2015考研数学一笔记修订版(李永乐全书必备资料).pdf

一日一钱 千日一千 绳锯木断 水滴石穿 1 高 等 数 学 第一章第一章 函数与极限函数与极限 注 此部分带 题应看的仔细点 1 求数列极限 W lim n 1 n nn 分析 求此类数列极限是一定要转化成求函数极限的 那关键就是找出数列极限与函数极限 这种对应关系 我们知道 n n当 n 时趋向 1 的 可以证明 而用函数极限求数列极 限 括号 1 n n必不能展开 展开就求不出结果了 因此 因为有 1 结构在 可以 联想到 1 x e 结构成 1 x a 结构 实际上 1 1 n n n n n e n n ln 1 1 ln 1 解 根据上述分析 原式 ln 1 lim n n n n n n n ln lim 构造函数 f x x x x ln lim 则 W lim xf x 所以 W x x x ln lim 洛必达法则 x x x 2 1 1 lim 0 2 lim x x x 因此原式 0 评 本题是将数列极限转化成函数极限的比较简单但典型的题目 评 本题是将数列极限转化成函数极限的比较简单但典型的题目 其中用到了其中用到了 0 1 xxex这样一个等价无穷小公式 其解题步骤是值得借鉴的 这样一个等价无穷小公式 其解题步骤是值得借鉴的 2 求数列极限 lim n M n n M 0 为常数 分析 如果是填空题 这种没有给定已知变量初值的题目 而且 n 那么其结果肯 定是 0 肯定不是 计算题结果肯定存在 本题的实质是任何一个给定的正数的幂次增 加速度追不上阶乘增加速度 为证明其为 0 则必须创建出有界量与无穷小的乘积或有界量 除以无穷大 此题有界量是难点 解 存在自然数 k 令 k M 则 1 321 1 n M k M k M k M 当 n k 时 有 n M n M k M k MMMM 1 2 1 3 2 1 因 为 1 3 2 1 n M k M k M k M 1 因 此 n M k MMMM n M n 3 2 1 0 因为 k MMMM n M n 3 2 1 0 为有界量 而 n M 趋 于 0 因此 0 n M n 0 由夹逼定理可知 lim n M n n 0 一日一钱 千日一千 绳锯木断 水滴石穿 2 评 本题的要点是会用极限的不等式性质进行适当放大或缩小 有助于理解有界量与无穷评 本题的要点是会用极限的不等式性质进行适当放大或缩小 有助于理解有界量与无穷 小之间的关系 小之间的关系 3 设 xf在 1 0 上连续 求 dxxfxn n lim 1 0 分析 如果此题是填空题 则可放心写出答案 0 因为 xf未知 xf连续给了我们很 大的解题提示 连续函数在闭区间上有界 解 1 记 M 为 xf在 1 0 上的最大值 则 dxxfxn n lim 1 0 1 0 lim dxxM n n 1 0 1 1 lim n x M n n 1 1 lim n M n 0 2 记 N 为 xf在 1 0 上的最小值 则 dxxfxn n lim 1 0 1 0 lim dxxN n n 0 由夹逼定理知 dxxfxn n lim 1 0 0 4 设 xf 1 lim 2 212 n n nx bxaxx 1 若 xf处处连续 求 a b 2 若 ba不是求 出的值 判断 xf有何间断点 分析 当 x 0 时 xf 0 当 x 0 时我们可以看到分子分母实际上差 1 次 为了看得更 清楚些 我们可以尝试分子分母共同消去 n x2 此时 xf n nn nx bxax n 2 2122 1 1 lim 则当 n时可看到当1 x时 原式 xf n nn nx bxax 2 2122 lim bxax 2 当1 x时 由 上式可看出 xf x 1 解 1 因为 1 1 1 1 0 lim 2 x x x x n n 因此当1 x时 xf bxax 2 当1 x时 xf 一日一钱 千日一千 绳锯木断 水滴石穿 3 1 2 1 1 2 1 lim 2 x ba x ba x n n 当1 x时 xf x 1 所以可罗列出 xf的几种可能 xf 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 xbxax x ba x ba x x 因为 xf处处连续 所以 1 1 1 1 ff ff 则可得到包含两个未知数的两个方程 1 1 ba ba 因此1 0 ba 2 当 ba 0 1 时 若 xf在1 x处间断 在1 x处连续 即1 ba成立 但1 ba不成立 得出ba和关系 同理得出 xf在 1 x处连续 在1 x处间断 和 x 1 均不连续 时ba和的关系 因为 xf在间断点两侧均存在极限 故上述间断 点均为第一类间断点 评 评 x在变 在变 xf有不同的表达式 此为该题的核心 其要点是找出要讨论的有不同的表达式 此为该题的核心 其要点是找出要讨论的x的取值点 的取值点 由分母含由分母含 n x2 可确定将 可确定将1 x作为讨论的分界点 作为讨论的分界点 5 求极限 1 W cos 1 sin 1 lim 222 0 xxxx 2 W lim 24 1 2 0 xxexx x x 分析 1 为 型 