广东省珠海市高三数学上学期9月摸底试卷 文（含解析）.doc

广东省珠海市2015届高三上学期9月摸底数学试卷（文科） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请在答题卡上填涂相应选项1（5分）已知集合m=2，3，4，n=0，2，3，4，5，则nm=（）a2，3，4b0，2，3，4，5c0，5d3，52（5分）为了解72名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为8的样本，则分段的间隔为（）a9b8c10d73（5分）在等比数列an中，有a1a5=4，则a3的值为（）a2b2c2d44（5分）已知复数z满足（1i）z=2，i为虚数单位，则z为（）a1+ib1ic1+id1i5（5分）下列函数中，定义域是r且为增函数的是（）ay=exby=xcy=lnxd6（5分）如图为某几何体的三视图，则其体积为（）a2b4cd7（5分）设a，br，则“a+b4”是“a2且b2”的（）a充分非必要条件b必要非充分条件c充要条件d既非充分又非必要条件8（5分）对任意的x，1，不等式x2+2xa0恒成立，则实数a的取值范围是（）a（，0b（，3c0，+）d3，+）9（5分）若将一个质点随机投入如图所示的长方形abcd中，其中ab=2，bc=1，则质点落在以ab为直径的半圆内的概率是（）abcd10（5分）设点m（x0，1），若在圆o：x2+y2=1上存在点n，使得omn=30，则x0的取值范围是（）a，b，c2，2d，二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，考生作答4小题，满分15分（一）必做题（1113题）11（5分）不等式组表示的平面区域的面积为12（5分）在abc中，a=1，b=2，cosc=，则c=13（5分）若曲线y=xlnx上点p处的切线平行于直线xy+1=0，则点p的坐标是(二）选做题（1415题，考生从中选做一题）【坐标系与参数方程选做题】14（5分）在平面直角坐标系中，曲线c的参数方程为（t为参数）的普通方程为【几何证明选讲选做题】15如图所示，已知ab，bc是o的两条弦，aobc，ab=，bc=2，则o的半径等于三、解答题：本大题共6小题，共80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（12分）已知函数f（x）=asin（x+），xr，且f（）=（1）求a的值；（2）若角的终边与单位圆的交于点p（，），求f（）17（12分）甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，在培训期间，他们参加的4次预赛成绩记录如下： 甲 82 84 79 95 乙 95 75 80 90（1）从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率；（2）求甲、乙两人的成绩的平均数与方差， 若现要从中选派一人参加数学竞赛，根据你的计算结果，你认为选派哪位学生参加合适？18（14分）在如图所示的多面体中，四边形abb1a1和acc1a1都为矩形（1）若acbc，证明：直线bc平面acc1a1；（2）是否存在过a1c的平面，使得直线bc1平行，若存在请作出平面并证明，若不存在请说明理由19（14分）已知an是首项为1，公差为2的等差数列，sn表示an的前n项和（1）求an及sn；（2）设数列的前n项和为tn，求证：当nn+都有tn成立20（14分）设f1，f2分别是椭圆e：+=1（ab0）的左、右焦点，过点f1的直线交椭圆e于a，b两点，|af1|=3|bf1|，且|ab|=4，abf2的周长为16（1）求|af2|；（2）若直线ab的斜率为1，求椭圆e的方程21（14分）设函数f（x）=x3（1+a）x2+ax，其中a1（1）求f（x）在的单调区间；（2）当x1，3时，求f（x）最小值及取得时的x的值广东省珠海市2015届高三上学期9月摸底数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请在答题卡上填涂相应选项1（5分）已知集合m=2，3，4，n=0，2，3，4，5，则nm=（）a2，3，4b0，2，3，4，5c0，5d3，5考点：补集及其运算 专题：集合分析：根据集合补集的定义即可得到结论解答：解：m=2，3，4，n=0，2，3，4，5，nm=0，5，故选：c点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础2（5分）为了解72名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为8的样本，则分段的间隔为（）a9b8c10d7考点：系统抽样方法 