高等数学讲义(汪诚义)第一章.docx

在职研究生高等数学讲义主讲：汪诚义目 录第一章 函数、极限、连续1第二章 一元函数微分学24第三章 一元函数积分学49第四章 常微分方程70第五章 向量代数与空间解析几何82第六章 多元函数微分学92第七章 多元函数积分学107第八章 无穷级数（数一和数三）129第一章 函数、极限、连续1.1 函数(甲)内容要点一、函数的概念1函数的定义2分段函数3反函数4隐函数二、基本初等函数的概念、性质和图象三、复合函数与初等函数四、考研数学中常出现的非初等函数1用极限表示的函数(1) (2) 2用变上、下限积分表示的函数(1) 其中连续，则(2) 其中可导，连续，则五、函数的几种性质1 有界性：设函数在X内有定义，若存在正数M，使都有，则称在X上是有界的。2 奇偶性：设区间X关于原点对称，若对，都有，则称在X上是奇函数。若对，都有，则称在X上是偶函数，奇函数的图象关于原点对称；偶函数图象关于轴对称。3 单调性：设在X上有定义，若对任意，都有 则称在X上是单调增加的单调减少的；若对任意，都有，则称在X上是单调不减单调不增（注意：有些书上把这里单调增加称为严格单调增加；把这里单调不减称为单调增加。）4 周期性：设在X上有定义，如果存在常数，使得任意，都有，则称是周期函数，称T为的周期。由此可见，周期函数有无穷多个周期，一般我们把其中最小正周期称为周期。(乙) 典型例题一、定义域与值域例1 设的定义域为（）求的定义域解：要求，则，当时，则当时，也即或例2 求并求它的反函数。解：，所以的值域为反函数二、求复合函数有关表达式例1 设，求 解：，若，则根据数学归纳法可知，对正整数，例2 已知，且，求解：令，因此，三、有关四种性质例1 设，则下列结论正确的是 （A）若为奇函数，则为偶函数（B）若为偶函数，则为奇函数（C）若为周期函数，则为周期函数（D）若为单调函数，则为单调函数例2 求解 是奇函数，是奇函数， 因此是奇函数于是例3 设是恒大于零的可导函数，且，则当时，下列结论成立的是 （A）（B）（C）（D）思考题：两个周期函数之和是否为周期函数四、函数方程例1设在上可导，反函数为，且，求。解：两边对求导得，于是，故，由，得，则。例2 设满足，求解：令，则，各式相加，得， 因此，于是或（k为整数）思考题设均为常数，求方程的一个解。1.2 极限(甲)内容要点一、极限的概念与基本性质1极限的概念(1) 数列的极限(2) 函数的极限； ；2极限的基本性质定理1 （极限的唯一性 ） 设，则A=B定理2 （极限的不等式性质） 设，若变化一定以后，总有，则反之，则变化一定以后，有（注：当，情形也称为极限的保号性）定理3 （极限的局部有界性）设则当变化一定以后，是有界的。定理4 设，则（1）（2）（3）（4）（5） 二、无穷小1无穷小定义：若，则称为无穷小（注：无穷小与的变化过程有关，当时为无穷小，而或其它时，不是无穷小）2无穷大定义：任给M0，当变化一定以后，总有，则称为无穷大，记以。3无穷小与无穷大的关系：在的同一个变化过程中，若为无穷大，则为无穷小，若为无穷小，且，则为无穷大。4无穷小与极限的关系：，其中5两个无穷小的比较设，且（1），称是比高阶的无穷小，记以 称是比低阶的无穷小（2），称与是同阶无穷小。（3），称与是等阶无穷小，记以6常见的等价无穷小，当时，。7无穷小的重要性质有界变量乘无穷小仍是无穷小。三、求极限的方法1利用极限的四则运算和幂指数运算法则2两个准则准则1：单调有界数列极限一定存在(1) 若（为正整数）又（为正整数），则存在，且(2) 若（为正整数）又（为正整数），则存在，且准则2：夹逼定理设。若，则3两个重要公式公式1：公式2：；4用无穷小重要性质和等价无穷小代换5用泰勒公式（比用等价无穷小更深刻）（数学一和数学二）当时，6洛必达法则法则1：（型）设（1）（2）变化过程中，皆存在（3）（或）则（或）（注：如果不存在且不是无穷大量情形，则不能得出不存在且不是无穷大量情形）法则2：（型）设（1）（2）变化过程中，皆存在（3）（或）则（或）7利用导数定义求极限基本公式：如果存在8利用定积分定义求极限基本公式如果存在9其它综合方法10求极限的反问题有关方法（乙）典型例题一、通过各种基本技巧化简后直接求出极限例1 设，求解：例2 设，求解： 特例 （1）求解：例2中取，可知原式（2）例3求解：分子、分母用除之，原式=（注：主要用当时，）例4 设是正整数，求解： 因此原式特例：（1） （）（2） （）二、用两个重要公式例1 求解：当，原式=1当时，原式=例2 求解一：解二：例3 =三、用夹逼定理求极限例1求解：令，则，于是由夹逼定理可知：，于是原极限为0例2 求解：而由夹逼定理可知例3 求解：设，则于是，由夹逼定理可知，四、用定积分定义求数列的极限例1求分析：如果还想用夹逼定理中的方法来考虑而，由此可见，无法再用夹逼定理，因此我们改用定积分定义来考虑解：例2 求解：而由夹逼定理可知，五、用洛必达法则求极限1型和型例1求解：离散型不能直接用洛必达法则，故考虑 原式例2求解：若直接用型洛必达法则1，则得=（不好办了，分母的次数反而增加）为了避免分子求导数的复杂性，我们先用变量替换，令于是（型）例3 设函数，求解：原式（分母作变量替换）（用洛必达法则，分子、分母各求导数）（用积分中值定理）（在0和之间）2型和型例1 求解：原式=例2 设，常数。