需通分处理 2 也为 型 但不好通分 则可以提 出一个 出来 解 1 W cos 1 sin 1 lim 222 0 xxxx xx xxxxxx x 24 0cos sincos sincos lim 4 0 sincos sincos lim x xxxxxx x 3 0 sincos sincos lim x xxx x xxx x 3 0 sincos sin cos lim x xxx x x x x 2 3 0 sincos lim x xxx x 洛 必 达 法 则 一日一钱 千日一千 绳锯木断 水滴石穿 4 2 2 03 cossincos lim x xxxx x 2 03 sin lim x xx x 3 2 3 1 2 2 W 2 1 2 1 1 1 1 lim x e x x x x 2 2 1 1 1 1 1 1 lim x x e x x x x 1 t 令 2 2 0 1 1 lim t tet t t 洛 必 达 法 则 t t t etee ttt t2 12 2 lim 2 0 t t t tet t2 12 2 lim 2 0 洛 必 达 法 则 2 1 1 lim 2 0 t et t 1 评 运算中经常会碰到什么情况下式子能拆开运算的问题 依我所见 一般情况下 化成评 运算中经常会碰到什么情况下式子能拆开运算的问题 依我所见 一般情况下 化成 多项式乘法 除法 再代入值分别计算多项式是不会有问题的 当然 不能化成多项式乘法 除法 再代入值分别计算多项式是不会有问题的 当然 不能化成 0 与与 0 0 情形 若化成加减法 若出现情形 若化成加减法 若出现 时不允许的 若为有界量同有界量 则是可以时不允许的 若为有界量同有界量 则是可以 运算的 运算的 2 2 题中用变量代换会使计算更加简洁 方便 现在考研求极限若 题中用变量代换会使计算更加简洁 方便 现在考研求极限若 1 1 题能正确 题能正确 求出 则说明已经掌握的比较好了 求出 则说明已经掌握的比较好了 6 求极限 x xx x 2 cot 0 sin lim 错误分析 为 1 型 泰勒公式 5 3 sin 53 xx xx 因此 x xsin 0 又因为 2 2 1 1 12 nnnn xxxx1 设 2 2 xxxf 则在定义 域上xxf22 0 所以数列 n x为单调数列 上升 下降无所谓 又因为 n x有界 所以 n x收敛 下面求 n n xlim 设其极限为 A 则有 A A 2 A 则 A 0 或 1 又因为 1 1 2 00 2 0001 2 001 xxxxxxxxx 所以 n x为单调上升数列 n n xlim 1 15 设0 x 则曲线 x x y 3 1 的渐进线有哪些 解 首先应该明确 渐近线有三类 铅直渐近线 水平渐进线以及斜渐近线 显然 对于此 题 当0 x时 y 因此 0 x是铅直渐近线 当 x时 我们可以看到 y 因此 水平渐近线不存在 接下去就判别斜渐进线存在与否 1 1 lim 1 lim 3 3 3 x x x x x xx 而0 1 lim 3 x x x x 因此存在斜渐近线xy 评 评 对于求渐近线的题目 可以分两步走 第一步判别有无铅直渐近线 往往分母为对于求渐近线的题目 可以分两步走 第一步判别有无铅直渐近线 往往分母为 0 0 即出即出 现函数值无穷 第二步判别在正负无穷大处是否存在水平或斜渐近线 如果是斜渐近线 先现函数值无穷 第二步判别在正负无穷大处是否存在水平或斜渐近线 如果是斜渐近线 先 通过除通过除x得到斜率 再函数做差求得得到斜率 再函数做差求得y轴截距 注意 同侧 水平渐进以及斜渐进最多只存轴截距 注意 同侧 水平渐进以及斜渐进最多只存 在其一 在其一 一日一钱 千日一千 绳锯木断 水滴石穿 10 第一章知识归纳及重难点第一章知识归纳及重难点 重难点 重难点 1 1 求各类极限 函数极限和数列极限 其中函数极限比较重要 求各类极限 函数极限和数列极限 其中函数极限比较重要 2 2 连续的定 连续的定 义以及判别 义以及判别 3 3 无穷小的阶的确定 这也是一个非常重要的内容 无穷小的阶的确定 这也是一个非常重要的内容 1313 年就考到了 求无穷年就考到了 求无穷 小的阶的最简便的是利用泰勒公式 泰勒公式在考研中最突出的一个优势就是这个 另外小的阶的最简便的是利用泰勒公式 泰勒公式在考研中最突出的一个优势就是这个 另外 方法就按传统方法设为方法就按传统方法设为 K K 次 再求出次 再求出 K K 4 4 渐近线 这个也应关注下 渐近线 这个也应关注下 1414 年考到 年考到 1 极限的概念 1 数列极限 AxNnN n 时 有当 0 2 函数极限 0 0 0 Axfxx时 有当 1 函数左右极限存在且相等 称极限存在 2 极限存在 判别 2 数列极限一般用夹逼定理 适当放大缩小 以及 单 调有界数列必收敛 定理 1 数列极限 1 运算直接求出 2 无限项用积分法 3 适当放大缩小 4 转为求函数极限 3 求极限方法 2 函数极限 1 分母不为 0 也不为 直接除 2 用等价无穷小替换 3 洛必达法则 结合无穷小 注意洛必达使用条件 邻域可导 4 求左右极限得总极限 4 