专题：概率与统计分析：根据系统抽样的定义，即可得到结论解答：解：从72人，从中抽取容量为8的样本，则分段的间隔为728=9，故选：a点评：本题主要考查系统抽样的应用，比较基础3（5分）在等比数列an中，有a1a5=4，则a3的值为（）a2b2c2d4考点：等比数列的通项公式 专题：等差数列与等比数列分析：由等比数列的性质得=4，由此能求出a3=2解答：解：在等比数列an中，有a1a5=4，=4，解得a3=2故选：a点评：本题考查等比数列的等3项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用4（5分）已知复数z满足（1i）z=2，i为虚数单位，则z为（）a1+ib1ic1+id1i考点：复数代数形式的乘除运算 专题：计算题分析：由条件解得z=，把 的分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用虚数单位i的幂运算性质，求出结果解答：解：复数z满足（1i）z=2，故选 a点评：本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数5（5分）下列函数中，定义域是r且为增函数的是（）ay=exby=xcy=lnxd考点：函数单调性的判断与证明 专题：函数的性质及应用分析：根据题意，对选项中的函数进行认真分析，选出符合条件的答案来解答：解：对于选项c定义域为（0，+），选项d定义域为（，0）（0，+），故cd不符合，对于a，y=ex为减函数，故a不符合，函数y=x的k=10，定义域是r且为增函数，故b符合；故选：b点评：本题考查了基本初等函数的定义域和单调性问题，解题时应对选项中的函数进行分析，从而选出正确的答案，是基础题6（5分）如图为某几何体的三视图，则其体积为（）a2b4cd考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：由三视图可知几何体是：底面为直角三角形一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥，列出体积表达式，可求几何体的体积解答：解：几何体是：底面为直角三角形一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥，pa=1，ab=2，ac=2，v=（22）1=，故选：d点评：本小题考查由三视图求体积，考查了简单几何体的三视图的运用培养同学们的空间想象能力和基本的运算能力是中档题7（5分）设a，br，则“a+b4”是“a2且b2”的（）a充分非必要条件b必要非充分条件c充要条件d既非充分又非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判定解答：解：当a=5，b=0时，满足a+b4，但a2且b2不成立，即充分性不成立，若a2且b2，则必有a+b4，即必要性成立，故“a+b4”是“a2且b2”的必要不充分条件，故选：b点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础8（5分）对任意的x，1，不等式x2+2xa0恒成立，则实数a的取值范围是（）a（，0b（，3c0，+）d3，+）考点：函数恒成立问题 专题：函数的性质及应用分析：利用参数分离法即可得到结论解答：解：若对任意的x，1，不等式x2+2xa0恒成立，则等价为对任意的x，1，不等式x2+2xa恒成立，设f（x）=x2+2x=（x+1）21，x，1，当x=1时，函数取得最大值f（1）=1+2=3，则a3，故选：d点评：本题主要考查不等式恒成立问题，利用参数分离法是解决本题的关键9（5分）若将一个质点随机投入如图所示的长方形abcd中，其中ab=2，bc=1，则质点落在以ab为直径的半圆内的概率是（）abcd考点：几何概型 专题：概率与统计分析：利用几何槪型的概率公式，求出对应的图形的面积，利用面积比即可得到结论解答：解：ab=2，bc=1，长方体的abcd的面积s=12=2，圆的半径r=1，半圆的面积s=，则由几何槪型的概率公式可得质点落在以ab为直径的半圆内的概率是，故选：b点评：本题主要考查几何槪型的概率的计算，求出对应的图形的面积是解决本题的关键，比较基础10（5分）设点m（x0，1），若在圆o：x2+y2=1上存在点n，使得omn=30，则x0的取值范围是（）a，b，c2，2d，考点：圆方程的综合应用 