讲义-切线的性质及判定.doc

1 初三数学初三数学 切线的性质及判定切线的性质及判定 1 直线与圆的三种位置关系 如果 O 的半径为 r 圆心 O 到直线l的距离为 d 那么 1 直线l和圆 O 相交d r 有 2 个公共点 2 直线l和圆 O 相切 有 1 个公共点rd 3 直线l和圆 O 相离 没有公共点rd 2 切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 要点 1 经过半径外端 2 垂直于这条半径 反例 定理实际上是从前一节所讲的 圆心到直线的距离等于半径时直线和圆相切 这个结 论直接得出来的 只是为了便于应用把它改写成 经过半径的外端 并且垂直于这条半径 的直线是圆的切线 这种形式 因此 定理不必另加证明 3 切线判定的三种方法 1 切线的定义 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线 2 圆心到直线的距离等于半径 3 切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 4 切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径 由于过已知点有且只有一条直线与已知直线垂直 所以经过圆心垂直于切线的直线一 定 过切点 反过来 过切点垂直于切线的直线一定经过圆心 因此可以得到两个推论 推论 1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 推论 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系 总结出如下结论 如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个 就可推出第三个 1 垂直于切线 2 过切点 3 过圆心 2 5 关于切线的性质主要有五个 切线和圆只有一个公共点 切线和圆心的距离等于圆的半径 切线垂直于过切点的半径 经过圆心垂直于切线的直线必过切点 经过切点垂直于切线的直线必过圆心 6 辅助线规律 1 直线与圆有公共点时 辅助线的作法是 连结圆心和公共点 再证直线与半径垂直 2 当直线与圆并没明确有公共点时 辅助线的作法是 过圆心向直线作垂线 再证圆 心到直线的距离等于半径 圆的切线的证明 一 一 见切点 连半径见切点 连半径 证明半径与直线垂直证明半径与直线垂直 例例 1 是的直径 交 O 于是的中点 求证 ABOAABAC BCPQ AC 是 O 的切线 QP 分析分析 本例中 要证明 是 O 的切线 因为在 O 上 如果结论成立 则点QPP 肯定是切点 所以只要连接 证明即可 POPOPPQ 证明证明 连接 OPPA 是 O 的直径 AB 90APB 在中 是的中点 RtAPC QAC PQAQ QAPQPA 又 OPOA OAPQPA OAQQPO 是 O 的切线 ABAC OPPQ QP A B CQ P O 3 二 二 过圆心 作垂线过圆心 作垂线 证明垂线段等于半径证明垂线段等于半径 例例 2 直角梯形中 以腰为直径的 恰与另一腰相切 求证 以腰ABCDCD 1 OAB 为直径的 也与腰相切 AB 2 OCD 分析分析 要证明以腰为直径的 与腰相切 因为 的半径是的一半 AB 2 OCD 2 OAB 由切线的定义可知 如果与 相切 则到的距离应等于半径 所以过CD 2 O 2 OCD 1 2 AB 作 证明即可 2 O 2 O ECD 2 1 2 O EAB 证明证明 过作 则 1 O 12 OOAB 22 O AO B 作于 作于 21 DFO O F 2 O ECD E 与 相切 AB 1 O 121 OOO D 211211 RtRtO O EDO FO O