无穷小 高阶 同阶 等价 低阶等概念 用泰勒公式或传统法求极限 及阶 1 判别准则 0 0 lim xx xfxf 必要 0 lim xx xf 0 lim xx xf 5 函数连续 性及判别 2 判别方法 首先看有无定义 无定义必间断 有定 义则按上述准则判别 第一类 左右极限都存在 3 间断点及类型 第二类 左右极限至少一个不存在 连 续 数 列 极 限 函 数 极 限函 数集 合 映射 一日一钱 千日一千 绳锯木断 水滴石穿 11 第二章第二章 导数与微分导数与微分 1 设连 续在 00 0 xxfxf 则 xf在 0 xx 处可导是 xf在 0 xx 可导的 条 件 分析 0 0 xf 表示了 xf在 0 xx 邻域内不会发生符号突变 因此可进行下一步分 析 两种情况 0 2 0 1 xf xf 则 0 0 xfxf xfxf xf 因此若 xf在 0 xx 处可导 0 0 lim 0 xx xfxf xx 存在 0 lim 0 lim 0 0 0 0 0 0 0 0 xf xx xfxf xx xfxf xx xf xx xfxf xx 存 在 存 在 所以 xf在 0 xx 处可导 xf在 0 xx 可导 此题中0 0 xf是关键 若 0 则可能发生变号 则 xf不可导 0 0 lim 0 xx xfxf xx 存 在不能推出 0 lim 0 xx xf xx 存在 2 设0 0 xf 则0 0 x f是 xf在 0 xx 可导的 条件 1 0 0 x f 0 0 lim 0 xx xfxf xx 0 0 lim 0 0 0 xx xfxf xx 0 lim 0 0 0 xx xfxf xx 则 xf在 0 xx 可导并且也为 0 因此0 0 x f可推得 xf在 0 xx 可导 2 xf在 0 xx 可导 则 0 0 lim 0 xx xfxf xx 0 0 lim 0 xx xfxf xx 所以可得 0 0 lim xx xf 0 0 lim xx xf 所以 0 lim xx xf 0 lim xx xf 0 即 0 lim 0 xx xf xx 0 所以 0 lim 0 0 0 xx xfxf xx 因此由 xf在 0 xx 可导可推得0 0 x f 评 由以上两题 分析了评 由以上两题 分析了 xf与与 xf在两种不同情况下的可导关系 在两种不同情况下的可导关系 一日一钱 千日一千 绳锯木断 水滴石穿 12 1 1 0 0 xf xf在在 0 xx 处可导处可导 xf在在 0 xx 可导可导 2 2 0 0 xf 0 0 x f xf在在 0 xx 可导可导 3 设 xxgxF x 在ax 连续但不可导 又 a g 存在 则0 ag是 xF 在ax 可导的 条件 分析 1 若0 ag 则 ax aagxxg ax l i m ax xxg ax lim lim x ax agxg ax aag 存在 即若 ag 0 则 xF在ax 可导 2 若 xF在ax 可导 则假设0 ag xg xF x 在ax 处可导 这与题 设条件矛盾 因此0 ag必定成立 所以答案为充要条件 评 设评 设 xg在在ax 可导 可导 x 在在ax 连续但不可导 则连续但不可导 则 xxgxF 在在ax 处处 0 0 aagag ag 且 导 数 为可 导 不 可 导 4 已知 yx yx y 求 y 解 方法一 y 3 22 2 2 1 1 yx yx yx yyxyxy 利用对右边直接求导 方法二 yx yx y 则yxyxy 两边对x求导 则 yyyxyy 1 1 即1 2 yyxy 所以 yx y y 2 1 3 22 2 yx yx 可以看到 方法二比方法一简便 这是在运算中 y 也参与进 来了 从而省去了一些中间步骤 简化了运算 5 设 673ln 2n yxxy求 分析 y是ln表达式 一种是左右都e次方 消去ln 但无规律性 第二种是将ln内容 展开成两个一次式实现降次 再利用公式代入求解 一日一钱 千日一千 绳锯木断 水滴石穿 13 解 23ln 13ln 23 13ln 673ln 2 xxxxxxy 则 n nn n n nnn x n x n xxy 13 1 3 1 23 1 2 23 ln 13 ln 1 6 讨论函数 x xtdt x x xx x xf 0 2 2 0 cos 1 0 1 0 cos1 2 在0 x处的连续性及可导性 分析 本题求连续性与可导性 可分别求 先连续后可导 不连续则一定不可导 因题中 函数方程已给出 所以亦可先判断可导性 再判别连续性 可导一定连续 事实上 本题 在0 x处可导 因此 xf在0 x处必连续 这里是不是有点打破我们平时的思维方式 7 设 xf在0 0 f内 有 一 阶 导 数 且 并存在 0 f 若 0 0 0 xf x x xf xF 求 x F 并证明 x F 在 内连续 分析 求 x F 即分为两种情况 用 定 义 法 都 可 导与可 用 公 式 法 求 解 0 0 x xxfx xF 判断 x F 在0 x处是否连续 即判断 0 0 lim x FxF 解 1 当0 x时 x F 2 x xfxxf 2 当0 x时 x F x F x xf x 0 lim 