【2012考研必备资料】考研高等数学陈文灯数学提高班例.pdf

数学提高班例题 高等数学 Published by CruSH Studio 2001 9 1 2 0 1 2 考研必备资料 陈文灯数学提高班例题 Copyright by Pely Gan 2001 8 Email pely All Rights Reserved 第 1 页 共 20 页 第一讲 极限与连续 一概念定理公式 eg1 1设 f x g x 均连续且 00 lim lim 1 xx f xg x 令 2 00 xx F xf x dx G xt g xt dt 则当0 x 时 F xG x与是 A F x 比 G x 高阶的无穷小 B G x 比 F x 高阶的无穷小 C F x 比 G x 是等价无穷小 D F x 比 G x 同阶且非等价无穷小 例 1 2当 1 0 2sinsin2 2 xf xxxx 是 x 的几阶无穷小 例 1 3当0 x 时 2 1 21xaxbx 确定 ab 的值 例 1 4求 2 ln 23 x f x xx 的间断点并判断其类型 例 1 5设 32 00 sin6 6 limlim xx xxf xf x C xx 求 例 1 6求 1 0 lim3 n n x xdx 例 1 7求 222 12 lim 111 n n nnnnnn 例 1 8求 2 lim 1 2 nn n n x x 例 1 9求 2 limsin1 n n 1的极限的求法 例 1 10求 2 lim x ax b x a b x xaxb xab 例 1 111求 1 1 sin 0 1 lim x x x x e 1 型 2求 100 102 ln 10023 lim ln 32 x xx xx 型 例 1 12设 f x 为多项式 3 2 5 lim4lim3 xx f xxf x xx 二各类极限的求法 极限式中参数的确定 例 1 13 33 lim 1 0 x xx 求 陈文灯数学提高班例题 Copyright by Pely Gan 2001 8 Email pely All Rights Reserved 第 2 页 共 20 页 例 1 14设 3 0 sin lim 0 ln 1 xb x axx C C ft dt t 确定 abc 例 1 15 设 21 2 lim ab 1 n n n xaxb f xc x 出处处类型联系连续确定 与 的 值 x 为参数 未定式定值法法 0 0 型 例 1 16计算下列极限 3 00 arcsin1cos 1 lim 2 lim ln 1 cos 3 1 1 0 1 6 xx fxxx xxx f xxff 设在项的邻域内具有一阶连续导数 求 11 3 1 lim 1 xt x tf u du dt x 2 1 100 0 4 lim x x e x 例 1 17设 a b 为三维变量 1 3 bab 求 0 lim x axba x 型的方法与相似 型通过通分或分式有理化转换成 0 0 or 例 1 18求下列极限 22 2 0 11 1 lim cottan 2 lim ln 1 xx xxx xx 0 型转化成 0 0 or 例 1 19求下列极限 331 1 lim ln 12 ln 2 lim sinln 1 sinln 1 x xx xx xxx 00 0 0 1 0 0 or 例 1 20 求下列极限 ln 1 0 1 2 2 1 lim 1 cos 2 lim 1 x x x x xx 函数的极限 利用函数极限求下列极限 例 1 21 求下列极限 陈文灯数学提高班例题 Copyright by Pely Gan 2001 8 Email pely All Rights Reserved 第 3 页 共 20 页 2 1 lim 0 0 0 3 1 2 lim sin nnn n n n n abc abc n n 利用单增单减有上界下界数列必有极限定理求极限 例 1 22 设 1 1 1 1 1 1 n n n x xx x 求lim n n x n 项和当n 的极限 例 1 23 求下列极限 2222 2222 2222 12 1111 1 lim 1 1 11212312 1111 2 lim 123 1231 3 lim 333 4 lim 11 1 2 n n n n nnn n n nnnnn nnnnn nnnn n nn n n 项乘积当n 时的极限 例 1 24求下列极限 242 222 22 222 1lim 1 1 1 1 111 2 lim 111 23 1 3 521 3 lim 2 4 62 12 4 lim111 n n n n n xxxx n n n n nnn 1 当 x时 第二讲 导数与微分 基本概念 例 2 1 设 f x 在 X0处可导则 陈文灯数学提高班例题 Copyright by Pely Gan 2001 8 Email pely All Rights Reserved 第 4 页 共 20 页 00 0 00 0 00 0 f3f 1 lim ff5 2 lim f2f4 3 lim x x x xxx x xxx x xxxx x 例 2 2 设 f x 连续且 1 f lim3 1 x x x 求 f 1 例 2 3 2 1 cos 0 f 0Ff F 0 f 0 x xx xxxxx xx 设在处可导令求 例 2 4求下列导数 1 f 1 2 100 f 1 1 2 f f 