sincos A 则 锐 角A的 取 值 范 围 是 A 8060 A B 8030 A C 6010 A D 3010 A 2 实数b满足3 b 并且有实数a 使ba 恒成立 则a的取值范围是 A 小于或等于 3 的实数 B 小于 3 的实数 C 小于或等于3 的实数 D 小于3 的实数 3 设 1 x 2 x是方程0 2 kxx的两个实根 若恰有 22 221 2 1 2kxxxx 成 立 则k的值为 A 1 B 2 1 或 1 C 2 1 D 2 1 或 1 4 代数式9 12 4 22 xx的最小值为 A 12 B 13 C 14 D 11 学校 姓名 准考证号 2 3 5 掷一枚质地均匀的正方体骰子 骰子的六个面上分别刻有 1 至 6 六个数 连续掷 两次 掷得面向上的点数之和是 3 的倍数的概率为 A 36 5 B 6 1 C 3 1 D 9 4 6 10099433221 A 223300 B 333300 C 443300 D 433300 二 填空题 每小题 5 分 共 30 分 1 多项式4116 23 xxx可分解为 2 已知点 yxp位于第二象限 并且62 xy x y为整数 则点p的个数 是 3 已知 O的半径1 OA 弦AB AC的长分别是2 3 则BAC 的度数 是 4 方程 01200820062007 2 xx的较大根为a 方程020072006 2 xx 的较小根为b 则 ba 5 已知 33 15 4 15 4 x 则xx12 3 的算术平方根是 6 如图 在ABCRt 中 90 BCA 30 BAC 6 AB 将ABC 以点 B 为中心逆时针旋转 使点 C 旋转 至 AB 边延长线上的点 C 处 那么 AC 边转过的图形 图中 阴影部分 的面积是 三 解答题 每题 12 分 共 60 分 1 现将一个表面涂满红色的正方体的每条棱十等分 此正方体分割成若干个小正方 体 在这些小正方体中 求 两面涂有红色的小正方体的个数 任取一个小正方体 各面均无色的小正方体的概率 若将原正方体每条棱n等分 只有一面涂有红色的小正方体的个数 2 已知x y均为实数 且满足17 yxxy 66 22 xyyx 求 代数式 432234 yxyyxyxx 的值 3 在直角ABC 中 90 C 直角边BC与直角坐标系中的x轴重合 其内切圆 的圆心坐标为 1 0 p 若抛物线12 2 kxkxy的顶点为 A 求 求抛物线的对称轴 顶点坐标和开口方向 用k表示 B 点的坐标 当k取何值时 60 ABC 4 如图 OA和OB是 O的半径 并且OBOA P是OA上的任意一点 BP的 延长线交 O于点Q 点R在OA的延长线上 且RQRP 求证 RQ是 O的切线 求证 22 OPPQPBOB 当OARA 时 试确定B 的取值范围 5 平面上有n个点 3 n n为自然数 其中任何三点不在同一直线上 证明 一定存在三点 以这三点作为顶点的三角形中至少有一个内角不大于 n 180 蚌埠二中 2008 年自主招生考试 A B Q P R O 数学素质测试题答案 一 选择题 每小题 5 分 共 30 分 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D C A B C B 二 填空题 每小题 5 分 共 30 分 1 12 43 1 xxx 2 6 3 15或 75 4 2008 5 22 6 9 三 解答题 每小题 12 分 共 60 分 1 96 块 4 分 512 0 125 64 1000 512 P 4 分 2 2 6 nN 4 分 2 由已知条件可知xy和 yx 是方程06617 2 tt的两个实数根 6 1 t 11 2 t 11 6 yx xy 或 6 11 xy yx 4 分 当11 xy 6 yx时 x y是方程0116 2 vv的两个根 04436 1 此方程没有实数根 3 分 当6 xy 11 yx时 x y是方程0611 2 uu的两个根 024121 2 此方程有实数根 这时1092 222 xyyxyx 422234 yxyyxyxx 22222244 yxxyyxxyyxyx 12499 2222222 yxxyyxyx 3 12 2 kxkxy 对称轴1 x 易见抛物线是以ABCRt 的直角边AC 所在直线为对称轴 由题易得 1 1 kA 又当0 x时 1 y即抛物线过 1 0 p 故 0 k开口向下 4 分 如图 KAC 1 OBOBCOBC 1 