0 2 0 0 lim x f xxf x 洛 必 达 x fxf x2 0 lim 0 0 2 1 f 即 x F 0 0 2 1 0 2 xf x x xfxf x 显然 x F 在0 x处连续 分子与分母都连续 则欲证 x F 在 内连续 只要 证 x F 在0 x处连续 根据题意有 2 0 lim x xfxf x x 2 0 0 0 lim x f xxff xxf x x 一日一钱 千日一千 绳锯木断 水滴石穿 14 0 f 2 0 0 lim x f xxf x 洛 必 达 0 f x fxf x2 0 lim 0 0 f 0 2 1 f 0 2 1 f 因此 x F 在0 x处连续 综上 x F 在 内连续 评 此题是经典的判断可导 求导函数以及判断连续的题目 值得注意的是 在证明评 此题是经典的判断可导 求导函数以及判断连续的题目 值得注意的是 在证明 2 0 lim x xfxf x x 0 2 1 f 时 不能直接用洛必达法则 因为题中并未说明时 不能直接用洛必达法则 因为题中并未说明 x f 在在0 x 邻域可导 需用定义法 邻域可导 需用定义法 8 设 1ln 2 xy 则 0 5 y 分析 这里求出y的 5 阶导数再代入0 x计算是很困难的 注意利用 奇函数求导得偶函 数 偶函数求导奇函数 这个结论 因为y是偶函数 y求 5 次导后得奇函数 又因 为 5 阶导数连续 所以 0 5 y 0 13 年有出现奇函数求导得偶函数这个结论 9 设函数 xfy 是由方程06 223 xyyxy确定 求 xf的极值 解 方程两边对x求导 得02 23 222 xyyyxxyy 1 令0 y 得到0 y 舍去 不满足原始方程 或者xy2 将xy2 代入原始方程 解得2 1 yx 将 1两边对x继续求导 得 0222 23 2226 22 yxyyyyxxyyyxyxyyy 代入2 1 yx以及0 y 解得0 9 4 y 因此 xf在1 x取到极小值2 1 f 一日一钱 千日一千 绳锯木断 水滴石穿 15 第二章重难点及知识归纳第二章重难点及知识归纳 重难点 重难点 1 1 用定义及公式求导用定义及公式求导 2 2 复合函数求导 注意求到位复合函数求导 注意求到位 3 3 分段函数求导 定义公式相结合分段函数求导 定义公式相结合 4 4 导数导数应用应用 求解求解极值极值 最值最值等等 1 导数与微分的几何概念 导数是曲线在一点的切线的斜率 微分是函数 增量与自变量增量的线性表示 二者其实是等同 的 可 微可 导 连续不一定可导 仅为必要 条件 2 用公式求导数 用公式求导数前提是函数在区间上可导 初等函数一定 可以用公式法求导 另外利用定义求导数也很重要 3 基本公式 这里不做摘录 包括一些不常用的如 2 1 1 arccos x x 2 1 1 cot x xarc 这 些 无 非 和 对 应 的 a r c t a na r c s i n 多了个负号 1 求普通复合函数导数 4 复合函数 求导法 2 求反函数导数 1 xfdy dx xfyxfy 3 求参数方程给定的曲线导数 t t dx dy tx ty 则 4 求隐函数导数 y x xy F F yFF则求 出 直 接 求 5 分段函数求导 注意分界点 一般用定义法 非分界点一般用公式求 6 高阶 导数求法 阶 导 数 的 多 项 式 之 和有 理 化 成 已 知 分 解 法 将 复 杂 函 数 适 合 于 两 项 相 乘 莱 布 尼 茨 公 式 观 察 归 纳 法 求 出 n3 2 1 0 n k knkk n n n vuCy yyyy 7 求导奇偶性 偶求导得奇函数 奇求导得偶函数 当然前提是函数可导 8 极值 最值 极值的实质是0 00 xfxf 当0 0 x f且0 0 x f时 即能保证满足此条件 0 0 x f极大 反之极小 一日一钱 千日一千 绳锯木断 水滴石穿 16 第三章第三章 一元函数积分一元函数积分 注 n m dx即为符号 n m dx 规范写法为后者 这里用前者表示 1 设 xf在 ba上连续 在 ba上可导 且 1 bfdxxf ab b a 求证 在 ba内 至少存在一点 使得 f 0 分析 证明 f 0 的问题 一般都用罗尔定理来解决 应用罗尔定理的条件 xf在 1 闭 ba区间上连续 2 在 ba上可导 3 在端点处函数值相等 那么其实本题的关键 点就非常清楚了 找出 xf相等的两点 证 根据积分中值定理 在 ba上一定存在点 c 使得 abcfdxxf b a 即 b a cfdxxf ab 1 成立 与条件进行比较可知 cfbf 又 xf在 bc上连续 在 bc上可导 因此在 bc上必存在点 使得 f 0 评 积分中值定理的点在开区间 即此题的评 积分中值定理的点在开区间 即此题的 c c 属于属于 ba 这样就避免了 这样就避免了bc 的情况出现 的情况出现 2 设函数 21 2 10 2 xx xx xf 求 dxxf 解 求 dxxf 即求 xf的原函数 值得注意的是 dxxfxF 在1 x应连续 21 2 3 2 2 1 2 10 3 1 3 1 1 2 3 1 2 xxxdxx xxdxx xg x x 