高考数学大一轮复习 第七章 数列与数学归纳法 第2节 等差数列及其前n项和课件 理.ppt

第2节等差数列及其前n项和 最新考纲1 理解等差数列的概念 2 掌握等差数列的通项公式与前n项和公式 3 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系 并能用等差数列的有关知识解决相应的问题 4 了解等差数列与一次函数的关系 1 等差数列的概念 1 如果一个数列从第 项起 每一项与它的前一项的差等于 那么这个数列就叫做等差数列 这个常数叫做等差数列的 公差通常用字母d表示 数学语言表达式 an 1 an d n n d为常数 或an an 1 d n 2 d为常数 知识梳理 2 同一个常数 公差 2 等差数列的通项公式与前n项和公式 1 若等差数列 an 的首项是a1 公差是d 则其通项公式为an 通项公式的推广 an am m n n 2 等差数列的前n项和公式 a1 n 1 d n m d 3 等差数列的有关性质 已知数列 an 是等差数列 sn是 an 的前n项和 1 若m n p q m n p q n 则有am an ap aq 2 等差数列 an 的单调性 当d 0时 an 是 数列 当d 0时 an 是 数列 当d 0时 an 是 3 若 an 是等差数列 公差为d 则ak ak m ak 2m k m n 是公差为 的等差数列 4 数列sm s2m sm s3m s2m 也是等差数列 递增 递减 常数列 md 5 等差数列的前n项和的最值 在等差数列 an 中 a1 0 d 0 则sn存在最 值 若a1 0 d 0 则sn存在最 值 大 小 常用结论与微点提醒 1 用定义法证明等差数列应注意 从第2项起 如证明了an 1 an d n 2 时 应注意验证a2 a1是否等于d 若a2 a1 d 则数列 an 不为等差数列 2 利用二次函数性质求等差数列前n项和最值时 一定要注意自变量n是正整数 诊断自测1 思考辨析 在括号内打 或 1 数列 an 为等差数列的充要条件是对任意n n 都有2an 1 an an 2 2 等差数列 an 的单调性是由公差d决定的 3 已知数列 an 的通项公式是an pn q 其中p q为常数 则数列 an 一定是等差数列 4 数列 an 为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数 5 等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数 解析 4 若公差d 0 则通项公式不是n的一次函数 5 若公差d 0 则前n项和不是二次函数 答案 1 2 3 4 5 2 在等差数列 an 中 若a2 4 a4 2 则a6等于 a 1b 0c 1d 6解析由等差数列的性质 得a6 2a4 a2 2 2 4 0 选b 答案b 3 2017 全国 卷 记sn为等差数列 an 的前n项和 若a4 a5 24 s6 48 则 an 的公差为 a 1b 2c 4d 8 答案c 解析由题意知 a1 a17 又因为d 0 所以a1 a17 故a1 8d a9 0 an a1 n 1 d n 9 d 当an 0时 n 9 所以当n 8或9时 sn取最大值 答案a 5 必修5p68a8改编 在等差数列 an 中 若a3 a4 a5 a6 a7 450 则a2 a8 解析由等差数列的性质 得a3 a4 a5 a6 a7 5a5 450 a5 90 a2 a8 2a5 180 答案180 6 2018 湖州调研 设等差数列 an 的公差是d 前n项和是sn 若a1 1 a5 9 则公差d sn 答案2n2 考点一等差数列基本量的运算 例1 1 2016 全国 卷 已知等差数列 an 前9项的和为27 a10 8 则a100 a 100b 99c 98d 97 2 2017 全国 卷 等差数列 an 的首项为1 公差不为0 若a2 a3 a6成等比数列 则 an 前6项的和为 a 24b 3c 3d 8 答案 1 c 2 a 规律方法 1 等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1 an d n sn 知其中三个就能求另外两个 体现了用方程的思想来解决问题 2 数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用 