OBAEBDADAB kOBOBCEAC 由勾股定理得 222 1 1 kOBOBk A B C E D O P y x 1 1 k k OBOB 1 1 k k 0 1 1 k k B 4 分 60 ABC 3tan ABC 又3 2 1 tan 2 k k ABC 0132 2 kk 23 1 k 23 2 k 又 0 k 23 k 4 分 4 证明 连结OQ 90 OQR RQ是 O的切线 4 分 证明 延长AO O交于点C 22 OPOBOPOBOPOBOPOAOPOCPAPCPQPB 22 OPPQPBOB 4 分 解 当OARA 时 30 R 易得 15 B 当R与A重合时 45 B R是OA延长线上的点 R与A不重合 45 B 又 OARA 45 B 4515 B 4 分 5 如图 在这n个点中 必存在这样的两点 使其它各点均在这两点所在直线同侧 设 这两个点为 1 A 2 A 其它各点按逆时针方向设为 3 A 4 A n A 当 n AAA n 1802 180 12 时 连 n AA2 在 n AAA 21 中 n AAAAAAAAA nnn 1802 180 122112 则 n AAA 12 21 AAA n 中必有一个角不大于 n 180 6 分 当 n AAA n 1802 180 12 时 n AAAAAAAAAAAA nn 1802 180 11514413312 则在这2 n个角中 必有一个角不大于 n 180 设 n AAA ii 180 11 则 11 ii AAA即为所求三角形 6 分 A1 A2 An A3 A4 An 1 2008 年浙江省温州中学保送生考试数学试题 一 选择题 每题只有一个答案是正确的 每题 4 分 共 16 分 1 若有m个数的平均数是x 另有n个数的平均数是y 则这m n 个数的平均数 是 A 2 xy B xy mn C mxny mn D mxny xy 2 如图是一个正方体包装盒的表面展开图 若在其中的三个正方形 A B C 内分别填上适当的数 使得将这个表面展开图沿虚线折成正方体后 相对面上的两数互为相反数 则填在 A B C 内的三个数依次是 A 1 0 2 B 0 1 2 C 0 2 1 D 2 0 1 3 函数yaxa 与 a y x a 0 在同一个坐标系中的图像可能是 4 已知梯形 ABCD 中 AD BC 对角线 AC BD 交于 O AOD 的面积为 4 BOC 的 面积为 9 则梯形 ABCD 的面积为 A 21 B 22 C 25 D 26 二 填空题 每题 4 分 共 16 分 5 在某一时刻 一个身高 1 6 米的同学影长 2 米 同时学校旗杆的影子有一部分落在 12 米外的墙上 墙上影高 1 米 则旗杆高为 6 一个幻方中 每一行 每一列 及每一对角线上的三个数之和有相 同的值 如图所示已知一个幻方中的三个数 则x的值是 7 观察下列等式 第 1 条 222 543 第 2 条 22222 1413121110 第 3 条 2222222 27262524232221 写出 第 4 条 8 老李到办公室后 他总要完成以下事情 烧开水 10 分钟 洗茶杯 1 分钟 准备茶叶和 冲茶 1 分钟 打扫办公室 9 分钟 收听新闻 10 分钟 问老李做好以上事情至少需要 分钟时间 三 解答题 9 如图所示 AB 为 O 的直径 P 为 AB 延长线上一点 PD 切 O 于 C BC 和 AD 的延 长线相交于点 E 且 AB AE 1 求证 ADPD 2 若圆的半径为 BP 1 求证 ABE 是等边三角形 题中横线上的数字被 墨迹污染了 请你填上半径的值 并证明这个题目 本题 10 分 x 21 27 22 PO E D C B A 10 1960 年 数学家证明存在一个正整数n 使得 55555 1331108427n 推翻了 数学家欧拉的一个猜想 请你求出n的值 简要说明理由 本题 10 分 11 某一天的不同时刻老板把信交给秘书打字 每次都将信放在秘书信堆的最上面 秘书 有时间就将信堆最上面的那封信取来打 1 假定共有 5 封信 且老板以 1 2 3 4 5 的顺序交来 在下列各顺序中 哪一 顺序不可能是秘书打字的顺序 A 12345 B 54321 C 23541 D 23514 2 假定共有 3 封信 且老板以 1 2 3 的顺序交来 则秘书打字的顺序有多少种可 能 简要说明理由 本题 8 分 参考答案 1 答案 C 2 答案 C 3 答案 A 4 答案 CD