高中数学 第二章 函数 2.1 函数 2.1.3 函数的单调性课件 新人教B版必修1.ppt

2 1 3函数的单调性 一 二 一 二 3 若把增 减函数定义中的 任意x1 x2 改为 存在x1 x2 可以吗 提示 不可以 如图 虽然 x 2 1 0 y f 2 f 1 0 但f x 在 1 2 上并不是单调函数 因此 任意 两字不能忽视 更不能用 特殊 取代 为了方便也可将定义改为 如果对于属于定义域i内某个区间d上的任意两个自变量的值x1 x2 当x1 x2时 总有 那么就说函数f x 在区间d上是增 减 函数 一 二 4 填空 一般地 设函数y f x 的定义域为a 区间m a 如果取区间m中的任意两个值x1 x2 改变量 x x2 x1 0 则当 y f x2 f x1 0时 就称函数y f x 在区间m上是增函数 如图 1 所示 当 y f x2 f x1 0时 就称函数y f x 在区间m上是减函数 如图 2 所示 如果一个函数在某个区间m上是增函数或是减函数 就说这个函数在这个区间m上具有单调性 区间m称为单调区间 一 二 5 做一做 已知四个函数的图象如图所示 其中在定义域内具有单调性的函数是 答案 b 一 二 6 函数f x 的单调增 减 区间是d 与 函数f x 在区间d上是增 减 函数 是否相同 提示 不相同 函数f x 的单调增 减 区间是d 这一说法意味着除d之外 函数f x 再无其他单调增 减 区间 函数f x 在区间d上是增 减 函数 则意味着区间d是函数f x 的单调增 减 区间的子区间 即除区间d外 函数f x 还可能有其他的单调增 减 区间 一 二 7 做一做 已知函数y f x 的图象如图所示 则函数的单调减区间为 一 二 二 判断函数单调性的步骤 问题思考 填空 利用定义证明函数f x 在给定的区间m上的单调性的一般步骤 1 任取x1 x2 m 且 x x2 x1 0 2 作差 y f x2 f x1 3 变形 通常所用的方法有 因式分解 配方 分子有理化 分母有理化 通分等 4 定号 即判断 y的正负 5 下结论 即指出函数f x 在给定的区间m上的单调性 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号里打 错误的打 答案 1 2 3 4 5 6 探究一 探究二 探究三 思想方法 用定义法证明 判断 函数的单调性 例1 利用单调性的定义证明函数在 0 内是增函数 分析 解题的关键是对 y f x2 f x1 合理变形 最终要变为几个最简单因式乘积或相除的形式 以便于判号 证明设x1 x2是 0 内的任意两个值 且x10 探究一 探究二 探究三 思想方法 反思感悟证明函数的单调性的步骤1 取值 设x1 x2为给定区间内任意的两个值 且x1 x2 在证明函数的单调性时 由于x1 x2的取值具有任意性 它代表区间内的每一个数 所以在证明时 不能用特殊值来代替它们 2 作差变形 作差 y f x2 f x1 并将差向有利于判断差值的符号的方向变形 作差后 尽量把差化成几个简单因式的乘积或几个完全平方式的和的形式 这是值得学习的解题技巧 在判断因式的正负号时 经常采用这种变形方法 3 定号 判断符号的依据是自变量的取值范围 假定的大小关系及符号的运算法则 4 判断 根据定义作出结论 若 x x2 x1与 y f x2 f x1 同号 则函数在给定区间是增函数 异号 则是减函数 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 利用图象求函数的单调区间 例2 已知x r 函数f x x x 2 试画出y f x 的图象 并结合图象写出函数的单调区间 分析 首先分类讨论 去掉绝对值号 将函数化为分段函数 然后画出图象求解即可 探究一 探究二 探究三 思想方法 反思感悟1 由函数的图象得出单调区间是常用的一种方法 但一定要注意画图的准确性及端点处的处理 若函数的定义域内不含端点 则要写成开区间 若端点在其定义域内 则写成开区间或闭区间均可 但最好加上区间端点 2 初中学过的一次函数 二次函数 反比例函数的单调区间可以作为常用结论 在某些题目中可以直接使用 3 常见的加绝对值的函数有两种 一种是y f x 自变量上加绝对值 另一种是y f x 函数值上加绝对值 4 加绝对值的函数图象的两种画法 1 通过讨论绝对值内的式子的正负 去掉绝对值符号 把函数化为分段函数 再依次画出分段函数每一段的函数图象 2 利用函数图象的变换 即通过图象间的对称变换 得到已知函数的图象 探究一 探究二 探究三 思想方法 函数单调性的简单应用 例3 1 已知函数f x x2 2 a 1 x 2在区间 4 上是减函数 求实数a的取值范围 2 已知函数g x 在r上为增函数 且g t g 1 2t 求t的取值范围 分析 1 先将函数解析式配方 找出对称轴 寻找对称轴与区间的位置关系求解 2 充分利用函数的单调性 实现函数值与自变量不等关系的互化 探究一 探究二 探究三 思想方法 解 1 f x x2 2 a 1 x 2 x a 1 2 a 1 2 2 该二次函数图象的对称轴为x 1 a f x 的单调减区间为 1 a f x 在 4 上是减函数 对称轴x 1 a必须在直线x 4的右侧或与其重合 1 a 4 解得a 3 2 g x 在r上为增函数 且g t g 1 2t 探究一 探究二 探究三 思想方法 反思感悟1 已知函数的单调性求参数范围 要注意数形结合 画出图象 往往解题很方便 同时要采取逆向思维求解 2 充分利用了函数的单调性 在单调区间内 变量与函数值之间的关系 将函数值的不等关系转化为自变量取值的不等关系 即将抽象不等式转化为具体不等式求参数t 探究一 探究二 探究三 思想方法 已知f x x3 ax在 0 1 内是增函数 求实数a的取值范围 探究一 探究二 探究三 思想方法 分类讨论思想在函数单调性中的应用 典例 讨论函数f x 1 x 1 a 0 的单调性 思路点拨 要讨论函数的单调性 只需要用定义判定 由于函数中含有参数 因此要注意分类讨论思想的应用 探究一 探究二 探究三 思想方法 解 设x1 x2是 1 1 内的任意两个自变量 且x1 x2 探究一 探究二 探究三 思想方法 方法点睛1 讨论一个含参数的函数的单调性与证明一个函数的单调性的方法类似 都是利用定义 通过运算 判断f x1 f x2 的正负 从而得出结论 若所含参数符号不确定 必须分类讨论 2 本题的规范解答中每一个环节都不能省略 既有开头和结尾形式上的要求 也有对f x1 f x2 的正负判定进行实质性说明 1 2 3 4 5 1 下列函数在区间 0 内为增函数的是 6 解析 设任意x1 x2 0 x x2 x1 0 选项a中 y f x2 f x1 3 x2 3 x1 x1 x2 0 所以该函数在区间 0 内为减函数 同理可判断选项b中和选项c中函数在区间 0 内为减函数 选项d中函数在区间 0 内为增函数 答案 d 1 2 3 4 5 6 2 下列命题正确的是 a 定义在 a b 内的函数f x 若存在x1 x2 使得f x1 f x2 则f x 在 a b 内为增函数b 定义在 a b 内的函数f x 若有无数多对x1 x2 a b 使得当x1 x2时有f x1 f x2 则f x 在 a b 内为增函数c 若f x 在区间i1上为增函数 在区间i2上也为增函数 则f x 在i1 i2上为增函数d 若f x 在区间i上为增函数 且f x1 f x2 x1 x2 i 则x1 x2解析 根据函数单调性的定义来判断 答案