高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 2.3函数的奇偶性与周期性.doc

1 20142014 年高考一轮复习热点难点精讲精析 年高考一轮复习热点难点精讲精析 2 32 3 函数的奇函数的奇偶性与周期性偶性与周期性 一 函数的奇偶性一 函数的奇偶性 奇偶性定义图象特点 偶函数如果对于函数 f x 的定义域内任 意一个 都有 f x f x 那么 函数 f x 是偶函数 关于 y 轴对称 奇函数如果对于函数 f x 的定义域内任 意一个 都有 f x f x 那 么函数 f x 是奇函数 关于原点对称 注 1 奇偶函数的定义域的特点 由于定义中对任意一个 x 都有一个关于原点对称的 x 在定义域中 即说明奇偶函数的定义域必关于原点对称 2 存在既是奇函数 又是偶函数的函数 它们的特点是定义域关于原点对称 且解析式化简后等于 零 二 奇偶函数的性质二 奇偶函数的性质 1 奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反 填 相同 相反 2 在公共定义域内 亦即 1 两个奇函数的和函数是奇函数 两个奇函数的积函数是偶函数 2 两个偶函数的和函数 积函数是偶函数 3 一个奇函数 一个偶函数的积函数是奇函数 注 以上结论是在两函数的公共定义域内才成立 并且只能在选择题 填空题中直接应用 解答题需 先证明再利用 2 3 若是奇函数 f x 且在 x 0 处有定义 则 f 0 0 4 对称性 奇 偶 函数的定义域关于原点对称 且这是函数具有奇偶性的必要不充分条件 5 整体性 奇偶性是函数的整体性质 对定义域内任意一个都必须成立 x 6 可逆性 是偶函数 xfxf xf 奇函数 xfxf xf 7 等价性 xfxf 0 xfxf xfxf 0 xfxf 8 奇函数的图像关于原点对称 偶函数的图像关于轴对称 y 9 可分性 根据函数奇偶性可将函数分类为四类 奇函数 偶函数 既是奇函数又是偶函数 非奇 非偶函数 三 周期性三 周期性 1 周期函数 对于函数y f x 如果存在一个非零常数t 使得当 x 取定义域内的任何值时 都有 f x t f x 那么就称函数y f x 为周期函数 t为这个函数的周期 2 最小正周期 如果在周期函数f x 的所有周期中存在一个最小的正数 那么这个最小的正数就叫 做它的最小正周期 热点难点全析热点难点全析 一 函数奇偶性的判定一 函数奇偶性的判定 1 1 相关链接 相关链接 利用定义判断函数奇偶性的一般步骤 即 1 首先确定函数的定义域 看它是否关于原点对称 若不对称 则既不是奇函数又不是偶函数 3 2 若定义域关于原点对称 再判定 f x 与 f x 之间的关系 若 f x f x 或 f x f x 0 则为奇函数 若 f x f x 或 f x f x 0 则 f x 为偶函数 若 f x f x 且 f x f x 则 f x 既是奇函数又是偶函数 若 f x f x 且 f x f x 则 f x 既不是奇函数也不是偶函数 图象法 性质法 一些重要类型的奇偶函数 1 函数 f x ax a x为偶函数 函数 f x ax a x为奇函数 2 函数 f x ax a x ax a x ax 1 ax 1 其中 a 0 且 a 1 为奇函数 3 函数 f x loga 为奇函数 a 0 且 a 1 1 1 x x 4 函数 f x loga 为奇函数 a 0 且 a 1 2 1xx 2 2 例题解析 例题解析 例例 1 1 讨论下述函数的奇偶性 111 1 3 0 1 1 0 0 0 1 1 2 2 2116 1 22 2 xxogxf xxxn x xxxn xfxf x xx 4 0 4 22 a aax xa xf常数 解 解 1 函数定义域为 r r 2 2116 1 4 161 211 16 1 2 2 2116 xfxf x xx x x x x x x xx f x 为偶函数 另解 