求解：原式 （型）用洛必达法则3“”型，“”型和“”型这类都是形式可化为而都是“”型，按2的情形处理例1 求解：令， 例2 设，常数，求解：先考虑它是“”型令， （型）因此，于是，六、求分段函数的极限例 求解： 七、用导数定义求极限例1 设，求解：原式=例2 设曲线与在原点相切，求解：由题设可知，于是八、递推数列的极限例1 设，证明存在，并求其值。解：， （几何平均值算术平均值）用数学归纳法可知时， 有界。又当时， ，则单调增加。根据准则1，存在把两边取极限，得，（舍去）得， 思考题 设，求九、求极限的反问题例1 设，求和解：由题设可知，再由洛必达法则得例2 设在内可导，且满足，求。解：因此，由，可知则1.3 连续(甲)内容要点一、函数连续的概念1函数在一点连续的概念定义1 若，则称在点处连续。定义2 设函数，如果，则称函数在点处左连续；如果，则称函数在点处右连续。如果函数在点处连续，则在处既是左连续，又是右连续。2函数在区间内（上）连续的定义如果函数在开区间（）内的每一点都连续，则称在内连续。如果在开区间内连续，在区间端点右连续，在区间端点左连续，则称在闭区间上连续。二、函数的间断点及其分类1函数的间断点的定义如果函数在点处不连续，则称为的间断点。2函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设是函数的间断点，如果在间断点处的左、右极限都存在，则称是的第一类间断点。第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。（2）第二类间断点第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。例如：是的可去间断点，是的跳跃间断点，是的无穷间断点，是的振荡间断点。三、初等函数的连续性1在区间I连续的函数的和、差、积及商（分母不为零），在区间I仍是连续的。2由连续函数经有限次复合而成的复合函数在定义区间内仍是连续函数。3在区间I连续且单调的函数的反函数，在对应区间仍连续且单调。4基本初等函数在它的定义域内是连续的。5初等函数在它的定义区间内是连续的。四、闭区间上连续函数的性质在闭区间a ,b上连续的函数，有以下几个基本性质，这些性质以后都要用到。定理1 （有界定理）如果函数f(x)在闭区间a, b上连续，则f(x)必在a, b上有界。定理2 （最大值和最小值定理）如果函数f(x)在闭区间a, b上连续，则在这个区间上一定存在最大值M和最小值m.其中最大值M和最小值m的定义如下：定义 设是区间上某点处的函数值，如果对于区间上的任一点，总有，则称为函数在上的最大值。同样可以定义最小值.定理3 （介值定理）如果函数在闭区间上连续，且其最大值和最小值分别为和，则对于介于和之间的任何实数，在上至少存在一个，使得推论：如果函数在闭区间上连续，且与异号，则在内至少存在一个点，使得这个推论也称零点定理。思考题：什么情况下能保证推论中的是唯一的？（乙）典型例题一、讨论函数的连续性由于初等函数在它的定义区间内总是连续的，所以，函数的连续性讨论多是指分段函数在分段点处的连续性。对于分段函数在分段点处的连续性，若函数在分段点两侧表达式不同时，需根据函数在一点连续的充要条件进行讨论。例1 讨论函数在点处的连续性。解 因 即有，故在点连续。二、间断点问题例1 设，在内有定义，为连续，且，有间断点，则下列函数中必有间断点的为（ ）（A）（B）（C）（D）例2 求的间断点，并判别其类型。解：当时，当时，当时，所以它是分段函数，分段点为，。所以皆是第一类间断点，（跳跃间断点）例3 求的间断点，并判别其类型。解：，考虑（用洛必达法则） 于是（整数）是间断点，是可去间断点。是第二类间断点。三、用介值定理讨论方程的根例1 证明五次代数方程在区间（1，2）内至少有一个根。证 由于函数是初等函数，因而它在闭区间上连续，而由于与异号，故在（1，2）中至少有一点，使就是说，五次代数方程在区间（1，2）内至少有一个根。例2 设在上连