高考数学一轮复习 第十篇 计数原理、概率、随机变量及其分布 第7节 二项分布与正态分布课件 理 新人教版.ppt

第7节二项分布与正态分布 考纲展示 知识梳理自测 考点专项突破 解题规范夯实 知识梳理自测把散落的知识连起来 1 条件概率和一般概率的关系是什么 提示 一般概率的性质对条件概率都适用 是特殊与一般的关系 2 事件a b相互独立的意义是什么 提示 事件a发生的概率对事件b发生的概率没有影响 教材导读 3 在一次试验中事件a发生的概率为p 在n次独立重复试验中事件a恰好发生k次的概率值为什么是pk 1 p n k 提示 n次独立重复试验中事件a恰好发生k次 为个互斥事件之和 每个互斥事件发生的概率为pk 1 p n k 故有上述结论 4 正态分布中最为重要的是什么 提示 概念以及正态分布密度曲线的对称性 知识梳理 1 条件概率 1 条件概率的概念 一般地 设a b为两个事件 且p a 0 称p b a 为在事件a发生的条件下 事件b发生的条件概率 p b a 读作a发生的条件下b发生的概率 2 条件概率的性质性质1 任何事件的条件概率都在0和1之间 即0 p a b 1 必然事件的条件概率等于1 不可能事件的条件概率等于0 性质2 如果b c是两个互斥事件 则p b c a p b a p c a 2 事件的独立性设a b为两个事件 如果p ab 则称事件a与事件b相互独立 3 独立重复试验与二项分布 1 独立重复试验 一般地 在相同条件下做的n次试验称为n次独立重复试验 2 二项分布 一般地 在n次独立重复试验中 设事件a发生的次数为x 在每次试验中事件a发生的概率为p 那么在n次独立重复试验中 事件a恰好发生k次的概率为p x k k 0 1 2 n 此时称随机变量x服从二项分布 记作x b n p 并称p为成功概率 其均值e x np 方差d x np 1 p p a p b 重复 2 正态密度曲线的性质 曲线位于x轴上方 与x轴不相交 曲线是单峰的 它关于直线x 对称 曲线与x轴之间的面积为1 当 一定时 曲线的位置由 确定 曲线随着 的变化而沿x轴平移 当 一定时 曲线的形状由 确定 越小 曲线越 瘦高 越大 曲线越 矮胖 这反映了总体分布的集中与分散的程度 3 正态分布 若x是一个随机变量 对任给区间 a b p a x b 恰好是正态密度曲线下方和x轴上 a b 上方所围成的图形的面积 我们就称随机变量x服从参数为 和 的正态分布 简记为x n 2 重要结论 1 p a a p b b p c c 则事件a b c至少有一个发生的概率为1 1 a 1 b 1 c 2 x n 2 若p xb 则正态密度曲线关于直线x 对称 双基自测 1 在5道题中有3道理科题和2道文科题 不放回地依次抽取2道题 则在第一次抽到理科题的条件下 第二次抽到理科题的概率是 c 2 2017 湖南十三校联考 甲 乙两名同学参加射击比赛游戏 其中任何一人每射击一次击中目标得2分 未击中目标得0分 若甲 乙两人射击的命中率分别为和p 且甲 乙两人各射击一次得分之和为2的概率为 假设甲 乙两人射击互不影响 则p值为 c 3 2017 浙江卷 已知随机变量 i满足p i 1 pi p i 0 1 pi i 1 2 若0d 2 c e 1 e 2 d 1 e 2 d 1 d 2 a 4 2017 全国 卷 一批产品的二等品率为0 02 从这批产品中每次随机取一件 有放回地抽取100次 表示抽到的二等品件数 则d x 解析 由题意可知 随机变量x服从二项分布 x b 100 0 02 所以d x np 1 p 100 0 02 1 0 02 1 96 答案 1 96 5 若x n 5 1 则p 6 x 7 考点专项突破在讲练中理解知识 考点一 条件概率 例1 导学号18702600某射击手射击一次击中目标的概率是0 7 连续两次均击中目标的概率是0 4 已知某次射中 则随后一次射中的概率是 反思归纳 1 一般情况下条件概率的计算只能按照条件概率的定义套用公式进行 在计算时要注意搞清楚事件的含义 特别注意在事件a包含事件b时 ab b 跟踪训练1 1 已知3件次品和2件正品混在一起 现需要通过检测将其区分 每次随机检测一件产品 检测后不放回 则在第一次取出次品的条件下 第二次取出的也是次品的概率是 2 某种家用电器能使用三年的概率为0 8 能使用四年的概率为0 4 已知这种家用电器已经使用了三年 则它能够使用到四年的概率是 考点二 独立事件的概率 1 记x表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数 求随机变量x的分布列和数学期望 2 若有2辆车独立地从甲地到乙地 求这2辆车共遇到1个红灯的概率 1 求该小组未能进入第二轮的概率 2 记乙猜歌曲的次数为随机变量 求 的分布列和数学期望 考点三 二项分布 例3 导学号38486216 2017 山东烟台一模 2017年由央视举办的一档文化益智节目 中国诗词大会 深受观众喜爱 某记者调查了部分年龄在 10 70 的观众 得到如下频率分布直方图 若第四 五 六组的人数依次成等差数列 且第六组有4人 1 请补充完整频率分布直方图 并估计这组数据的平均数 2 现根据观众年龄 从第四组和第六组的所有观众中任意选2人 记他们的年龄分别为x y 若 x y 10 则称此2人为 最佳诗词搭档 试求选出的2人为 最佳诗词搭档 的概率p 3 以此样本的频率当作概率 现随机从这组样本中选出3名观众 求年龄不低于40岁的人数 的分布列及期望 反思归纳如果某个随机事件每次发生的概率相同 