先化简 1441 4 116 xx x x xf 显然 xf 为偶函数 从这可以看出 化简 后再解决要容易得多 2 须要分两段讨论 设 1 1 1 1 1 1 1 0 0 xfxxn xx nxxnxf xx 设 1 1 1 1 1 1 1 0 0 xfxxn xx nxxnxf xx 当 x 0 时 f x 0 也满足 f x f x 由 知 对 x r r 有 f x f x f x 为奇函数 3 1 01 01 2 2 2 x x x 函数的定义域为 1 x f x log21 0 x 1 即 f x 的图象由两个点 1 0 与 1 0 组成 这两点既关 于 y 轴对称 又关于原点对称 f x 既是奇函数 又是偶函数 4 x2 a2 要分 a 0 与 a 0 时 0 0 aa aax axa 函数的定义域为 x xa xfax 22 0 当 a 0 时 f x 为奇函数 2 2 2 0 21 22 a x a x ax xa xfax 称的两点取定义域内关于原点对 5 0 0 3 3 5 3 2 2 xfa a f a f时当 既不是奇函数 也不是偶函数 例例 2 2 f x 是定义在 5 5 上的奇函数 且f x 在 5 上单调递减 试判断f x 在 5 上的单调性 并用定义给予证明 解析 解析 任取x1 x2 5 则 x1 x2 5 因f x 在 5 上单调递减 所以f x1 f x2 f x1 f x2 f x1 f x2 即f x 在 5 上单调减函数 二 分段函数的奇偶性二 分段函数的奇偶性 1 1 分段函数奇偶性的判定步骤 分段函数奇偶性的判定步骤 1 分析定义域是否关于原点对称 2 对 x 的值进行分段讨论 寻求 f x 与 f x 在各段上的关系 3 综合 2 在定义域内 f x 与 f x 的关系 从而判断 f x 的奇偶性 注 奇偶性是函数的一个整体性质 不能说函数在定义域的某一段上是奇函数或偶函数 2 2 例题解析 例题解析 例例 1 1 已知函数 试判断的奇偶性 2 2 4 0 4 0 xx x x f x xx x x f x 分析 分析 确定定义域判断每一段上与的关系判断整个定义域上与的关 fx f x fx f x 系结论 解答 解答 由题设可知函数的定义域关于原点对称 当时 0 x 0 x 6 2 22 2 22 4 44 0 0 4 44 0 xx f x x xxxx fx xx f xfx xx xx f x x xxxx fx xx f xfx fxf x f x 则 当 则 综上所述 对于x都有成立 为偶函数 注 注 分段函数奇偶性的判断 要注意定义域内 x 取值的任意性 应分段讨论 讨论时可依据 x 的范 围取相应的解析式化简 判断 f x 与 f x 的关系 得出结论 也可以利用图象作判断 例例 2 2 判断函数的奇偶性 解析 解析 显然函数 f x 的定义域为 0 0 关于原点对称 当 x0 则 f x x 2 x x2 x f x 当 x 0 时 x 0 则 f x x 2 x x2 x f x 综上可知 对于定义域内的任意 x 总有 f x f x 成立 函数 f x 为奇函数 三 抽象函数的奇偶性三 抽象函数的奇偶性 1 1 相关链接 相关链接 判断 或证明 抽象函数的奇偶性的步骤 1 利用函数奇偶性的定义 找准方向 想办法出现 f x f x 2 巧妙赋值 合理 灵活变形配凑 3 找出 f x 与 f x 关系 得出结论 2 2 例题解析 例题解析 例例 1 1 已知函数 f x 对一切 x y r 都有 f x y f x f y 1 判断函数 f x 的奇偶性 2 若 f 3 a 用 a 表示 f 12 分析 分析 判断函数奇偶性的一般思路是利用定义 看 f x 与 f x 的关系 进而得出函数的奇偶性 解 7 决本题的关键是在 f x y f x f y 中如何出现 f x 用 a 表示 f 12 实际上是如何用 f 3 表示 f 12 解决该问题的关键是寻找 f 12 与 f 3 的关系 