高考数学总复习 空间几何体的表面积和体积专题训练 理.doc

2014年高考数学（理）总复习专题训练：空间几何体的表面积和体积1.(2013年湖北七市高三4月联考，9,5分) 如右图，一单位正方体形积木，平放于桌面上，并且在其上方放置若干个小正方体形积木摆成塔形，其中上面正方体中下底面的四个顶点是下面相邻正方体中上底面各边的中点，如果所有正方体暴露在外面部分的面积之和超过8.8，则正方体的个数至少是()a. 6b. 7c. 8 d. 102.(2013年湖北七市高三4月联考，5,5分) 一个几何体的三视图如下左图所示，则此几何体的体积是()a. 112b. 80 c. 72 d. 643.(2013年河南十所名校高三第二次联考，12,5分) 四面体abcd中，ad与bc互相垂直，ad2bc4，且abbdaccd2，则四面体abcd的体积的最大值是()a. 4b. 2c. 5d. 4.(2013年河南十所名校高三第二次联考，8,5分) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()a. b. 2 c. （21）d. （22）5. (2013年北京海淀区高三第二次模拟，4,5分) 某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为（）a. b. c. d. 6.（2013年广东省广州市高三4月综合测试，6，5分）一个圆锥的正（主）视图及其尺寸如图2所示. 若一个平行于圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为17的上、下两部分，则截面的面积为()a. b. c. d. 7.(2013年东北三校高三第二次联合考试，12,5分) 在底面半径为3，高为的圆柱形有盖容器中，放入一个半径为3的大球后再放入与球面、圆柱侧面及上底面均相切的小球，则放入的小球的个数最多的为()a.4个b.5个c.6个d.7个8.(2013年东北三校高三第二次联合考试，7,5分) 某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为()abcd9.(2013山东青岛高三三月质量检测，6,5分) 一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是的圆，则这个几何体的表面积是()abc d10.(2013湖南长沙市高三三月模拟，4,5分) 已知几何体m的正视图是一个面积为2的半圆，俯视图是正三角形，那么这个几何体的表面积和体积为() a6和 b6+4和c6+4和d4(+) 和11.(2013北京西城区高三三月模拟，5,5分) 某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为的正方形，该正三棱柱的表面积是( )（a）（b）（c）（d）12.(2013辽宁省五校协作体高三一月摸底考试，11,5分)在正三棱锥a-bcd中，e，f分别是ab，bc的中点，efde，且bc1，则正三棱锥a-bcd的体积等于（）a bc d13.(2013吉林省吉林市普通高中高三一月期末，8,5分)如图是一个几何体的正视图和侧视图.其俯视图是面积为的矩形.则该几何体的表面积是（）a8 b. c. 16d.14.（2013福建厦门高三一月质量检查，9,5分）记s为四面体四个面的面积s1, s2, s3, s4中的最大者，若，则（）a2 3b24c34 d3.5 b. v2v2d. v1oboc, 分别经过三条棱oa, ob, oc作一个截面平分三棱锥的体积, 截面面积依次为s1, s2, s3, 则s1, s2, s3的大小关系为. 92.(2010湖北, 13, 5分) 圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水, 若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同) 后, 水恰好淹没最上面的球(如图所示) , 则球的半径是cm. 93.(2010上海, 12, 4分) 如图所示, 在边长为4的正方形纸片abcd中, ac与bd相交于o. 剪去aob, 将剩余部分沿oc、od折叠, 使oa、ob重合, 则以a(b) 、c、d、o为顶点的四面体的体积是. 94.