广东省阳东一中、广雅中学高三数学第一次联考试题 理（含解析）新人教A版.doc

1 广东省阳东一中 广雅中学广东省阳东一中 广雅中学 20152015 届高三第一次联考数学 理 试题届高三第一次联考数学 理 试题 解析版 解析版 试卷综析 全面覆盖 双基 的同时 注重了能力的考查 特别是运算能力 逻辑思维 能力和空间想象能力的强调比较突出 至于实践能力和创新意识方面也在努力体现 其 中 函数与方程的数学思想方法 数形结合的数学思想方法 化归与转化的数学思想方法 体现得较为突出 有必要增加实际应用和创新意识的题目 以提升试卷的 灵气和亮点 一 选择题 本大题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 题文 1 函数的定义域是 1 1 1 f xlgx x a b c d 1 1 1 11 知识点 函数的表示方法 b1 答案解析 c 解析 解 所以 c 为正确选项 10 11 10 x xx x 且 思路点拨 由解析式成立的条件可列出条件 进而求出定义域 题文 2 若复数 z 满足方程 则 2 20z 3 z a b c d 2 2 2 2 2 2i 2 2i 知识点 复数的概念 l4 答案解析 d 解析 解 所以 d 为正确选项 23 2022 2zzizi 思路点拨 根据复数的概念求出 z 再求出 3 z 题文 3 已知 a b 是实数 则 a 1 b 2 是 a b 3 且 ab 2 的 a 充分而不必要条件 b 必要而不充分条件 c 充分且必要条件 d 既不 充分也不必要条 知识点 充分必要条件 a2 答案解析 a 解析 解 当 a 1 b 2 有 a b 3 且 ab 2 而 同样有2 1ab 所以 是的充分而不必要条件 所以 a32abab 且2 1ab 32abab 且 正确 思路点拨 根据条件可知题的充分必要性 题文 4 中 角所对的边 若 abc abc abc 3a 3 a 则 5 cos 5 b b 2 a b c d 8 5 5 2 5 55 54 5 512 知识点 正弦定理 c8 答案解析 c 解析 解 根据正弦定理可知 sinsin ab ab 所以正确选项为 c 2 534 5 sin 5532 5 25 b bb 思路点拨 根据三角函数值可直接用正弦定理求值 题文 5 在平行四边形abcd中 ac为一条对角线 2 4 1 3 则 ab ac da a 2 4 b 3 5 c 1 1 d 1 1 知识点 向量的加减运算 f1 答案解析 c 解析 解 acabbcbcacab da 1 11 1bcacab 而 思路点拨 根据题意可直接进行向量的运算 题文 6 已知点在不等式组表示的平面区域上运动 则 p x y 20 10 220 x y xy 的最小值是 zxy a b c d 2 21 1 知识点 线性规划 e5 答案解析 c 解析 解 由图可知可行域为三角形 abc 上及内部的点 所以目标函数的 最小值在 a 点取到 a 点的坐标为代入目标 0 1 函数可得 1z 思路点拨 根据题意可求出可行域 再由图找到最小值点 题文 7 已知点p是抛物线 2 4xy 上的一个动点 则点p到点 2 0 m的距离与点 p到该抛 物线准线的距离之和的最小值为 3 2 1 si 开始 2 1 s 1 s s s 1 ii 是 输出i结束 否 图 3 a 17 2 b 5 c 2 2 d 9 2 知识点 抛物线的概念 h7 答案解析 b 解析 解 由题意可知抛物线的焦点坐标为 由抛物线的概念可知 0 1 点p到点 2 0 m的距离与点p到该抛 物线准线的距离之和的最小值即为 m 点到焦点的距离 所以 22 200 15d 思路点拨 根据抛物线的概念可知到准线的距离与到焦点的距离相等 题文 8 对于非空集合 a b 定义运算 abx xabxab 且 已知 dxcxnbxaxm 其中dcba 满足abcd 0abcd 则 nm a a db c b c ab d c a cd b d c ad b 知识点 集合的运算 