这样一个积分限设置可确保 xg在 1 x连续 则 xF xg c即为所求 其中c为任意常数 3 求不定积分dx xx tansin 1 一日一钱 千日一千 绳锯木断 水滴石穿 17 解 dx xx x dx xx cos1 sin cos tansin 1 dx x x 2 cos2 1 tan 1 2 2 tan tan 1x d x 2 tan 2 tan2 2 tan1 2 x d x x 2 tan 2 tan2 1x d x 2 tan 2 tan 2 1x d x c xx 2 tan 4 1 2 tanln 2 1 2 评 利用评 利用 cxxdxtansec2变换是常见的 变换是常见的 4 求不定积分dx x x 4 2 1 分析 此种题型 为去掉分子根号 利用txsec 其中 2 2 0 t 注意这里t的 取值范围不能属于 2 3 2 0 t 虽然x的取值范围在这个区间上也可以涵盖到 但 是在这区间上txsec 并不是单调的 注意变量替换两个条件 1 值域相同 2 单调 解 原式 dt tt t t t t cos 1 cos sin cos cos sin 4 dtt t t 2 2 sin cos cos xdtttsgnsin cos 2 符号函 数这里tcos符号和x符号是可以对应起来的 xtd tsgnsinsin 2 cxt sgnsin 3 1 3 用三角形画出tx和的关系 则 x x t 1 sin 2 则原积分 c x x 3 2 1 3 1 评 有根式参与运算并且其他项用三角式可简单表达是一定能够用三角代换求出的 过程评 有根式参与运算并且其他项用三角式可简单表达是一定能够用三角代换求出的 过程 中应注意中应注意dttdx 计算中碰到开绝对值的问题 不要怕 最后符号是一定不会带符 计算中碰到开绝对值的问题 不要怕 最后符号是一定不会带符 号函数的 号函数的 5 求不定积分 xdxx arccos arcsin 解 原不定积分 xxxdxxxarccos arcsinarccos arcsin dx x x x x xxxx 1 arcsin 1 arccos arccos arcsin 22 2 1arcsinarccosarccos arcsinxxdxxxx 一日一钱 千日一千 绳锯木断 水滴石穿 18 dx x xxxxxxx 2 22 1 1 2 11 arcsin arccosarccos arcsin cxxxxxxx 21 arcsin arccosarccos arcsin 2 评 碰到评 碰到xarcsin xarccos这种 首先应考虑到分部积分法得到有理分式 这种 首先应考虑到分部积分法得到有理分式 6 重要公式 1 为奇数 为偶数 n n n n n n n n n n xdxxdx nn 1 3 2 2 3 1 2 2 1 2 3 1 cossin 2 0 2 0 2 2 0 2 0 cos sin dxxfdxxf 证 2 0 2 0 2 cos sin dxxfdxxf 2 xt 0 2 cos dttfts 0 2 cos dssf 2 0 cos dxxf 这说明xsin xcos在 2 0 或同号 区间上有良好的对称性质 7 计算不定积分 dx x x J cos2 sin2 分析 思路一 分子分母并没有什么规律 且无法按常规展开 因此可用万能公式 2 tan1 2 tan2 sin 2x x x 2 tan1 2 tan1 cos 2 2 x x x 展开成关于 2 tan x 的多项式 再利用 2 tan x t 进 行有理化 思路二 恒等变形凑积分 需一定技巧 x xd dx x J cos2 2 cos cos2 2 cos2ln cos2 2 xdx x cos2ln 2 sec2 2 sec2 2 2 xdx x x cos2ln 2 tan 2 tan3 4 2 x x d x cos2ln 2 tan 3 2 tan 1 3 4 2 x x d x cx x cos2ln 3 2 tan arctan 3 4 一日一钱 千日一千 绳锯木断 水滴石穿 19 8 计算不定积分dx x x I 1 1 4 2 分析 思路一 将分式拆开降次 分母 1 4 x 12 12 22 xxxx 思路二 dx x x I 1 1 4 2 dx x x x 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 x x x xd 一般对称性好的式子往 往有简便方法的 9 求不定积分 nxdxmx cos sin 解 利用积化和差 将分式之积化为分式之和 则 nxdxmx cos sin xdxnmxnm sin sin 2 1 cxnm nm xnm nm cos 1 cos 1 2 1 评 和差化积 积化和差是最基本的三角分式化简工具 评 和差化积 积化和差是最基本的三角分式化简工具 cos cos 2 1 cos cos cos cos 2 1 sin sin sin sin 2 1 cos sin 积 化 和 差 2 sin 2 sin2coscos 2 cos 2 cos2coscos 2 cos 2 