(2010浙江, 12, 4分) 若某几何体的三视图(单位:cm) 如图所示, 则此几何体的体积是cm3. 95.(2010湖南, 13, 5分) 如图中的三个直角三角形是一个体积为20 cm3的几何体的三视图, 则h=cm. 96.(2010天津, 12, 4分) 一个几何体的三视图如图所示, 则这个几何体的体积为. 97.(2011四川, 15, 4分) 如图, 半径为r的球o中有一内接圆柱. 当圆柱的侧面积最大时, 球的表面积与该圆柱的侧面积之差是. 98.(2011课标, 15, 5分) 已知矩形abcd的顶点都在半径为4的球o的球面上, 且ab=6, bc=2, 则棱锥o-abcd的体积为. 99.(2011上海, 7, 4分) 若圆锥的侧面积为2, 底面面积为, 则该圆锥的体积为. 100.(2011福建, 12, 4分) 三棱锥p-abc中, pa底面abc, pa=3, 底面abc是边长为2的正三角形, 则三棱锥p-abc的体积等于. 101.(2011天津, 10, 5分) 一个几何体的三视图如图所示(单位:m) , 则该几何体的体积为m3. 102.(2013年东北三校高三第二次联合考试，19,12分）已知四边形abcd为平行四边形，bc平面abe，aebe，be = bc =1，ae = ，m为线段ab的中点，n为线段de的中点，p为线段ae的中点.（1）求证：mnae；（2）求二面角的余弦值.103.(2013年安徽省皖南八校高三第三次联考，18，12分）如图, 正方形adef与梯形abcd所在的平面互相垂直, ad丄cd, ab/cd, ab=ad=cd=2, 点m在线段ec上(i) 当点m为ec中点时，求证: bm/平面 adef(ii) 求证: 平面bde丄平面bec(iii) 若平面bdm与平面abf所成二面角为锐角, 且该二面角的余弦值为时，求三棱锥m-bde的体积.104.（2013福建厦门高三一月质量检查，21,14分）如图，矩形abcd中，ab =a，ad =b，过点d作deac于e，交直线ab于f.现将acd沿 对角线ac折起到pac的位置，使二面角pacb的大小为60过p作phef于h.（i）求证：ph平面abc；（）若，求直线dp与平面pbc所成角的大小；（）若a+b=2，求四面体pabc体积的最大值105.(2012湖北省黄冈中学高三11月月考，19,12分）在如图所示的多面体abcde中，ab平面acd，de平面acd，ac=ad=cd=de=2，ab=1，g为ad中点。（1）请在线段ce上找到点f的位置，使得恰有直线bf平面acd，并证明这一事实（2）求平面bce与平面acd所成锐二面角的大小；（3）求点g到平面bce的距离106.107.（2012安徽合肥高三第二次检测，18，12分)在四棱锥p-abcd中，底面abcd是边长为1的正方形，且pa面abcd. （1）求证：pcbd；（2）过直线bd且垂直于直线pc的平面交pc于点e，且三棱锥e-bcd的体积取到最大值，求此时四棱锥e-abcd的高；求二面角a-de-b的余弦值的大小.108.(2007广东, 19, 14分) 如图所示, 等腰abc的底边ab=6, 高cd=3. 点e是线段bd上异于点b、d的动点. 点f在bc边上, 且efab. 现沿ef将bef折起到pef的位置, 使peae. 记be=x, v(x) 表示四棱锥p-acfe的体积. () 求v(x) 的表达式;() 当x为何值时, v(x) 取得最大值?() 当v(x) 取得最大值时, 求异面直线ac与pf所成角的余弦值. 109.(2007江西, 20, 12分) 如图是一个直三棱柱(以a1b1c1为底面) 被一平面所截得到的几何体, 截面为abc. 已知a1b1=b1c1=1, a1b1c1=90, aa1=4, bb1=2, cc1=3. () 设点o是ab的中点, 证明:oc平面a1b1c1;() 求二面角b-ac-a1的大小;() 求此几何体的体积. 110. (2009广东, 18, 14分) 如图, 已知正方体abcd-a1b1c1d1的棱长为2, 点e是正方形bcc1b1的中心, 点f、g分别是棱c1d1、aa1的中点, 设点e1、g1分别是点e、g在平面dcc1d1内的正投影. () 求以e为顶点, 以四边形fgae在平面dcc1d1内的正投影为底面边界的棱锥的体积;() 证明:直线fg1平面fee1;() 求异面直线e1g1与ea所成角的正弦值. 