a1 答案解析 c 解析 解 由新定义的概念可知当abcd 0abcd 时 再由题意可知 根据选项可知应为 c acdb mn a cd b 思路点拨 根据新定义的集合运算可直接求解 二 填空题 本大题共 7 小题 考生作答 6 小题 每小题 5 分 满分 30 分 一 必做题 第 9 10 11 12 13 题为必做题 每道试题考生都必须作答 题文 9 某校高中部有三个年级 其中高三有学生人 现采用分层抽样法抽取一个1000 容量为的样本 已知在高一年级抽取了人 高二年级抽取了人 则高中部共1857560 有学生 人 知识点 分层抽样 i1 答案解析 3700 解析 解 由分层抽样的概念可知 样本是按比例分配的 所以应在高 三抽取 50 人 按比例可知 高一有学生 1500 人 高二有学生 1200 人 所以高中部共有学 生 1500 1200 1000 3700 人 思路点拨 由分层抽样的定义可知每一部分应该有学生多少人 题文 10 4 0 cosxdx 知识点 积分的运算 b13 答案解析 解析 解 因为的导数为 2 2 cosxsin x 4 0 2 cossin4 2 0 xdxx 思路点拨 根据函数的积分运算 题文 11 执行如图 3 所示的程序框图 输出的 i 知识点 程序框图 l1 4 答案解析 3 解析 解 由算法程序可知第一次循环后 需进行第二次循环 2 2 3 si 第二次循环后输出 i 这时 i 3 221 3 552 sis 思路点拨 由程序运行法则可知结果 题文 12 下图是一个几何体的三视图 根据图中数据可得 该几何体的表面积是 知识点 三视图 g2 答案解析 b 解析 解 由三视图可知几何体为组合体 是由直径为 3 的球与底面直径 为 3 高为 4 的圆柱组成 所以它的表面积为球的表面积 圆柱的表面 2 9 449 4 r 积为 所以几何体的表面积为 2 399 2224212 242 r hr 951 21 22 思路点拨 根据三视图与原图的关系可求出表面积 题文 13 观察下列等式 212 1 1xxxx 22234 1 1232xxxxxx 2323456 1 1 36763xxxxxxxx 242345678 1 1410161916104xxxxxxxxxx 由以上等式推测 对于 若 则 nn 222 0122 1 nn n xxaa xa xa x 2 a 知识点 数列求和 d4 答案解析 解析 解 根据系数的规律可知的系数在每个式子中分别为 1 2 n n 2 x 1 3 6 10 设 123 1 3 6bbb 2132431 2 3 4 nn bbbbbbbbn 1 123 2 n n n bn 思路点拨 根据系数的特点可找出与数列的关系 再根据数列进行求和求出系数 5 二 选做题 第 14 15 题为选做题 考生只能选做一题 两题全答的 只计算前一题的 得分 题文 14 坐标系与参数方程选做题 如图 pa是圆的切线 a为切点 pbc是圆的割线 且 则 bc pb1 2 pa bc 知识点 切割线定理 n1 答案解析 解析 解 由切割线定理可知设则 3 2 2 papb pc pba 3 2pca bca 3 2 pa bc 思路点拨 由切割线定理可直接求出结果 题文 15 坐标系与参数方程选做题 曲线对称的曲线的4cos 4 关于直线 极坐标方程为 知识点 简单曲线的极坐标方程 直线与圆的位置关系 点的极坐标和直角坐标的互化 n3 答案解析 b 解析 解 将原极坐标方程 4cos 化为 2 4 cos 化成直角坐标方程为 x2 y2 4x 0 它关于直线 y x 即 对称的圆的方程是 x2 y2 4y 0 其极坐标方程为 4sin 故答案为 4sin 思路点拨 先将原极坐标方程 4cos 两边同乘以 后化成直角坐标方程 再结合曲 线关于直线的对称性 利用直角坐标方程解决问题 三 解答题 本大题共 6 小题 共 80 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 题文 16 