黄宣国清北数学竞赛班讲义(北京)(1).doc

清北数学讲座第一讲 数论（上）（2013年7月19日 上午 北京）例1 设,是正整数，对于任意正整数，都是的倍数。求证：。（IMO预选题）例2 设数列满足，这里正整数。求证：对于每个正整数，皆为完全平方数。（中国）例3 设是给定的正整数，求证：存在一个仅依赖于的正整数。使得当正整数时，至少有个不同质因子。（中国）例4 设是使得能整除的质数。求证：对任意正整数，整数至少有三个不同的质因子。（保加利亚）例5 设,是给定的两个正整数，求证：有无穷多个正整数，使得与互质。（中国）例6 设是由部分整数组成的集合，满足下述性质：对内任意两个元素（可以相同）,有属于。求证：对于内任意两个互质的元素,必不互质。（巴尔干地区）例7 对给定的正整数，求不能表示成形式的最小正整数，其中,均为非负整数。（美国）例8 设正实数,满足。求证：对区间中任意两个不同的整数,，在区间中存在某些整数组成的非空集合，使得是一个有理数的平方。清北数学讲座第二讲 数论（下）（2013年7月19日 下午 北京）例1 已知,是两两互质的正整数，且是的倍数，是的倍数，是的倍数，求,。（中国）例2 对于任意固定的正整数，求证：数列在意义下，自某项开始是常数。（美国）例3 令为不可约分数，求证：有无限多个正整数，使得不等式成立。（环球城市）例4 求所有的正整数对，使得是一个正整数。（IMO）例5 求所有的整数对，使得对任意正整数,都是的倍数。（中国）例6 数列满足：，这里是任意正整数。求的最小值，这里是一个大于5的正整数。（美国）例7 设是一个奇质数，问是否存在正整数,，使得是完全平方数？证明结论。（中国）例8 求所有的正整数，使得存在函数，此处是全体非负整数组成的集合，对所有的非负整数，都有。（IMO）清北数学讲座第三讲 组合数学（上）（2013年7月19日 晚上 北京）例1 在平面内给定个点，且任意三点不共线。求证：至少有个凸四边形，其顶点为上述给定的点。（IMO）例2 设是边长为1的正六边形内及边上的点组成的集合。求最小的正实数，使得存在一种将中的点三染色（一点一色，全部点共染三色的方法），染色后任意两同色点之间的距离小于。（中国）例3 一次困难的数学竞赛包括第一部分和第二部分总共28道题目，每个参加者都恰好解出其中7道题。每两道题都恰好有两个参赛者解出。求证：有一个参赛者，他在第一部分中或者一道题也没有解出，或者至少解出4道题。（美国）例4 某会议共出席个人（是一个正整数），其中每个人都恰好同其余个人相互问候过，对任何两个人，同这两个人相互问候过的人数是相同的，问共有多少人出席会议？（IMO预选题）例5 设是正整数，是若干整数组成的集合，如果存在整数，使得对于任何，是空集，则称为一个集，其中。求证：如果分别为集，且是全体整数组成的集合，则。（中国）例6 在一条直线上标出个不同的蓝点和个不同的红点。求证：同色点两两之间的距离之和不超过异色点两两之间的距离之和。（俄罗斯）例7 在一个圆周上给定12个红点，求的最小值，使得存在以红点为顶点的个三角形，以红点为端点的每条弦，都是其中某个三角形的一条边。（中国）例8 已知,(,都是大于1的正整数，)是奇数，在的长方形表格内的每个小方格内填写上不同的实数。如果一个数满足：（1）它是所在一行中最大的数，且是所在一列中间的数（这一列中有一半数比它大，另有一半数比它小）；或者（2）它是所在一列中最大的数，且是所在一行中中间的数（这一行中有一半数比它大，另有一半数比它小）；则称这数是好数。求好数数目的最大值。（保加利亚）清北数学讲座第四讲 组合数学（下）（2013年7月20日 上午 北京）例1 一个国际社团的成员来自6个国家，共有成员1978个，用1,2,1977,1978编号。求证：该社团内至少有一个成员的编号数与它的两个同胞的编号数之和相等，或是一个同胞的编号数的2倍。（IMO）例2 凸边形中的每条边和每条对角线都是被染为种颜色中的一种。问：对怎样的，存在一种染色方式，使得对于这种颜色中的任何3种不同颜色，都能找到一个三角形，其顶点为多边形的顶点，且它的三条边分别被染为这3种颜色？（中国）例3 对正整数的一个分划，是指将分成若干个正整数之和，且按非减顺序排列（例如，分划有，）。对任一分划，定义为分划中数1出现的个数，定义为分划中出现的不同数字的个数（例如时，对应上述5个分划，依次4,2,1,0,0。依次为1,2,2,1,1）求证：对任意固定的正整数，所有分划的之和等于之和。（美国）例4 已知个砝码中的任意两个重量之比属于，并且这个砝码既可以分成各组重量相等的10组，也可以分成各组重量相等的11组。求的最小可能值。（俄罗斯）例5 给定整数，（1）求证：可以将集合的所有子集适当地排列为，使得与的元素个数恰相差1，其中,2,3, ,且。（2）对于满足（1）中条件的子集，求的所有可能值，其中，。（中国）例6 某省下属的每两个城市都恰好由汽车、火车、飞机三种交通方式中的一种直接联系。已知在全省中三种交通方式全有，但没有一个城市三种方式全有，并且任何三个城市中两两联系的方式不全相同。确定这个省所含城市个数的最大值。（美国）例7 设是一个由个元素的集合，是的某些元子集构