111.(2010上海, 21, 13分) 如图所示, 为了制作一个圆柱形灯笼, 先要制作4个全等的矩形骨架, 总计耗用9. 6米铁丝. 骨架将圆柱底面8等分. 再用s平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面) . () 当圆柱底面半径r取何值时, s取得最大值?并求出该最大值(结果精确到0. 01平方米) ;() 在灯笼内, 以矩形骨架的顶点为端点, 安装一些霓虹灯. 当灯笼底面半径为0. 3米时, 求图中两根直线型霓虹灯a1b3、a3b5所在异面直线所成角的大小(结果用反三角函数值表示) . 112.(2010四川, 18, 12分) 已知正方体abcd-abcd的棱长为1, 点m是棱aa的中点, 点o是对角线bd的中点. () 求证:om为异面直线aa和bd的公垂线;() 求二面角m-bc-b的大小;() 求三棱锥m-obc的体积. 答案高中理数： 1.a： 2.b ： 3.a ： 4.b ： 5.b： 6.c： 7.c ： 8.b： 9.a： 10.c ： 11.c ： 12.b： 13.b： 14.b ： 15. d ： 16. a ： 17. d ： 18. b ： 19. b ： 20. a ： 21. c ： 22. b： 23. d ： 24. a： 25.d： 26.d： 27.c： 28.d： 29. c： 30. d： 31.c： 32.d： 33.b： 34.c： 35.a： 36.c： 37.b： 38. d： 39.d： 40.b： 41. a： 42.c： 43. d： 44. b： 45. b： 46.b： 47. d： 48.c： 49. c： 50.c： 51. c： 52.b： 53.b： 54. ： 55.： 56.： 57.： 58.： 59. 8： 60. ： 61. ： 62. ： 63. ： 64. ： 65.2： 66.16： 67.2+2： 68.72： 69. ： 70.4： 71.： 72.： 73.解法一:(1)如图(1),连结ac. 由ab=4,bc=3,abc=90,得ac=5. 又ad=5,e是cd的中点,所以cdae. 因为pa平面abcd,cd平面abcd,所以pacd. 而pa,ae是平面pae内的两条相交直线,所以cd平面pae. (2)过点b作bgcd,分别与ae,ad相交于点f,g,连结pf. 由(1)cd平面pae知,bg平面pae. 于是bpf为直线pb与平面pae所成的角,且bgae. 由pa平面abcd知,pba为直线pb与平面abcd所成的角. 由题意pba=bpf,因为sinpba=,sinbpf=,所以pa=bf,由dab=abc=90知,adbc,又bgcd,所以四边形bcdg是平行四边形,故gd=bc=3,于是ag=2. 在rtbag中,ab=4,ag=2,bgaf,所以bg=2,bf=. 于是pa=bf=. 又梯形abcd的面积为s=(5+3)4=16,所以四棱锥p-abcd的体积为v=spa=16=. 解法二:如图(2),以a为坐标原点,ab,ad,ap所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系. 设pa=h,则相关各点的坐标为:a(0,0,0),b(4,0,0),c(4,3,0),d(0,5,0),e(2,4,0),p(0,0,h). (1)易知=(-4,2,0),=(2,4,0),=(0,0,h). 因为=-8+8+0=0,=0,所以cdae,cdap. 而ap,ae是平面pae内的两条相交直线,所以cd平面pae. (2)由题设和(1)知,分别是平面pae,平面abcd的法向量,而pb与平面pae所成的角和pb与平面abcd所成的角相等,所以|cos|=|cos|,即=. 由(1)知,=(-4,2,0),=(0,0,-h),又=(4,0,-h),故=. 解得h=. 又梯形abcd的面积为s=(5+3)4=16,所以四棱锥p-abcd的体积为v=spa=16=. ： 74.c： 75.： 76.6： 77.： 78.4： 79.2+4： 80.14： 81.b、d： 82.： 83.2： 84.9： 85.24 ： 86.8： 87. 20： 88.+2=3： 89.4 ： 90.8 ： 91.s3s2s1 ： 92.4： 93.