本小题满分 12 分 在 中 分别是角所对的边 满足 abc a b c a b c 222 acbac 1 求角的大小 b 2 设 求的最小值 sin cos2 maa 6 1 n m n 知识点 余弦定理 向量的运算 c8 f2 答案解析 1 2 5 解析 解 在中 由余弦定理 3 abca 又 222 1 cosb 22 acb ac 0 3 bb p b a c 6 o 19图 图 181716 151413图 图 图 图 图 0 06 0 08 0 16 0 32 0 38 2 2 2 311 6sincos22sin6sin12 sin 22 m naaaaa 又当时 取最小值 12 分 2 0 0sin1 3 aa sin1a m n 5 思路点拨 由已知条件根据余弦定理可直接求出角 b 再由向量的运算求出最小值 题文 17 本小题满分 12 分 某学校 900 名学生在一次百米测试中 成绩全部介于秒与秒之间 抽取其中 501318 个样本 将测试结果按如下方式分成五组 第一组 13 14 第二组 14 15 第五组 17 18 下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图 1 若成绩小于 14 秒认为优秀 求该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数 2 请估计本年级 900 名学生中 成绩属于第三组的人数 3 若样本第一组中只有一个女生 其他都是男生 第五组则只有一个男生 其他都是女 生 现从第一 五组中各抽 2 个同学组成一个实验组 设其中男同学的数量为 求的 分布列和期望 知识点 频率分布直方图 离散型随机变量的分布列与数学期望 i2 k6 答案解析 1 3 2 342 3 的分布列为 p123 1 31 21 6 11 分 6 11 3 3 2 2 1 1 pppe 解析 解 1 由频率分布直方图知 成绩在第一组的为优秀 频率为 0 06 人数为 50 0 06 3 所以该样本中成绩优秀的人数为 3 3 分 2 由频率分布直方图知 成绩在第三组的频率 0 38 以此估计本年级 900 名学生成绩 属于第三组的概率为 0 38 人数为 900 0 38 342 所以估计本年级 900 名学生中 成绩属于第三组的人数为 342 7 分 7 o 19图 图 181716 151413图 图 图 图 图 0 06 0 08 0 16 0 32 0 38 3 第五组共有 50 0 008 4 人 其中 1 男 3 女 则 的可能取值为 1 2 3 8 分 3 1 1 2 4 0 1 2 3 2 3 1 2 1 1 c cc c cc p 9 分 2 1 2 2 4 1 3 1 1 2 3 1 1 1 2 2 4 2 3 0 1 2 3 0 1 2 2 c cc c cc c cc c cc p 10 分 6 1 3 2 4 1 3 1 1 2 3 0 1 2 2 c cc c cc p 的分布列为 p123 1 31 21 6 11 分 12 分 6 11 3 3 2 2 1 1 pppe 思路点拨 由直方图可直接求出数据列出分布列 再利用公式计算数学期望 题文 18 本小题满分 14 分 如图 三棱柱 abc a1b1c1中 aa1 面 abc bc ac bc ac 2 aa1 3 d 为 ac 的中 点 1 求证 ab1 面 bdc1 2 求二面角 c1 bd c 的余弦值 3 在侧棱 aa1上是否存在点 p 使得 cp 面 bdc1 并证明你的 结论 知识点 直线与平面平行 二面角 直线与平面垂直 g4 g5 g11 答案解析 略 解析 解 i 证明 连接 b1c 与 bc1相交于 o 连接 od bcc1b1是矩形 o 是 b1c 的中点 又 d 是 ac 的中点 od ab1 2 分 ab1面 bdc1 od面 bdc1 ab1 面 bdc1 4 分 ii 解 如图 建立空间直角坐标系 则 c1 0 0 0 b 0 3 2 c 0 3 0 