该事件重复发生 每次发生的概率之间没有影响 该类问题就是独立重复试验概型 是一类重要的概率模型 如果事件a每次发生的概率为p 则在n次独立重复试验中事件a发生k次的概率p x k pk 1 p n k k 0 1 2 n 实际问题中可能是两个独立重复试验同时发生 此时结合独立事件同时发生的概率乘法公式求解 也可能是一个事件中部分是独立重复试验 部分不是独立重复试验 在独立重复试验部分使用独立重复试验概型的计算方法 跟踪训练3 2017 湖北省优质高中联考 当前 网购已成为现代大学生的时尚 某大学学生宿舍4人参加网购 约定 每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物 掷出点数为5或6的人去淘宝网购物 掷出点数小于5的人去京东商城购物 且参加者必须从淘宝网和京东商城选择一家购物 1 求这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率 2 用 分别表示这4个人中去淘宝网和京东商城购物的人数 记x 求随机变量x的分布列与数学期望 考点四 正态分布 例4 导学号38486216 2017 全国 卷 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程 检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件 并测量其尺寸 单位 cm 根据长期生产经验 可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布n 2 1 假设生产状态正常 记x表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在 3 3 之外的零件数 求p x 1 及x的数学期望 解 1 抽取的一个零件的尺寸在 3 3 之内的概率为0 9974 从而零件的尺寸在 3 3 之外的概率为0 0026 故x b 16 0 0026 因此p x 1 1 p x 0 1 0 997416 0 0408 x的数学期望为e x 16 0 0026 0 0416 2 一天内抽检零件中 如果出现了尺寸在 3 3 之外的零件 就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况 需对当天的生产过程进行检查 试说明上述监控生产过程方法的合理性 下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸 解 2 如果生产状态正常 一个零件尺寸在 3 3 之外的概率只有0 0026 一天内抽取的16个零件中 出现尺寸在 3 3 之外的零件的概率只有0 0408 发生的概率很小 因此一旦发生这种情况 就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况 需对当天的生产过程进行检查 可见上述监控生产过程的方法是合理的 反思归纳 1 正态分布的核心是正态密度曲线的对称性 利用对称性 可以由已知区间上的概率求未知区间上的概率 2 正态分布在三个标准差范围的概率都有固定值 如果需要试题会给出 3 如果某个总体服从正态分布 则某个个体在指定区间内的概率就是一个固定值 若干个个体在该区间上出现的情况就是独立重复试验 跟踪训练4 1 某小区有1000户 各户每月的用电量近似服从正态分布n 300 100 则用电量在320度以上的户数估计为 参考数据 若随机变量 服从正态分布n 2 则p 68 27 p 2 2 95 45 p 3 3 99 73 a 17 b 23 c 34 d 46 2 甲 乙两厂生产的一批零件尺寸服从n 5 0 12 如果零件尺寸在 3 3 以外 我们就有理由认为生产中可能出现了异常情况 现从甲 乙两厂各抽取10件零件检测 尺寸如茎叶图所示 则以下判断正确的是 a 甲 乙两厂生产都出现异常 b 甲 乙两厂生产都正常 c 甲厂生产正常 乙厂出现异常 d 甲厂生产出现异常 乙厂正常 解析 2 由甲 乙两厂生产的一批零件尺寸服从n 5 0 12 得 5 0 1 区间 3 3 即区间 4 7 5 3 根据茎叶图可知 甲厂生产的零件有1件尺寸超出上述区间 乙厂生产的零件尺寸均在上述区间 所以甲厂生产出现异常 乙厂生产正常 故选d 解题规范夯实把典型问题的解决程序化 解概率统计应用题的基本步骤 典例 12分 2016 全国 卷 某险种的基本保费为a 单位 元 继续购买该险种的投保人称为续保人 续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下 1 求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率 2 若一续保人本年度的保费高于基本保费 求其保费比基本保费高出60 的概率 3 求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值 审题指导 满分展示 2 设b表示事件 一续保人本年度的保费比基本保费高出60 则事件b发生当且仅当一年内出险次数大于3 故p b 0 1 0 05 0 15 5分又p ab p b 6分 解 1 设a表示事件 一续保人本年度的保费高于基本保费 则事件a发生当且仅当一年内出险次数大于1 故p a 0 2 0 2 0 1 0 05 0 55 4分 3 记续保人本年度的保费为x 则x的分布列为 1