高考数学一轮复习 选考部分 不等式选讲 2 证明不等式的基本方法课件 文.ppt

第二节证明不等式的基本方法 教材基础回顾 1 比较法 a b a b a b a b a b 2 综合法一般地 从 出发 利用 公理 性质等 经过一系列的 而得出命题成立 这种证明方法叫做综合法 综合法又叫 或由因导果法 已知条件 定义 定理 推理 论证 顺推证法 3 分析法证明命题时 从 出发 逐步寻求使它成立的 直至所需条件为 或 定义 公理或已证明的定理 性质等 从而得出要证的命题成立 这种证明方法叫做分析法 这是一种执果索因的思考和证明方法 要证的结论 充分条件 已知条件 一个明显 成立的事实 金榜状元笔记 1 证明不等式的基本方法 1 比较法 作差 商 比较法 2 综合法 由因导果法 3 分析法 执果索因法 2 常见结论 1 a2 0 a r 2 a b 2 0 a b r 其变形有a2 b2 2ab ab a2 b2 a b 2 3 若a b为正实数 则特别地 2 4 a2 b2 c2 ab bc ca 教材母题变式 1 已知a b r 且a b 求证 a5 b5 a3b2 a2b3 证明 因为a5 b5 a3b2 a2b3 a5 a2b3 b5 a3b2 a2 a3 b3 b2 b3 a3 a3 b3 a2 b2 a b 2 a2 ab b2 a b 又因为a b 所以 a b 2 0 又a b r 所以a2 ab b2 0 a b 0 故 a b 2 a2 ab b2 a b 0 即a5 b5 a3b2 a2b3 2 已知a 0 b 0 c 0 且a b c不全相等 求证 证明 因为a b c 0 所以同理因为a b c不全相等 所以上述三个不等式中至少有一个等号不成立 三式相加 得 2 a b c 即 a b c 3 求证 证明 故原不等式成立 4 已知a 0且a 1 p loga a3 1 q loga a2 1 试比较p q的大小 解析 p q loga a3 1 loga a2 1 当00 所以p q 当a 1时 a3 1 a2 1 0 1 所以即p q 0 所以p q 所以 综上所述 p q 母题变式溯源 考向一综合法证明不等式 典例1 2015 全国卷 设a b c d均为正数 且a b c d 证明 1 若ab cd 则 2 是 a b c d 的充要条件 证明 1 因为由题设a b c d ab cd得因此 2 i 若 a b cd 由 1 得 ii 若则即因为a b c d 所以ab cd 于是 a b 2 a b 2 4ab c d 2 4cd c d 2 因此 a b c d 综上 是 a b c d 的充要条件 一题多变 1 题中条件改为 a b c d 1 证明 ab cd 证明 因为a b c d均为正数 且a b c d 1 所以所以ab cd 2 题中条件改为 a b c d 1 证明 证明 当且仅当a b c d 时等号成立 技法点拨 综合法证明不等式的方法 1 综合法证明不等式 要着力分析已知与求证之间 不等式的左右两端之间的差异与联系 合理进行转换 恰当选择已知不等式 这是证明的关键 2 在用综合法证明不等式时 不等式的性质和基本不等式是最常用的 在运用这些性质时 要注意性质成立的前提条件 同源异考 金榜原创 1 已知a 0 b 0 a3 b3 2 证明 1 a b a5 b5 4 2 a b 2 证明 1 a b a5 b5 a6 ab5 a5b b6 a3 b3 2 2a3b3 ab a4 b4 4 ab a2 b2 2 4 2 因为 a b 3 a3 3a2b 3ab2 b3 2 3ab a b 所以 a b 3 8 因此a b 2 2 已知 abc中角a b c所对的边长分别为a b c 且其中任意两边长均不相等 若a b c成等差数列 求证 0 b 证明 因为 abc的三边a b c成等差数列 所以2b a c 再根据所以b 所以0 b 考向二分析法证明不等式 典例2 已知a 0 b 0 2c a b 求证 证明 要证只要证即要证 a c 即要证 a c 2 c2 ab 即要证a2 2ac ab 因为a 0 所以即要证a 2c b 即要证a b 2c 这即为已知 所以原不等式成立 技法点拨 分析法证明不等式应注意的问题 1 注意依据是不等式的基本性质 已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论 2 注意从要证不等式出发 逐步寻求使它成立的充分条件 最后得到的充分条件是已知 或已证 的不等式 3 注意恰当地用好反推符号 或 要证明 只需证明 即证明 等词语 同源异考 金榜原创 1 已知m 0 a b r 求证 证明 因为m 0 所以1 m 0 欲证成立 只需证明 a mb 2 1 m a2 mb2 即证m a2 2ab b2 0 只要证明a2 2ab b2 0 又a2 2ab b2 a b 2 0显然成立 故 2 已知a b 求证 证明 要证只需证 a b 2 即1 a2 1 b2 a2 2ab b2 化简1 ab 当1 ab2ab 即只需证a2 b2 2ab即可 又a b 所以a2 b2 2ab 综上可知 当a b时 成立 考向三比较法证明不等式 高频考点 典例3 1 当p q都是正数且p q 1时 试比较 px qy 2与px2 qy2的大小 2 已知a b r 求证 aabb 解析 1 px qy 2 px2 qy2 p2x2 q2y2 2pqxy px2 qy2 p p 1 x2 q q 1 y2 2pqxy 因为p q 1 所以p 1 q q 1 p 所以 px qy 2 px2 qy2 pq x2 y2 2xy pq x y 2 因为p q为正数 所以 pq x y 2 0 所以 px qy 2 px2 qy2 当且仅当x y时 不等式中等号成立 2 当a b时 当a b时 由指数函数的性质知 当a b时 由指数函数的性质知所以aabb 一题多变 本例 2 小题的条件不变 求证 abba 证明 当a b时 当a b 0时 当b a 0时 所以 1 即abba 技法点拨 比较法证明不等式的步骤1 作差比较法 1 作差比较法证明不等式的一般步骤 作差 将不等式左右两边的式子看作一个整体作差 变形 将差式进行变形 化简为一个常数 或通分 因式分解变形为若干个因式的积 或配方变形为一个或几个平方和等 判号 根据已知条件与上述变形结果 判断不等式两边差的正负号 结论 肯定不等式成立的结论 2 作差比较法的应用范围 当被证的不等式两端是多项式 分式或对数式时 一般使用作差比较法 2 作商比较法 1 作商比较法证明不等式的一般步骤 作商 将不等式左右两边的式子作商 变形 将商式的分子放 缩 分母不变 或分子不变 分母放 缩 或分子放 缩 分母缩 放 从而化简商式为容易和1比较大小的形式 判断 判断商与1的大小关系 就是判断商大于1或小于1或等于1 结论 2 作商比较法的应用范围 当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时 一般使用作商比较法 同源异考 金榜原创 命题点1作差法证明不等式1 已知a b为正实数 1 求证 a b 2 利用 1 的结论求函数y 0 x 1 的最小值 解析 1 因为又因为a 0 b 0 所以当且仅当a b时等号成立 所以 a b 2 因为00 由 1 的结论 函数y 1 x x 1 当且仅当1 x x即x 时等号成立 所以函数y 0 x 1 的最小值为1 命题点2作商法证明不等式2 已知a 1 利用作商比较法 求证 证明 又所以原不等式成立 核心素养系列 六十三 逻辑推理 证明不等式中的核心素养根据绝对值的代数意义去绝对值号 然后分类讨论解不等式组 利用绝对值不等式的性质求函数的最值 这些都强调