专题：直线与圆分析：易知m点在直线y=1上，若设圆x2+y2=1与直线y=1的交点为t，显然假设存在点n，使得omn=30，则必有omnomt，所以只需omt30即可，借助于三角函数容易求出x0的范围解答：解：易知m（x0，1）在直线y=1上，设圆x2+y2=1与直线y=1的交点为t，显然假设存在点n，使得omn=30，则必有omnomt，所以要是圆上存在点n，使得omn=30，只需omt30，因为t（0，1），所以只需在rtomt中，tanomt=tan30=，解得，当x0=0时，显然满足题意，故x0故答案选a点评：此题重点考查了利用数形结合的思想方法解题，关键是弄清楚m点所在的位置，能够找到omn与omt的大小关系，从而构造出关于x0的不等式二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，考生作答4小题，满分15分（一）必做题（1113题）11（5分）不等式组表示的平面区域的面积为11考点：简单线性规划 专题：数形结合分析：由约束条件作出可行域，然后用三角形的面积差得答案解答：解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，平面区域的面积=somnsambscdn=故答案为：11点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题12（5分）在abc中，a=1，b=2，cosc=，则c=考点：余弦定理 专题：解三角形分析：利用余弦定理列出关系式，将a，b，cosc的值代入即可求出c的值解答：解：在abc中，a=1，b=2，cosc=，由余弦定理得：c2=a2+b22abcosc=1+42=3，则c=故答案为：点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键13（5分）若曲线y=xlnx上点p处的切线平行于直线xy+1=0，则点p的坐标是（1，0）考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：计算题；导数的概念及应用分析：利用直线平行斜率相等求出切线的斜率，再利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率求出切线斜率，列出方程即得解答：解：切线与直线xy+1=0平行，斜率为1，y=xlnx，y=1lnx+x=1+lnxy（x0）=1 1+lnx0=1，x0=1，切点为（1，0）故答案为：（1，0）点评：此题主要考查导数的计算，以及利用导数研究曲线上某点切线方程，属于基础题(二）选做题（1415题，考生从中选做一题）【坐标系与参数方程选做题】14（5分）在平面直角坐标系中，曲线c的参数方程为（t为参数）的普通方程为3xy4=0考点：参数方程化成普通方程 专题：坐标系和参数方程分析：首先，消去参数方程中的参数t，然后，直接化成相对应的普通方程即可解答：解：曲线c的参数方程为（t为参数），得 t=x1代人y=1+3t，得y=1+3（x1），化简，得3xy4=0，故答案为：3xy4=0点评：本题重点考查了曲线的参数方程和普通方程的互化，化简的关键是消去参数，注意参数的取值范围问题【几何证明选讲选做题】15如图所示，已知ab，bc是o的两条弦，aobc，ab=，bc=2，则o的半径等于1.5考点：与圆有关的比例线段 专题：计算题；立体几何分析：设垂足为d，o的半径等于r，先计算ad，再计算r即可解答：解：设垂足为d，o的半径等于r，则ab，bc是o的两条弦，aobc，ab=，bc=2，ad=1，r2=2+（r1）2，r=1.5故答案为：1.5点评：本题考查垂径定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题三、解答题：本大题共6小题，共80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（12分）已知函数f（x）=asin（x+），xr，且f（）=（1）求a的值；（2）若角的终边与单位圆的交于点p（，），求f（）考点：函数y=asin（x+）的图象变换；任意角的三角函数的定义 专题：三角函数的求值分析：（1）由函数的解析式结合且f（）=，求得a的值（2）由题意可知，利用三角恒等变换化简f（），可得结果解答：解：（1）函数f（x）=asin（x+），（2）由题意可知，且由（1）得：，=点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，三角函数的恒等变换及化简求值，属于基础题17（12分）甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，在培训期间，他们参加的4次预赛成绩记录如下： 甲 82 84 79 95 乙 95 75 80 90（1）从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率；（2）求甲、乙两人的成绩的平均数与方差， 若现要从中选派一人参加数学竞赛，根据你的计算结果，你认为选派哪位学生参加合适？