： 94.144： 95.4： 96.： 97.2r2： 98.8： 99. ： 100.： 101.6+： 102.（）取中点，连接.，.又平面，平面，.又易知，所以.又平面,.，.（）过作于，连接.平面，又平面，又平面，又，平面，二面角为二面角的平面角.在中，. . 二面角的余弦值为.方法二： （）平面平面，平面平面，过作平面，则以分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，.（），设为平面的一个法向量.为满足题意的一组解，.，.设为平面的一个法向量.，为满足题意的一组解， . ，二面角的余弦值为.： 103.（1）证明: 取中点，连结. 在中，分别为的中点，则，且. 由已知，因此，且. 所以，四边形为平行四边形.于是，. 又因为平面, 且平面，所以平面. （2）证明在正方形中，.又平面平面，平面平面，知平面. 所以.在直角梯形中，算得.在中，可得. 故平面.又因为平面，所以，平面平面.（3）解: 按如图建立空间直角坐标系，点与坐标原点重合. 设，则，又，设，则，即.设是平面的法向量，则, .取，得，即得平面的一个法向量为. 由题可知，是平面的一个法向量.因此，即点为中点. 此时，为三棱锥的高，所以，. ： 104.（i）由题意得，, 又，平面pef， 又平面pef， 又phef，, ph平面abc. 4分（），是二面角pacb的平面角，.,，.以d为原点，以da、dc所在的直线分别为轴和轴，建立空间直角坐标系，如图所示.设da=1，则, , 过h作与m，与n， 在矩形abcd中，有， ，,，,设平面pbc的法向量是，则所以，取，则，是平面pbc的一个法向量.设直线dp与平面pbc所成的角为，又，直线dp与平面pbc所成的角为. 9分（），. 四面体pabc的体积,，.，当且仅当时等号成立.解法一，.设，且，,函数在区间上是减函数，当，即时，v取得最大值.四面体pabc体积的最大值是. 14分解法二，四面体pabc体积的最大值是. 14分： 105.解法一以d为原点，以da为轴，以de为轴，平面acd内过d垂直于ad的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，（1）点f是线段ce的中点，下面证明：如图所示，设f是线段ce的中点，则点f的坐标为，又，又de平面acd，是平面acd的一个法向量，bf平面acd；4分（2）设平面bce的法向量为，则又，整理得令，则，即，又是平面acd的一个法向量，设与的夹角为，则，又是锐角，. 8分（3）很明显g（1，0，0），由（2）知为平面bce的一个法向量，点g到平面bce的距离 12分解法二 （1）ab平面acd，de平面acd，ab/ed， 设f为线段ce的中点，h是线段cd的中点，连接fh，ah，如图所示，则，四边形abfh是平行四边形， 又平面acd内，平面acd，平面acd.4分（2）很明显是在平面acd上的射影，设平面bce与平面acd所成锐二面角为，则， 易求得bc=be，ce，又，又，. 8分（3）连结bg、cg、eg，如图所示，又ed平面acd，平面abed平面acd ，又，平面abed，设g到平面bce的距离为，又，又，即点g到平面bce的距离是12分： 106.解法一平面abcd，平面abcd，又平面abcd，又，以为原点，分别以，,为轴建立空间直角坐标系，如图所示. ，,，,，.（1）,.（2）,.设平面的法向量为，则解得，则，取.设平面的法向量为，则解得，则，取.，设向量的夹角为，又，即二面角的正弦值为. (9分)(3) 设四棱柱的体积为v，底面四边形abcd是直角梯形，,.又,.即四面体的体积为2. (12分)解法二，平面abcd，平面,平面平面abcd，四边形是矩形，又,四边形是正方形，.又，又平面平面abcd=ad，cd平面abcd，cd平面，又平面， cd.又，cd平面，平面，又,.所以四点共面，平面，. (4分)同解法一.(3)同解法一.： 107.(1) 如图所示，连接，则， pa面abcd，又,且平面pac，又平面pac， pcbd.(2) 设连接,过点作于，如图所示.则，是三棱锥e-bcd的高.设，则，又是直角三角形，其中，在直角中，当且仅当时，等号成立，又三棱锥e-bcd的底面bcd的面积是定值，当三棱锥e-bcd的体积取最大值时，取最大值，即此时四棱锥e-abcd的高为.