江苏省无锡一中2012届高三数学统考经典题型汇编三.pdf

高三数学统考经典题型汇编三 1 在各项均不为零的等差数列 n a中 若 则 2 11 0 2 nnn aaan 21 4 n Sn 2 解 解 设公差为 d 则 an 1 an d an 1 an d 由可得 2a 2 11nnn aaa 4n 0 2 n n 0 解得 a 2 n a n 2 零解舍去 故 21n S 2 2n 1 4n 2 2 数列 的通项 n a 222 cossin 33 n nn an 其前n项和为 则为 n S 30 S 470 解解 由于 22 cossin 33 nn 以3 为周期 故 222222 22 30 12452829 3 6 222 S 2 30 22 1010 2 11 32 31 59 10 11 3 9 25470 222 kk kk kk 3 已知集合 2 10 1log2 Ax axBxxxN 且ABA 则a的所有可 能值组成的集合是 11 0 34 4 设动直线xa 与函数 2 2sin 4 f xx 和 3cos2g xx 的图象分别交于两点 M N 则MN的最大值为 3 5 已知圆 O 的半径为 1 PA PB 为该圆的两条切线 A B 为两切点 那么的最小值 为 PA PB 32 2 6 已知a b是两个相互垂直的单位向量 1而 3c 3c a 4bc 则对于任意 2 t b 的最小值是 实数 21 t t 1 ct a 12 7 在ABC 中 角所对的边分别为 且满足 A B C a b c tantan ab abCA AB AB 3 2 c 求边的长 a b 解 由正弦定理 得 sinsin sinsinsinsincoscossin tantan AB ABABA AB BA 2222 coscossinsincoscossinsin sin 22224 ABBAABBAB 3 4 因 为 33 4444 AB 7 4 因 此 即 2 AB 所 以 2 C 于 是 22 cab 2 由 余 弦 定 理 222 222 cos3 6 2 bca CA ABAC ABbcAbca 即 又 由 解得2c 1 3ab 8 已知两个不共线的向量的夹角为 a b 且 3 1 ab x 为正实数 1 若与2ab 4ab 垂直 求tan 2 若 6 求 xab 的最小值对应的x的值 并指出向量a 与xab 的位置关系 3 若 为锐角 对于正实数 关于mx的方程 xabma 有两个不同的实数解 且 xm 求m的取值范围 解 1 由题意得 22 2 4 0 28ab abaa bb 即0 0得 得 22 323 1 cos8 1 1 cos 0 0 62 又 故 因此 22 135sin sin1cos1 tan35 66cos 2 22 2222 31 2921 cos19 66 xabxabx axa bbxxx 4 故当 3 6 x 时 xab 取得最小值为 1 2 此时 23 9 3 1 cos0 66 a xa bxaa b 故向量垂直 方程 axab 与 3 对方程 xabma 两边平方整理 得 22 9 6cos 19xxm 0 设方程 的两个不同的正实数解为 12 x x 则由题意得 22 12 2 12 6cos 49 19 0 6cos 0 9 19 0 9 m xx m x x 解之得 11 sin 33 m m 则方程 可以化为 6cos 10 x 则 11 6cos6cos xm 即 x若 而xm 故得 1 6cos m 令 sin21 111 sin 060 45 1 36cos3cos 2 得得且 45 当060 且时 的取值范围为m 11 sin 336c mmm 1 os 且 当6090 或45 时 的取值范围为m 11 sin 33 mm 9 已知 函数 cos3 2 3sin2 cos x f xx x 1 求函数 f x的最大值及此时x的值 2 在ABC 中 a b c分别为内角 A B C所对的边 且对 f x定义域中的任意的x都 有 f xfA 若2a 求ACAB 的最大值 解 1 cos2 cossin2 sin 2 3sin2 cos xxx f xx x x 2 2 3sin2cos22sinxxx 3 分 2 3sin22cos214sin 21 6 xxx 5 分 所以当22 62 xkkZ 时 f x取最大值 3 此时 6 xkkZ 7 分 2 由 fA是 f x的最大值及 0 A 得到 6 A 9 分 将2 6 aA 代入可得 222 2cosbcabcA 22 43bcbc 又 22 2bcb c 4 3244 23 23 bcbcbc 12 分 3 cos64 3 2 AB ACbcAbc 当 且 仅 当bc 时AB AC 最 大 最 大 值 为 64 3 14分 10 如图 点在上或它的内部 且POMA OPxOAyOB x yR 当取最大值时 求 y x的取值范围 2 已知O是ABC 内一点 且 求3OAOCOB AOBAOC 与的面积的比值 1 解 设点在 OPm n POMA 上或它的内部运动 0 1 0 mn m n 又由 2 2 xym OPxOAyOB xyn 得 x 2 y 1 1xy 20 xy O 1 将 代入 得 0 1 20 y xy xy 画出可行域如图 A B C B O 由此可知 的最大值为 0 相应的yx的取值范围为 01 xx 2 如图所示 AB C 是正三角形 O是 AB C 的重心 不妨设 1OB 则 3OC 则 OA 1 3 1 2 1 3 3 s 2 sin120 1 3 in120 AOB AOC S S 11 已知向量 cosa sin b cos sin ab 2 5 5 1 求 cos 的值 2 若 2 2 且 sin 5 13 求 sin 的值 解 cossincossinab coscossinsinab 1 分 2 5 5 ab 12 设函数 2 2ln f xxx fx 表示 f x的导函数 2 2 12 m g xxfx 其中 0 mR m 1 求 f x的单调区间 2 若对任意的 12 1 3 x x 1 2 都有 1 fxg x 成立 求实数的取值范围 m 3 试证明 对任意正数a和正整数n 不等式 1 2 222 n