sin2cossin 和 差 化 积 其中在定积分中一般用积化和差 10 求不定积分 xdxx 52 sin cos 解 使用分解法及凑微分法 即 xdxxxdxxcos cos1 cossin cos 22252 xdxxxcos coscos21 cos 422 cxxx 75 cos 7 1 cos 5 2 cos 3 1 评 三角函数奇次方项总可以使用凑微分法 评 三角函数奇次方项总可以使用凑微分法 11 求定积分dxxa a a 22 一日一钱 千日一千 绳锯木断 水滴石穿 20 分析 解此题有两种思路 一种是三角代换打开根号 另外一种则是利用定积分的几何意义 此题几何意义不正是求方程方程为 222 ayx 的圆的上半部分的面 积吗 因此答案显然为 2 2 1 a 评 利用几何意义快速的求出积分是很常见的 常应用的平面图形有圆 椭圆 到后面也评 利用几何意义快速的求出积分是很常见的 常应用的平面图形有圆 椭圆 到后面也 应多注意几何意义的应用 例如重积分 对曲线和曲面积分 应多注意几何意义的应用 例如重积分 对曲线和曲面积分 12 求下列定积分 1 dx x xx I 0 2 cos1 sin 2 2 2 2 arctan sin dxexJ x 分析 拿到这种题目是不是很难的呢 三角和有理的结合 拆也拆不开 分部后同样是三角 和有理的结合 实际上 这两题有特定解法 解 1 令xb 则 cos1 sin 0 2 1 bd b bb II db b bbb 0 2 cos1 sinsin dx x xxx 0 2 cos1 sinsin 所以 1 II dx x x 0 2 cos1 sin xd x cos cos1 0 2 2 cosarctan 2 0 x 所以 1 II 4 2 2 记dxex x arctan sin 2 2 2 1 J中令xt 则 1 J dtet t arctan sin 2 2 2 dxex x arctan sin 2 2 2 则dxeexJJ xx arctan arctansin 2 2 2 21 dxx 2 2 2 sin 2 422 1 2 2 2 所以 8 2 21 JJ 其中 2 arctanarctan xx ee 即上图中 2 21 tt 一日一钱 千日一千 绳锯木断 水滴石穿 21 评 评 1 1 若 积 分 结 构 为 若 积 分 结 构 为 b dxxf 0 结 构 则 可 利 用结 构 则 可 利 用xbt 则 则 0 00 b bb dttbfdttbfdxxf若若 tftbf 可消去一些难积因子 则计算会可消去一些难积因子 则计算会 简便很多 简便很多 2 2 若积分结构为 若积分结构为 b b dxxf 则利用 则利用xt 变为 变为 b b dxxf 结构 若结构 若 xfxf 可可 消去一些难积因子 则计算简洁 消去一些难积因子 则计算简洁 这是利用一些简便方法计算积分值的例子 常用的方法还有 这是利用一些简便方法计算积分值的例子 常用的方法还有 一 利用几何性质 例如一 利用几何性质 例如 c c dxxc 22 2 2 1 c 二 利用奇偶性二 利用奇偶性 三 利用周期函数性质 三 利用周期函数性质 Tx x T dxxfdxxf 0 13 曲 率 已 知 抛 物 线cbxaxy 2 经 过 点P 1 2 且 在 该 点 与 圆 2 1 2 5 2 1 22 yx相切 有相同的曲率半径与凹凸性 求常数cba 解 根 据 题 意 有 baxy 2 ay2 圆 在 P 1 2 处 的 切 线 斜 率 y 0 2 1 2 2 1 2 yyx 代入 1 2 求得 y 1 即12 ba 又因为有相同的曲率半径 即 2 2 2 2 2 2 2 11 1 2 3 2 3 2 a a R y y 即 又因为抛物线与圆交于圆的下半部分 则可知凹凸性上抛物线也为凹形态 圆的下半部分为 凹形态 则可确定02 a 所以2 a 因为12 ba 所以3 b 又因为 cbxaxy 2 经过点 P 1 2 可解得3 c 评 曲率好几年没考了 应该好好掌握下的 评 曲率好几年没考了 应该好好掌握下的 14 设dxxM 2 0 sin sin dxxN 2 0 cos cos 试比较1 NM的大小 分析 要把 M N 值算出来是不可能的 至少在能力之外 题中 1 是一个重要提示 因 为xdx 2 0 sin xdx 2 0 cos 1 所以可以将被积函数与xx cos sin进行比较 一日一钱 千日一千 绳锯木断 水滴石穿 22 解 M 与 1 比较 因为在 2 0 上 xx sin 除 0 外 而xsin在 2 0 上为增函数 因此 M1 N 1 因为若因为若 N N 也小于也小于 1 1 那么 那么 M M N N 大小还要另行比较 题目难度就大大增加了 命大小还要另行比较 题目难度就大大增加了 命 题老师也会刻意避免的 题老师也会刻意避免的 15 求不定积分dx x xx 1 1 解 原不定积分 dx xx xxx 11 11 dx x xx 2 1 1 dx x x dx x x 22 2 11 其中dx x x 2 1 易求 则只需求dx x x 2 2 1 令 2 2 sin ttx 则 