高考数学二轮复习精品资料 难点11 解析几何中的范围、定值和探索性问题学案（含解析）.doc

2014年高考数学二轮复习精品资料 难点11 解析几何中的范围、定值和探索性问题学案（含解析） 解析几何中的定点、定值，最值、范围及探索性问题主要以解答题形式考查，往往是试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，考查定点、定值、最值、范围问题或探索性问题，试题难度较大复习时不能把目标仅仅定位在知识的掌握上，要在解题方法、解题思想上深入下去解析几何中基本的解题方法是使用代数方程的方法研究直线、曲线的某些几何性质，代数方程是解题的桥梁，要掌握一些解方程(组)的方法，掌握一元二次方程的知识在解析几何中的应用，掌握使用韦达定理进行整体代入的解题方法；其次注意分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想等的应用，如解析几何中的最值问题往往需建立求解目标的函数，通过函数的最值研究几何中的最值下面对这些难点一一分析：难点一圆锥曲线中的定点、定值问题该类问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明难度较大定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值化解这类问题难点的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量 【典例分析】例一【山东省淄博市2014届高三上学期期末考试】已知动圆c与圆相外切，与圆相内切，设动圆圆心的轨迹为，且轨迹与轴右半轴的交点为（i）求轨迹的方程；()已知直线：与轨迹为相交于两点（不在轴上）若以为直径的圆过点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标例二【广东省广州市海珠区2014届高三上学期综合测试二】已知椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆相切.（1）求椭圆的方程；（2）如下图，、是椭圆的顶点，是椭圆上除顶点外的任意点，直线交轴于点，直线交于点，设的斜率为，的斜率为，求证：为定值.【解析】【方法总结】定值问题是解析几何中的一种常见问题，基本的求解思想是：先用变量表示所需证明的不变量，然后通过推导和已知条件，消去变量，得到定值，即解决定值问题首先是求解非定值问题，即变量问题，最后才是定值问题1求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值2定点的探索与证明问题：(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关【变式训练】【重庆八中2014届高三期末数学试题】已知椭圆的中心为原点，长轴长为，一条准线的方程为. （）求该椭圆的标准方程；（）射线与椭圆的交点为，过作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于 两点（两点异于）求证：直线的斜率为定值【解析】【辽宁省沈阳二中2014届高三上学期期中考试】在平面直角坐标系中，直线l与抛物线相交于不同的两点a，b.（i）如果直线l过抛物线的焦点，求的值；（ii）如果，证明直线l必过一定点，并求出该定点坐标【解析】难点二圆锥曲线中的最值、范围问题圆锥曲线中参数的范围及最值问题，由于其能很好地考查学生对数学知识的迁移、组合、融会的能力，有利于提高学生综合运用所学知识分析、解决问题的能力该类试题设计巧妙、命制新颖别致，常求特定量、特定式子的最值或范围常与函数解析式的求法、函数最值、不等式等知识交汇，成为近年高考热点解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系，根据目标函数和不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理。【典例分析】例三【陕西宝鸡市金台区2014届期末高三联考试题】设椭圆：的左、右焦点分别是、，下顶点为，线段的中点为（为坐标原点），如图.若抛物线：与轴的交点为，且经过、两点 （）求椭圆的方程；（）设，为抛物线上的一动点，过点作抛物线的切线交椭圆于、两点，求面积的最大值【解析】=,例四【黑龙江省佳木斯市第一中学20132014年度高三第三次调研试卷数学试卷】已知圆，若椭圆的右顶点为圆的圆心，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）若存在直线，使得直线与椭圆分别交于两点，与圆分别交于两点，点在线段上，且，求圆的半径的取值范围.【解析】【方法总结】这类问题在题目中往往没有给出不等关系，需要我们去寻找。求最值或范围常见的解法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求最值，求函数最值常用的方法有配方法、判别式法、导数法、基本不等式法及函数的单调性、有界性法等用这种方法求解圆锥曲线的最值与范围问题时，除了重视建立函数关系式这个关键点外，还要密切注意所建立的函数式中的变量是否有限制范围，这些限制范围恰好制约了最值的取得，因此在解题时要予以高度关注【变式训练】【江西省赣州市四所重点中学(赣州一中、平川中学、瑞金中学、赣州三中)2013-2014学年度第一学期期末联考高三数学试题】如图，设f(c, 0)是椭圆的左焦点，直线l：x与x轴交于p点，mn为椭圆的长轴，已知|mn|8，且|pm|2|mf|。 （）求椭圆的标准方程 （）过点p的直线m与椭圆相交于不同的两点a, b。证明：afmbfn；求abf面积的最大值。【解析】（）证明： 方法二：【湖北省部分重点高中2014届高三11月联考】已知圆o：，直线l：与椭圆c：相交于p、q两点，o为原点 （）若直线l过椭圆c的左焦点，且与圆o交于a、b两点，且，求直线l的方程；（）如图，若重心恰好在圆上，求m的取值范围【解析】即 ，即 难点三圆锥曲线中的探索性问题探索性问题主要考查学生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力，是命题者根据学科特点，将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的，要求学生自己观察、分析、创造性地运用所学知识和方法解决问题，它能很好地考查数学思维能力以及科学的探索精神。因此越来越受到高考命题者的青睐探索性问题实质上是探索结论的开放性问题。相对于其他的开放性问题来说，由于这类问题的结论较少（只有存在、不存在两个结论有时候需讨论），因此，思考途径较为单一，难度易于控制，受到各类考试命题者的青睐。解答这一类问题，往往从承认结论、变结论为条件出发，然后通过特例归纳，或由演绎推理证明其合理性。探索过程要充分挖掘已知条件，注意条件的完备性，不要忽略任何可能的因素。【典例分析】例五【湖北省部分重点中学2014届高三第一次联考数学】已知椭圆：（）的右焦点，右顶点,右准线且(1)求椭圆的标准方程；（2）动直线：与椭圆有且只有一个交点，且与右准线相交于点，试探究在平面直角坐标系内是否存在点，使得以为直径的圆恒过定点？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由【解析】 【方法总结】此类问题命题背景宽，涉及知识点多，综合性强，探究平分面积的线、平分线段的线，或探究等式成立的参数值常与距离、倾斜角、斜率及方程恒成立问题综合，形成知识的交汇化解探索性问题的方法：首先假设所探求的问题结论成立、存在等，在这个假设下进行推理论证，如果得到了一个合情合理的推理结果，就肯定假设，对问题做出正面回答，如果得到一个矛盾的结果，就否定假设，对问题作出反面回答在这个解题思路指导下解决探索性问题与解决具有明确结论的问题没有什么差别【变式训练】【山东省烟台市2014届高三上学期期末考试】