高考数学二轮复习 专题二 函数与导数 2.2.4.3 利用导数证明问题及讨论零点个数课件 文.ppt

2 4 3利用导数证明问题及讨论零点个数 2 考向一 考向二 考向三 考向四 证明不等式 多维探究 例1 2018全国卷1 文21 已知函数f x aex lnx 1 1 设x 2是f x 的极值点 求a 并求f x 的单调区间 2 证明 当a 时 f x 0 3 考向一 考向二 考向三 考向四 4 考向一 考向二 考向三 考向四 解题心得证明f x g x x i i是区间 只需证明f x min g x max 证明f x g x x i i是区间 只需证明f x min g x max 或证明f x min g x max且两个最值点不相等 5 考向一 考向二 考向三 考向四 对点训练1 2018高考信息卷六 文21 已知函数 a r 1 若f x 在定义域内无极值点 求实数a的取值范围 2 求证 当00时 f x 1恒成立 解 1 由题意知令g x ex x 1 a x 0 则g x ex x 当x0时 g x 0 g x 在 0 上单调递增 又g 0 a 1 f x 在定义域内无极值点 a 1 又当a 1时 f x 在 0 和 0 上都单调递增也满足题意 所以a 1 6 考向一 考向二 考向三 考向四 7 考向一 考向二 考向三 考向四 例2 2018河北保定一模 文21节选 已知函数f x x 1 略 2 设函数g x lnx 1 证明 当x 0 且a 0时 f x g x 8 考向一 考向二 考向三 考向四 解 1 略 所以f x 在 1 上为增函数 又 f 1 2 0 2 0 f x 0 即h x min 0 所以 当x 0 时 f x g x 9 考向一 考向二 考向三 考向四 解题心得欲证函数不等式f x g x x i i是区间 设h x f x g x x i 即证h x 0 为此研究h x 的单调性 先求h x 的零点 根据零点确定h x 在给定区间i的正负 若h x 在区间i内递增或递减或先递减后递增 只须h x min 0 x i 若h x min不存在 则须求函数h x 的下确界 若h x 在区间i内先递增后递减 只须区间i的端点的函数值大于或等于0 若h x 的零点不好求 可设出零点x0 然后确定零点的范围 进而确定h x 的单调区间 求出h x 的最小值h x0 再研究h x0 的正负 10 考向一 考向二 考向三 考向四 对点训练2 2018四川德阳模拟 文21 已知函数f x a lnx2且f x a x 1 求实数a的值 11 考向一 考向二 考向三 考向四 12 考向一 考向二 考向三 考向四 13 考向一 考向二 考向三 考向四 14 考向一 考向二 考向三 考向四 判断 证明或讨论函数零点个数 例3 2018全国卷2 文21 已知函数f x x3 a x2 x 1 1 若a 3 求f x 的单调区间 2 证明 f x 只有一个零点 15 考向一 考向二 考向三 考向四 16 考向一 考向二 考向三 考向四 解题心得有关函数的零点问题的解决方法主要是借助数形结合思想 利用导数研究函数的单调性和极值 利用函数的单调性模拟函数的图象 根据函数零点的个数的要求 控制极值点函数值的正负 从而解不等式求出参数的范围 17 考向一 考向二 考向三 考向四 对点训练3 2018山东济宁一模 文21节选 已知函数f x alnx x2 a r 1 略 2 当a 0时 证明函数g x f x a 1 x恰有一个零点 18 考向一 考向二 考向三 考向四 19 考向一 考向二 考向三 考向四 例4已知函数f x x3 ax g x lnx 1 当a为何值时 x轴为曲线y f x 的切线 2 用min m n 表示m n中的最小值 设函数h x min f x g x x 0 讨论h x 零点的个数 20 考向一 考向二 考向三 考向四 21 考向一 考向二 考向三 考向四 22 考向一 考向二 考向三 考向四 解题心得1 如果函数中没有参数 一阶导数求出函数的极值点 判断极值点大于0小于0的情况 进而判断函数零点的个数 2 如果函数中含有参数 往往一阶导数的正负不好判断 这时先对参数进行分类 再判断导数的符号 如果分类也不好判断 那么需要对一阶导函数进行求导 在判断二阶导数的正负时 也可能需要分类 23 考向一 考向二 