解答 解答 1 0 0 2 0 0 0 0 f xr xyf xyf xf y xyfff yxff xfx fxf xf x 显然的定义域是 关于原点对称 又函数对一切 都有 令 得 再令得 为奇函数 2 3 3 3 12 66 6 6 2 6 3 33 4 3 4 faf x ffa f xyf xf y xyr fffffffa 且为奇函数 又 例例 2 2 设函数 xf 在 上满足 2 2 xfxf 7 7 xfxf 且在闭区间 0 7 上 只有 0 3 1 ff 1 试判断函数 xfy 的奇偶性 2 试求方程 0 xf 在闭区间 2005 2005 上的根的个数 并证明你的结论 解析 解析 1 由 2 2 xfxf 得函数 xfy 的对称轴为 2 x 5 1 ff 而 1 1 0 5 fff 即 xf 不是偶函数 又 xf 在 0 7 上只有 0 3 1 ff 0 0 f 从而知函数 xfy 不是奇函数 故函数 xfy 是非奇非偶函数 2 7 7 2 2 xfxf xfxf 14 4 14 4 xfxf xfxf xfxf 10 xfxf 从而知函数 xfy 的周期为 t 10 又 0 1 3 ff 0 9 7 13 11 ffff 8 故 xf 在 0 10 和 0 10 上均有 2 个根 从而可知函数 xfy 在 0 2000 上有 400 个根 在 2000 2005 上有 2 个根 在 0 2000 上有 400 个根 在 2000 2005 上没有根 函数 xfy 在 2005 2005 上有 802 个根 注 注 抽象函数奇偶性的判断 关键是要充分理解题意 灵活选取变量的值 四 四 函数奇偶性应用函数奇偶性应用 1 1 相关链接相关链接 应用函数奇偶性可解决的问题及方法应用函数奇偶性可解决的问题及方法 1 已知函数的奇偶性 求函数值 将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解 2 已知函数的奇偶性求解析式 将待求区间上的自变量 转化到已知区间上 再利用奇偶性求出 或充分利用奇偶性构造关于 f x 的方程 组 从而得到 f x 的解析式 3 已知函数的奇偶性 求函数解析式中参数的值 常常利用待定系数法 利用 f x f x 0 得到关于待求参数的恒等式 由系数的对等性得参数的值 或方程求解 4 应用奇偶性画图象和判断单调性 利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性 2 2 例题解析 例题解析 例 1 2011 安徽高考 设 f x 是定义在 r 上的奇函数 当 x 0 时 f x 2x2 x 则 f 1 3 1 1 3 2 2011 辽宁高考 若函数为奇函数 则 a x f x 2x1xa 1 2 23 abcd 1 34 3 已知偶函数 f x 在区间 0 上单调递增 则满足的 x 的取值范围是 f 2x2f2 a0b02c0 2 2d2 方法诠释 1 将求 f 1 的值转化为求 f 1 的值的问题求解 2 由题意可知 f x f x 0 从而得到关于 x 的恒等式 再构建 a 的方程求解 3 根据奇偶性得到将原不等式转化为从而求解 f 2x2f2x2 f2x2f2 解析 1 选 由奇函数的定义有 f x f x 所以 f 1 f 1 2 1 2 1 3 2 选 函数 f x 为奇函数 f x f x 0 恒成立 即 恒成立 可化为 2x 1 xx 0 2x1xa2x1xa x a 2x 1 x a 恒成立 整理得 2 1 2a x 0 恒成立 则必有 1 2a 0 9 1 2 a 3 选 f x 为偶函数 f 2x2f2x2 又 f x 在 0 上单调递增 由得 f2x2f2 2x22 解得 0 x2 注 注 利用函数的奇偶性可将未知区间上的求函数值 求解析式 作图象 判定单调性问题转化为已知 区间上的函数值 解析式 图象 单调性问题求解 充分体现了数学的转化与化归思想 五 函数的周期性及其应用五 