dx x x 2 2 1 dt t tt cos cos sin 2 dtt 2 cos1 dt t 2 2cos1 ctt 2sin 4 1 2 1 cx x x 2 1 2 arcsin 2 1 将上述结果和dx x x 2 1 结果合并即得最后结果 16 求不定积分dx xbxa xbxa cossin cossin 11 分析 此题求解绝对是繁琐的 而且xsin和xcos的关系也利用不好 因为 1 a 1 b a b 为任意常数 不具特定三角函数的化简性质 解 可联想到xbxacossin 11 cossin cossin xbxaBxbxaA 即xbxacossin 11 xBbxBaxAbxAasincoscossin 做到这里 你应该知道怎 一日一钱 千日一千 绳锯木断 水滴石穿 23 么做了 可解得 22 11 22 11 ba baab B ba bbaa A 则 略 17 求dx x xx 2 3 2 2 1 1ln 分析 题中 1ln 2 xx 是个易犯错点 已知 dx x21 1 cxx 2 1ln 千万不要 积分和求导搞混淆 解 设txtan 其中 2 2 t 则原不定积分 tdt t tt 2 3 sec sec secln tan tdtttcos secln tan tdttsin secln tan dt tt ttt tttt sectan sec tansec sin secln tan sin 2 cos sin secln tan sin dt t t ttt 18 计算定积分 0 0 cossin 0 2222 ba xbxa dx 解 0 2222 cossinxbxa dx 0 222 tan tan bxa xd 0 2 2 2 2 1tan tan x b a b xd 2 0 2 tan arctan 1 x b a a b b a b b 2 1 2 tanarctan x b a ab 因为 tanarctan x b a 在 2 x处无定义 而定积分除去有限个点不影响积分结果 19 计算定积分 0 0 3 adx xa x x a 其中 分析 思路一 将 xa x 根号拿掉 令 xa x t 但应注意前面还有个 3 x 那么这样 一做后被积函数较复杂 次数也较高 思路二 注意到题中积分限为a 0 且0 a 则可考虑用三角函数将根号打开 并且 3 x用三角代换后为简单三角式 一日一钱 千日一千 绳锯木断 水滴石穿 24 解 令tax 2 sin 因为ax 0 所以 2 0 t 则原定积分 tdtta ta ta tacossin2 cos sin sin 2 2 6 2 0 3 tdtta t t tacossin 2 cos sin sin 6 2 0 3 tdta 8 2 0 4 sin2 8 7 2 2 1 6 5 8 7 2 44 aa 20 计算定积分dx e xe x x 0 2 1 解法一 dx e xe x x 0 2 1 x e dx 1 1 0 1 1 1 1 0 0 adx ee x a x a x 11 0 adx e e e a a x x a 1ln 1 0 ae e a ax a 2ln aa 2ln 解法二 创造比x低阶的 x e 则 原式 dx e xe x x 0 2 1 x e dx 1 1 0 0 0 1 1 xx e dx e x dx e e x x 01 0 2ln 1ln 0 x e 此解法创造了比低 阶x的 x e 则在 不 会时 x e x x 21 假定所涉及的反常积分 广义积分 收敛 则有性质 dxxfdx x xf 1 此性质稍作了解即可 22 一些简单计算结论 dttdttdttdtt 2 0 2 2 0 2 0 2 0 2 cos2sin2cossin 23 求曲线taytax 33 sin cos 绕直线xy 旋转一周所得曲面的面积 分析 这里主要两个问题 1 旋转后的曲面方程是什么 2 已知曲面方程 怎样计算曲 面面积 解 首先画出曲线图形 则可知欲求曲线旋转后的面积 即 一日一钱 千日一千 绳锯木断 水滴石穿 25 求 2 倍的 4 3 4 t部分曲线旋转后的面积 下面求曲线上一点 sin cos 0 3 0 3 tata到 xy 的距离 复习完向量和空间解析几何后 我们知道求解点到直线距离的步骤 设有点 cbaA 直 线 3 0 2 0 1 0 l zz l yy l xx 直 线 上 一 点 000 zyxB 则 距 离 2 2 2 2 1 321 3 lll lllAB 注意取模符号里面是叉积哦 那么本题对任意一点 0 sin cos 33 tata 取xy 上一点 0 0 0 则距离 s 2 0 1 1 0 sin cos 33 tata 这里加上 Z 轴坐标 因为 公 式 是 适 合 空 间 的 所 以 dttytxsdS 2 22 所以dttttta tata S 2424 334 3 4 cossin9sincos9 2 cossin 2 2 dtttttacossin cos sin 2 3 4 4 3 4 332 再利用区间 4 3 2 2 4 和上对tcos的讨 论打开绝对值即可 24 