而a1和d是等差数列的两个基本量 用它们表示已知和未知是常用方法 训练1 1 一题多解 设等差数列 an 的前n项和为sn s3 6 s4 12 则s6 2 2015 浙江卷 已知 an 是等差数列 公差d不为零 若a2 a3 a7成等比数列 且2a1 a2 1 则a1 d 解析 1 法一设数列 an 的首项为a1 公差为d 由s3 6 即s6 6a1 15d 30 考点二等差数列的判定与证明 变式迁移 1 证明当n 2时 an sn sn 1且sn sn an 2an 0 sn sn sn sn 1 2 sn sn 1 0 即snsn 1 2 sn sn 1 0 规律方法等差数列的四种判断方法 1 定义法 对于n 2的任意自然数 验证an an 1为同一常数 2 等差中项法 验证2an 1 an an 2 n 3 n n 都成立 3 通项公式法 验证an pn q 4 前n项和公式法 验证sn an2 bn 后两种方法只能用来判断是否为等差数列 而不能用来证明等差数列 主要适合在选择题中简单判断 训练2 2017 江苏卷 对于给定的正整数k 若数列 an 满足 an k an k 1 an 1 an 1 an k 1 an k 2kan 对任意正整数n n k 总成立 则称数列 an 是 p k 数列 1 证明 等差数列 an 是 p 3 数列 2 若数列 an 既是 p 2 数列 又是 p 3 数列 证明 an 是等差数列 证明 1 因为 an 是等差数列 设其公差为d 则an a1 n 1 d 从而 当n 4时 an k an k a1 n k 1 d a1 n k 1 d 2a1 2 n 1 d 2an k 1 2 3 所以an 3 an 2 an 1 an 1 an 2 an 3 6an 因此等差数列 an 是 p 3 数列 2 数列 an 既是 p 2 数列 又是 p 3 数列 因此 当n 3时 an 2 an 1 an 1 an 2 4an 当n 4时 an 3 an 2 an 1 an 1 an 2 an 3 6an 由 知 an 3 an 2 4an 1 an an 1 an 2 an 3 4an 1 an 1 an 将 代入 得an 1 an 1 2an 其中n 4 所以a3 a4 a5 是等差数列 设其公差为d 在 中 取n 4 则a2 a3 a5 a6 4a4 所以a2 a3 d 在 中 取n 3 则a1 a2 a4 a5 4a3 所以a1 a3 2d 所以数列 an 是等差数列 考点三等差数列的性质及应用 例3 1 设sn是等差数列 an 的前n项和 若a1 a3 a5 3 则s5 a 5b 7c 9d 11 答案 1 a 2 a 3 4034 训练3 1 若一个等差数列前3项的和为34 最后3项的和为146 且所有项的和为390 则这个数列的项数为 a 13b 12c 11d 10 2 在等差数列 an 中 若a3 a4 a5 a6 a7 25 则a2 a8 解析 1 因为a1 a2 a3 34 an 2 an 1 an 146 a1 a2 a3 an 2 an 1 an 34 146 180 又因为a1 an a2 an 1 a3 an 2 所以3 a1 an 180 从而a1 an 60 2 因为 an 是等差数列 所以a3 a7 a4 a6 a2 a8 2a5 a3 a4 a5 a6 a7 5a5 25 即a5 5 a2 a8 2a5 10 答案 1 a 2 10 考点四等差数列前n项和及其最值 例4 1 一题多解 等差数列 an 的前n项和为sn 已知a1 13 s3 s11 当sn最大时 n的值是 a 5b 6c 7d 8 2 设数列 an 的通项公式为an 2n 10 n n 则 a1 a2 a15 解析 1 法一由s3 s11 得a4 a5 a11 0 根据等差数列的性质 可得a7 a8 0 根据首项等于13可推知这个数列递减 从而得到a7 0 a8 0 故n 7时sn最大 法二由s3 s11 可得3a1 3d 11a1 55d 把a1 13代入 得d 2 故sn 13n n n 1 n2 14n 根据二次函数的性质 知当n 7时sn最大 2 由an 2n 10 n n 知 an 是以 8为首项 2为公差的等差数列 又由an 2n 10 0得n 5 n 5时 an 0 当n 5时 an