考向三 考向四 对点训练4已知函数f x alnx a 1 x a r 1 当a 1时 求函数f x 的最小值 2 当a 1时 讨论函数f x 的零点个数 24 考向一 考向二 考向三 考向四 25 考向一 考向二 考向三 考向四 26 考向一 考向二 考向三 考向四 与函数零点有关的证明问题例5 2018福建宁德质检二 文21 已知函数f x x3 3ax2 4 a r 1 讨论f x 的单调性 2 若函数f x 有三个零点 证明 当x 0时 f x 6 a a2 ea 解 1 由f x x3 3ax2 4 则f x 3x2 6ax 3x x 2a 令f x 0 得x 0或x 2a 当a 0时 f x 0 f x 在r上是增函数 当a 0时 令f x 0 得x 2a或x0 得x 0或x 2a 所以f x 在 2a 0 上是增函数 在 2a 0 上是减函数 27 考向一 考向二 考向三 考向四 2 由 1 可知 当a 0时 f x 在r上是增函数 此时函数f x 不可能有三个零点 当a0 则函数f x 不可能有三个零点 当a 0时 f x min f 2a 4 4a3 要满足f x 有三个零点 则需4 4a31 当x 0时 要证明f x 6 a a2 ea等价于要证明f x min 6 a a2 ea 即要证4 4a3 6 a a2 ea 由于a 1 故等价于证明1 a a2 aea 证明 构造函数g a 3aea 2 2a 2a2 a 1 g a 3 3a ea 2 4a 令h a 3 3a ea 2 4a 28 考向一 考向二 考向三 考向四 h a 6 3a ea 4 0 函数h a 在 1 单调递增 则h a min h 1 6e 6 0 函数g a 在 1 单调递增 则g a min g 1 3e 6 0 则有1 a a2 aea 故有f x 6 a a2 ea 解题心得证明与零点有关的不等式 函数的零点本身就是一个条件 即零点对应的函数值为0 证明的思路一般对条件等价转化 构造合适的新函数 利用导数知识探讨该函数的性质 如单调性 极值情况等 再结合函数图象来解决 29 考向一 考向二 考向三 考向四 对点训练5 2018四川绵阳南山中学二模 理21节选 已知函数f x alnx bx 3 a r且a 0 1 略 2 当a 1时 设g x f x 3 若g x 有两个相异零点x1 x2 求证 lnx1 lnx2 2 30 考向一 考向二 考向三 考向四 解 1 略 2 当a 1时 g x f x 3 lnx bx 函数的定义域为x 0 设x1 x2 0 g x1 0 g x2 0 lnx1 bx1 0 lnx2 bx2 0 lnx1 lnx2 b x1 x2 lnx1 lnx2 b x1 x2 要证lnx1 lnx2 2 即证b x1 x2 2 31 考向一 考向二 考向三 考向四 利用导数解决存在性问题例6 2018四川内江一模 文21 已知函数f x ex ax 1 a r 1 讨论f x 的单调性 2 设a 1 是否存在正实数x 使得f x 0 若存在 请求出一个符合条件的x 若不存在 请说明理由 解 1 f x 的定义域为r f x ex a 当a 0时 f x 0 故f x 在r上单调递增 当a 0时 令f x 0 得x lna 当xlna时 f x 0 故f x 单调递增 综上所述 当a 0时 f x 在r上单调递增 当a 0时 f x 在 lna 上单调递减 在 lna 上单调递增 32 考向一 考向二 考向三 考向四 2 存在正数x 2lna 使得f x 0 即f 2lna a2 2alna 1 0 其中a 1 证明如下 设g x x2 2xlnx 1 x 1 则g x 2x 2lnx 2 设u x x lnx 1 x 1 则u x 1 0 故u x 在 1 上单调递增 u x u 1 0 故g x 2x 2lnx 2 2u x 0 g x 在 1 上单调递增 故g x g 1 0 当a 1时 a2 2alna 1 0 f 2lna a2 2alna 1 0 33 考向一 考向二 考向三 考向四 解题心得本例 2 中 利用导数的方法易得f x ex ax 1在x lna有最小值 存在正实数x 使得f x 0 ex ax 1 0 ex ax 1 分别作出函数y ex和y ax 1的图象 当xlna时 y ex的图象增长的快速