考点：极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数；列举法计算基本事件数及事件发生的概率 专题：概率与统计分析：（1）记甲被抽到的成绩为x，乙被抽到成绩为y，用数对（x，y）表示基本事件，基本事件总数n=16，记“甲的成绩比乙高”为事件a，事件a包含的基本事件数m=8，由此能求出甲的成绩比乙高的概率（2）利用平均数公式和方差公式能求出甲、乙两人的成绩的平均数与方差由=，s甲2s乙2，得甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适解答：解：（1）记甲被抽到的成绩为x，乙被抽到成绩为y，用数对（x，y）表示基本事件：基本事件总数n=16，记“甲的成绩比乙高”为事件a，事件a包含的基本事件：事件a包含的基本事件数m=8，所以p（a）=，所以甲的成绩比乙高的概率为（2）=（82+84+79+95）=85，=（95+75+80+90）=85，s甲2=（7985）2+（8285）2+（8485）2+（9585）2=36.5，s乙2=62.5，=，s甲2s乙2，甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适点评：本题考查概率的求法，考查平均数、方差的求法，考查选派哪位学生参加数学竞赛合适的判断，是基础题18（14分）在如图所示的多面体中，四边形abb1a1和acc1a1都为矩形（1）若acbc，证明：直线bc平面acc1a1；（2）是否存在过a1c的平面，使得直线bc1平行，若存在请作出平面并证明，若不存在请说明理由考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定 专题：作图题；证明题；空间位置关系与距离分析：（1）由矩形由找到垂直，证明aa1平面abc；从而证明bc平面acc1a1（2）先说明存在，然后作图证明；连接a1c，ac1，设a1cac1=d，取线段ab的中点m，连接a1m，mc则平面a1cm为为所求的平面解答：解：（1）证明：四边形abb1a1和acc1a1都是矩形，aa1ab，aa1ac，ab，ac为平面abc内的两条相交直线，aa1平面abc；直线bc平面abc，aa1bc又由已知，acbc，aa1，ac为平面acc1a1内的两条相交直线，bc平面acc1a1（2）存在，证明如下：连接a1c，ac1，设a1cac1=d，取线段ab的中点m，连接a1m，mc则平面a1cm为为所求的平面由作图可知m，d分别为ab、ac1的中点，又md，bc1bc1点评：本题考查了线面垂直的判定定理与性质，同时考查了作图方法，属于中档题19（14分）已知an是首项为1，公差为2的等差数列，sn表示an的前n项和（1）求an及sn；（2）设数列的前n项和为tn，求证：当nn+都有tn成立考点：数列与不等式的综合；数列的求和 专题：等差数列与等比数列；不等式的解法及应用分析：（1）直接利用等差数列通项公式和前n项和公式得答案；（2）把sn取倒数，求和后放大，再利用裂项相消法求和，则结论得到证明解答：解：（1）an是首项a1=1，公差d=2的等差数列，an=a1+（n1）d=2n1，故；（2）由（1）得，=点评：本题考查了等差关系的确定，考查了裂项相消法求数列的和，训练了放缩法证明数列不等式，是中档题20（14分）设f1，f2分别是椭圆e：+=1（ab0）的左、右焦点，过点f1的直线交椭圆e于a，b两点，|af1|=3|bf1|，且|ab|=4，abf2的周长为16（1）求|af2|；（2）若直线ab的斜率为1，求椭圆e的方程考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）利用|af1|=3|bf1|，且|ab|=4，求出：|af1|=3，|f1b|=1，根据abf2的周长为16，结合椭圆的定义，即可求|af2|；（2）若直线ab的斜率为1，设直线ab的方程为y=x+c，代入椭圆方程，利用|af1|=3|bf1|知y1=3y2，即可求椭圆e的方程解答：解：（1）由|af1|=3|f1b|，|ab|=4，得：|af1|=3，|f1b|=11分因为abf2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a=16，|af1|+|af2|=2a=83分故|af2|=2a|af1|=83=54分（2）由（1）可设椭圆方程为，f1（c，0），其中设直线ab的方程为y=x+c，即x=yc