以为原点，以ab,ad,ap分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示.则，,设平面ade的法向量为，则解得令，则，平面ade的一个法向量，又平面bde，是平面bde的一个法向量，设与向量的夹角为，二面角a-de-b的余弦值为.： 108.() efab, efpe. 又 peae, efae=e, 且pe在平面acfe外, pe平面acfe. efab, cdab, efcd. =ef=x=. 所以四边形acfe的面积sacfe=sabc-sbef=63-x2=9-x2. 四棱锥p-acfe的体积vp-acfe=sacfepe=3x-x3. 即v(x) =3x-x3(0x3) . () 由() 知v(x) =3-x2. 令v(x) =0x=6. 当0x0, 当6x3时, v(x) 0. 当be=x=6时, v(x) 有最大值, 最大值为v(6) =12. () 解法一:如图, 以点e为坐标原点, 向量、分别为x, y, z轴的正向建立空间直角坐标系. 则e(0, 0, 0) , p(0, 0, 6) , f(0, , 0) , a(6-6, 0, 0) , c(3-6, 3, 0) . 于是=(-3, 3, 0) , =(0, , -6) . ac与pf所成角的余弦为cos =. 异面直线ac与pf所成角的余弦值为. 解法二:过点f作fgac交ae于点g, 连结pg, 则pfg或其补角为异面直线ac与pf所成的角. abc是等腰三角形, gbf也是等腰三角形. 于是fg=bf=pf=, 从而pg=6. 在gpf中, 根据余弦定理得cospfg=. 故异面直线ac与pf所成角的余弦值为. ： 109.解法一:() 证明:作odaa1交a1b1于d, 连c1d. 则odbb1cc1. 因为o是ab的中点, 所以od=(aa1+bb1) =3=cc1. 则odc1c是平行四边形, 因此有occ1d, c1d平面c1b1a1且oc平面c1b1a1, 则oc面a1b1c1. () 如图, 过b作截面ba2c2面a1b1c1, 分别交aa1, cc1于a2、c2, 作bha2c2于h, 连ch. 因为cc1面ba2c2, 所以cc1bh, 则bh平面a1c. 又因为ab=, bc=, ac=ab2=bc2+ac2, 所以bcac, 根据三垂线定理知chac, 所以bch就是所求二面角的平面角. 因为bh=, 所以sinbch=, 故bch=30, 即:所求二面角的大小为30. () 因为bh=, 所以=bh=(1+2) =, =bb1=2=1, 所求几何体体积为v=+=. 解法二:() 证明:如图, 以b1为原点建立空间直角坐标系, 则a(0, 1, 4) , b(0, 0, 2) , c(1, 0, 3) , 因为o是ab的中点, 所以o, =. 易知n=(0, 0, 1) 是平面a1b1c1的一个法向量. 因为n=0, oc平面a1b1c1, 所以oc平面a1b1c1. () =(0, -1, -2) , =(1, 0, 1) . 设m=(x, y, z) 是平面abc的一个法向量, 则由m=0, m=0得:, 取x=-z=1, m=(1, 2, -1) . 显然, l=(1, 1, 0) 为平面aa1c1c的一个法向量, 则cos=, 结合图形可知所求二面角为锐角. 所以二面角b-ac-a1的大小是30. () 同解法一. ： 110.() 由题意知ee1平面dcc1d1, 且四边形fgae在平面dcc1d1内的正投影为四边形fg1de1. 点e是正方形bcc1b1的中心, ee1=1. =-, 由题设知点e1、g1分别是cc1、dd1的中点, =22-11-11-12=2. 故所求的四棱锥体积为=ee1=21=. () 证法一:由() 知e1c1f与g1d1f均为等腰直角三角形, g1fe1=g1ffe1. ee1平面dcc1d1, fg1平面dcc1d1, ee1fg1. 又 ee1fe1=e1, fg1平面fee1. 证法二:以d为原点, 、分别为z轴、y轴、x轴的正向, |为1个单位长度建立空间直角坐标系, 由() 及题设知点e、f、g1、e1的坐标分别为(1, 2, 1) , (0, 1, 2) , (0, 0, 1) , (0, 2, 1) , =(0, 1, -1) , =(0, -1, -1) , =(-1, 0, 0) , =0, =0, 又 e