高中数学 第一章 不等关系与基本不等式 1.3 平均值不等式课件 北师大版选修45.ppt_第1页
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第一章不等关系与基本不等式 3平均值不等式 一 阅读教材p10的有关内容 完成下列问题 1 定理1对任意实数a b 有a2 b2 2ab 当且仅当 时取等号 a b a b 正 两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值 1 利用作差法证明定理2 二 阅读教材p10 p14的有关内容 完成下列问题 3 定理3对任意三个正数a b c 有a3 b3 c3 3abc 当且仅当 时取等号 a b c a b c 三个正数的算术平均值不小于它们 的几何平均值 a1 a2 an 不小于 答案 a b c不全相等 用平均值不等式证明不等式 1 已知a b c都是正数 点评 平均值不等式具有将 和式 和 积式 相互转化的放缩功能 常常用于证明不等式 解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点 选择好利用平均值不等式的切入点 但应注意连续多次使用平均值不等式时等号成立的条件是否保持一致 利用平均值不等式求最值 答案 c 答案 8 点评 利用平均值不等式求函数的最值或值域时 需要同时满足三个条件 一正 二定 三相等 正 可通过题设得到 对于各项为负的函数解析式 可通过提出负号达到目的 相等 可通过最后的验证得到 定 往往需要一定的灵活性和技巧性 常用构造定值条件的技巧有拆分 添项 去项 统一变量等 解 令t x 1 则x t 1 因为x 1 所以x 1 0 即t 0 已知x 0 y 0 且x2y 4 试求x y的最小值及达到最小值时x y的值 利用三个正数的平均值不等式求最值 解决恒成立问题 点评 解决某些含参数的不等式恒成立问题时 可通过分离参数的方法 使参数与变量分别位于不等式两端 从而将问题转化为求关于变量的函数的最值 进而通过平均值不等式求出参数的取值范围 4 若关于x的不等式x2 ax 1 0对于一切x 0 2 恒成立 则实数a的取值范围是 答案 2 1 应用平均值不等式判断不等式是否成立或比较大小 解题策略是对所给不等式变形 然后利用平均值不等式求解 2 利用平均值不等式求最值 一般按以下三步进行 1 看式子能否出现和 或积 的定值 若不具备 需对式子变形 凑出需要的定值 2 看所用的两项是否同正 若不满足 通过分类解决 同负时 可提取 1 变为同正 3 利用已知条件对取等号的情况进行验证 若满足 则可取最值 若不满足 则可通过函数单调性或导数解决 切记利用平均值不等式求最值时的三个条件 一正 二定 三相等 必须同时满足 函数方可取得最值 否则不可以 3 求参数的值或
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