下列函数中不存在定积分的是 A 0 0 0 2 1 x xe xf x B 0 0 0 sin x xx xf C 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2 xx xx xx xf D 0 0 0 1 sin x x dx x xd xf 分析 首先要知道函数可积 即定积分存在的两个条件是 分析 首先要知道函数可积 即定积分存在的两个条件是 1 1 xf在区域上连续在区域上连续 2 2 xf在区域上有界 并且最多有有限个间断点 可以看出在区域上有界 并且最多有有限个间断点 可以看出 条件 条件 1 1 比 比 2 2 是严格许多的 是严格许多的 那么 A 连续 B 有界 在0 x处间断但有界 C 肯定 2 011 0sincos 33 tata kji 4 3 4 2 cossin 33 t tata 一日一钱 千日一千 绳锯木断 水滴石穿 26 连续或有限个间断点 D 0 0 0 1 cos 1 sin 1 sin 1 1 cos 2 x x xxxxx xx xf D 中令 n x 1 则 nnn n f nn n 1 1 sin 1 lim 1 即在0 x处无界 所以 D 中 xf不可积 25 求 dx x x 6 4 1 1 解 6 1x 32 1x 1 1 242 xxx 所以dx x x x dx xxx xxx dx x x 6 2 2242 224 6 4 11 1 1 1 1 1 1 arctan 3 1 arctan 13 1 arctan 3 6 3 cxx x dx x 26 证明 1 sin 2 n dxx pn n 分析 证明此题关键是知道 n 1 是怎么来的 对于本题来说 这并不明显 证 pn n pn n pn n pn n x dx x x xd x dxx 2 1 cos 2 cos cos 2 1 sin 2 2 22 dx xpn pn n n dx x x pn pn n n n n n n p 2 22 2 2 p 22 2 1 2 cos 2 cos 2 1 cos 2 cos 2 cos 1 1 2 1 2 1 2 1 nxpnn pn n 结论得证 从此例还可看出 n lim 0sin 2 pn n dxx 一日一钱 千日一千 绳锯木断 水滴石穿 27 一元积分一元积分知识归纳及重难点知识归纳及重难点 重难点 重难点 1 1 定积分定义及其比较定积分定义及其比较 2 2 各种办法求定积分 各种办法求定积分 1313 年考察分部积分年考察分部积分 3 3 利 利 用定积分解决应用问题用定积分解决应用问题 1 一元函数积分 面积划分取极限模型 体现微元分析法思想 概念的引出 1 可加性质 b c c a b a dxxfdxxfdxxf 2 比较 a b b a b a dxxgdxxfxgxf则 2 基本定理 3 积分中值 设 xf在 ba上连续 则在 ba上存在点 使 得 abfdxxf b a 4 非负函数积分性质 3 一元函数可积条件 可积条件 连续 或 有界 最多有限个间断点 及原函数存在条件 原函数存在 连续 不存在间断点 奇偶性 奇偶性的运用可以大大简便计算 4 性质 1 若 xf以 T 为周期 xf全体原函数以 T 为周期充要条 件 0 0 T dxxf 周期性 2 x dttf 0 以 T 为周期充要条件 0 0 T dxxf 3 若 xf以 T 为周期 则 TTa a dxxfdxxf 0 一日一钱 千日一千 绳锯木断 水滴石穿 28 第一类换元 式子转化成变量 换元法 变量转化成式子 若求不定积 要 第二类换元 换回原变量 1 x nnn exPxxPxxP cos sin 目的是 xP n 降次最后只剩三角 分部积分法 2 xxPxxPxxP nnn arctan ln arcsin 目的 是有理化 5 积分计算方法 3 xexe xx cos sin 需要两次分部积分 1 有理化法 比如消去根式 其他 2 万能公式 2 2 2 1 1 cos 1 2 sin 2 tan t t x t t x x t 则令 万 能公式适用于次数不高加减带常数 单边无穷大 1 积分无穷限型 双边无穷大 0 0 dxxfdxxfdxxf 只有等式右边两个积分都收敛 才收敛 2 被积函数无穷型 找出间断点 进行去点运算 6 广义积分 变量替换 使积分限从无穷变为有穷 3 常用计算方法 直接计算 适合间断点测量被积函数原函数有限 1 微元分析法步骤 首先划分 确定积分上下限 再写出微元表达式 并求积分 多看例题 7 微元分析法 2 应用上 几何 求面积 体积 质心 形心等 物理上求功 求压 力等 为奇数 为偶数 n n n n n n n n n n xdxxdx nn 1 3 2 2 3 1 2 2 1 2 3 1 cossin 2 0 2 0 注意积分限 一日一钱 千日一千 绳锯木断 水滴石穿 29 第四章微分中值定理及应用第四章微分中值定理及应用 1 0在 0邻域二阶可导 0 0 且 1 3 1 1 则下面结论正确的是 A 0 是 的极小值 B 0 是 的极大值 分析 首先应知道 在 0处取得极值的充要条件 0 0