a 2 3 0 d 1 3 0 5 分 设 x1 y1 z1 是面 bdc1的一个法向量 则n 0 0 1 1 dcn bcn 即 6 分 2 1 3 1 1 03 023 11 11 n yx zy 取 b1 c1 a1 b c d 8 易知 0 3 0 是面 abc 的一个法向量 cc1 8 分 7 2 3 6 7 1 cos 1 1 1 ccn ccn ccn 二面角 c1 bd c 的余弦值为 9 分 7 2 iii 假设侧棱 aa1上存在一点 p 2 y 0 0 y 3 使得 cp 面 bdc1 则 方程组无解 假设不成立 3 7 3 0 3 32 0 3 3 0 0 1 1 y y y y dccp bccp 即 侧棱 aa1上不存在点 p 使 cp 面 bdc1 14 分 思路点拨 由条件可证明直线与平面平行 再建立空间坐标系利用向量求出二面角的余 弦值 最利用向量进行说明 题文 19 本小题满分 14 分 已知 是方程的两根 数列是递增的等差数列 数列 2 a 5 a02712 2 xx n a 的前项和为 且 n bn n s nn bs 2 1 1 nn 1 求数列 的通项公式 n a n b 2 记 求数列的前项和 nnn bac n cn n t 知识点 等差数列与等比数列的综合 数列的函数特性 d2 d3 答案解析 1 2 略 解析 解 1 由题意得 a2 3 a5 921 n an 公差 所以 an a2 n 2 d 2n 1 由得 当 当 n 2 时 得 所以 2 9 分 n nnn n bac 3 24 nn n nn t 3 24 3 2 1 4 3 234 3 224 3 214 1321 11 分 12210 3 24 3 2 1 4 3 234 3 224 3 214 3 nn n nn t 两式相减得 13 分 nn n n t 3 24 3 4 3 4 3 4 22 121 所以 14 分 n n 3 44 4 n n n t 3 22 2 9 思路点拨 1 通过解二次方程求出方程的两个根 据数列 an 为递增数列为递增数列 求出 a2 a5 利用等差数列的通项公式求出 数列 an 的公差 利用等差数列推广的通项公式求出其通项 利用数列 bn 的前 n 项和与 通项的关系求出数列 bn 的通项 2 求出数列 cn 的通项 求出 cn 1 cn的差 判断出差的符号 得证 题文 20 本小题满分 14 分 如图 已知椭圆 2 2 2 1 1 x cya a 的上顶点为a 离心率为 若不过点a的动 6 3 直线l与椭圆c相交于p q两点 且 0ap aq 1 求椭圆c的方程 2 求证 直线l过定点 并求出该定点n的坐标 知识点 直线与圆锥曲线的综合问题 h8 答案解析 1 2 略 解析 解 1 解 椭圆 c y2 1 a 1 的上顶点为 a 离心率为 解得 a2 3 椭圆 c 的方程为 2 解 由 0 知 ap aq 从而直线 ap 与坐标轴不垂直 由 a 0 1 直线 ap 的斜率为 1 得直线 ap 的方程为 y x 1 直线 aq 的方程为 y x 1 将 y x 1 代入椭圆 c 的方程 并整理得 4x2 6x 0 解得 x 0 或 x 因此 p 的坐标为 同理 得 q 直线 l 的方程为 y 代入椭圆c的方程 2 2 1 3 x y 并整理得 222 1 3 63 1 0kxmkxm 设直线l与椭圆c相交于 11 p x kxm 22 q x kxm 两点 则 12 x x 是上述关于 x的方程两个不相等的实数解 从而 22222 6 4 1 3 3 1 12 31 0mkkmkm x y o p a q l f 10 2 1212 22 63 1 1 31 3 mkm xxx x kk 7 分 由 0 ap aq 得 22 12121212 1 1 1 1 1 0 x xkxmkxmkx xk mxxm 2 22 22 3 1 6 1 1 1 0 1 31 3 mmk kk mm kk 整理得 2 210 mm 2 1 1 0 mm 由 1m