函数的周期性及其应用 1 1 相关链接 相关链接 关于周期函数的常用结论 1 1 若对于函数 若对于函数 f x f x 定义域内的任意一个定义域内的任意一个 x x 都有 都有 则函数 f x 必为周期函数 2 a 是它的一个周期 1 f xa f x f x a 则函数 f x 必为周期函数 2 a 是它的一个周期 1 f x 则函数 f x 必为周期函数 2 a 是它的一个周期 1 f xaa0 f x 2 2 如果如果 t t 是函数是函数 y f x y f x 的周期 则的周期 则 kt k z k 0 也是函数 y f x 的周期 即 f x kt f x 若已知区间 m n m10 时 lgx 1 因此结合图象及数据特点 y f x 与 y lgx 的图象交点共有 10 个 例例 2 2 设 f x 是定义在 r 上的奇函数 且对任意实数 x 恒有 f x 2 f x 当 x 0 2 时 f x 2x x2 1 求证 f x 是周期函数 2 当 x 2 4 时 求 f x 的解析式 3 计算 f 0 f 1 f 2 f 2 013 解析 1 f x 2 f x f x 4 f x 2 f x f x 是周期为 4 的周期函数 2 当 x 2 0 时 x 0 2 由已知得 f x 2 x x 2 2x x2 又 f x 是奇函数 f x f x 2x x2 f x x2 2x 又当 x 2 4 时 x 4 2 0 f x 4 x 4 2 2 x 4 又 f x 是周期为 4 的周期函数 f x f x 4 x 4 2 2 x 4 x2 6x 8 从而求得 x 2 4 时 f x x2 6x 8 3 f 0 0 f 2 0 f 1 1 f 3 1 又 f x 是周期为 4 的周期函数 f 0 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 2 008 f 2 009 f 2 010 f 2 011 0 f 0 f 1 f 2 f 2 013 f 0 f 1 0 1 1 11 五 函数奇偶性与周期性的综合应用五 函数奇偶性与周期性的综合应用 例例 已知函数 f x 在 r 上满足 f 2 x f 2 x f 7 x f 7 x 且在闭区间 0 7 上 只有 f 1 f 3 0 1 试判断函数 y f x 的奇偶性 2 试求方程 f x 0 在闭区间 2 011 2 011 上根的个数 并证明你的结论 思路分析 思路分析 1 判断函数奇偶性的一般思路是利用定义 看 f x 与 f x 的关系 但本题不易出现 f x 与 f x 但可先假设该函数是奇函数或偶函数 看能否得出不正确的结论 进而得出结论 即举反 例来判断函数的奇偶性 2 先求函数的周期 然后在它的一个周期内求解 再由其周期性求出定义域内 的全部解 解析 1 若 y f x 为偶函数 则 f x f 2 x 2 f 2 x 2 f 4 x f x f 7 f 3 0 这与 f x 在闭区间 0 7 上 只有 f 1 f 3 0 矛盾 因此 f x 不是偶函数 若 y f x 为奇函数 则 f 0 f 0 f 0 f 0 0 这与 f x 在闭区间 0 7 上 只有 f 1 f 3 0 矛盾 因此 f x 不 是奇函数 综上可知 函数 f x 既不是奇函数也不是偶函数 2 f x f 2 x 2 f 2 x 2 f 4 x f x f 7 x 7 f 7 x 7 f 14 x f 14 x f 4 x 即 f 10 4 x f 4 x f x 10 f x 即函数 f x 的周期为 10 又 f 1 f 3 0 f 1 f 1 10n 0 n z f 3 f 3 10n 0 n z 即 x 1 10n 和 x 3 10n n z 均是方程 f x 0 的根 由 2 011 1 10n 2 011 及 n z 可得 n 0 1 2 3 201 共 403 个 由 2 011 3 10n 2 011 及 n z 可得 n 0 1