0 1 xx xxx x xx x 求 求 例 2 5 f 1 0 1 cos f 0limf 0 x x x xx e 设在处可导且 1求 例2 6设fx在 0 内 有 定 义 f 1 0 a a 且 对 于 0 x yf xyyf xxf yf x 有求概念性很强可能考 例 2 7 设 f x 在0 x 的邻域内有连续的导数 令 1 sin F xf xx 则 0 0f 是 F x 在 x0 处可导的 A充分非必要条件 B必要而非充分 C充分必要 D既非充分也非必要 例 2 8设 F x 在 内有定义且 1 2 f xf x 当 0 x1 时 2 1 f xxx 问 f x 在 x0 处可导吗 例 2 9设 yf x 三阶可导且 0fx 用 fxfxfx 表示 yf x 的反函数 xy 的三阶导数 y 二各类函数导数的求法 例 2 10设 2 23 sin dydy yx d xd x 求 例 2 11设 2 0 21 arctan 21 x x yffxxy x 求 例 2 12求下列导数 陈文灯数学提高班例题 Copyright by Pely Gan 2001 8 Email pely All Rights Reserved 第 5 页 共 20 页 0 1 0 0 1 2 3 x x F xf x dyF x F xf xt dtF x F xt f xt dtF x Fx 求 求 求 例 2 13设有方程 2 2 2 0 2tan sec x y dy d y xxytdt dx dx 求 例 2 14设 y Zxy x 由方程 22 1xy 确定 y 为 x 的函数求 dZ dx 例 2 15设 3 xxxx yxxey 求 例 2 16设 2 2 2 2 2 0 cos sin t u xt dy d y dx dx yu e du 求 例 2 17设 4 2 0 2 1 1 2 1 22 t n n n y xdy udy d y dx dxnt yt 求 例 2 18设 f x 连续且 1 0 0 2 0 lim2 00 sin 0 x f xt dtx f x F xxF x x x x x 令求 例 2 19设 2 1 1 lim 1 x x x x n x eaxb f x e 处处可导确定常数 a 和 b 例 2 20设 cos 0 0 g xx x f xx ax g 0 1g x 具有二阶连续导数求 a 为何值时f x 连续 求 fx 讨论 fx 的连续性 三高阶导数 例 2 21求 3 2 23 x y xx 的 n 阶导数n2 例 2 22设 sin cos2 cos3 n yxxxy 求 陈文灯数学提高班例题 Copyright by Pely Gan 2001 8 Email pely All Rights Reserved 第 6 页 共 20 页 第三讲 不定积分 一基本概念和重要公式 二第一换元积分法凑微法 例 3 1求下列积分 222223 2 ln 1 ln11arctansin2 1 ln 2 3 4 11 1 cossin 1 xxxxx dxdxdxdx xxxxaxbxxx 例 3 2计算 2 3 f xfx fx Idx fxfx 例 3 3求下列积分 5 542 111 ln1 1 2 3 4 1 1 ln 1 x xxx dxdxdxdx xxxxxxe 三第二换元积分法 例 3 4求下列积分 2222 4 222 1 1 2 3 axxa dxdxdx xx xxa 四分部积分法 例 3 5求下列积分 222 1 231 2 cos3 x xxedxxxdx 例 3 6求下列积分 2 2 2 arctan 1 arctan 2 arcsin 3 1 x x xe xdxxdxdx xe 例 3 7求下列积分 22 2 3 22 ln 1 1 sin ln 2 3 1 2 x xxxx e x dxdxdx xx 例 3 8计算 12 1 ln 1 2 1 2 xx xxdx xx 五有理函数积分 例 3 9设积分 2 32 1 axbxc dx xx 为有理函数是确定 abc 的关系 例 3 10求下列积分 21131 1008422 324 1 2 3 2 23 1 n n xxxx dxdxdx xxxx 六简单无理函数积分 例 3 11求下列积分 陈文灯数学提高班例题 Copyright by Pely Gan 2001 8 Email pely All Rights Reserved 第 7 页 共 20 页 3 1 11 1 2 3 11111 x xx dxdxdx xxxxx 7三角有理函数的积分 例 3 12求下列积分 1 sinsin1sin 1 2 3 4 1 cos1 cos1 sincos1 sin x xxxx d dxdxdx xxxxx 例 3 13求下列积分1的活用 3 1 1 1 sin 2 sincos xdxdx xx 第四讲 中值定理 一连续函数在闭区间上的性质 例 4 1 1设 f x 在 a b 上连续且 f x 0 证明存在一个 a b 使得 1 2 bb aa f x dxf x dxf x dx 例 4 1 2设 f x 在内连续且 limlim0 xx f xf x xx 证明存在一个 0f 使得 例 4 1 3设 f x 在内连续且 f f xx 证明至少存在一个 000 xf xx 使得 例 4 1 4设 f x 在 a b 上连续 12 0 1 2 n axxxbCiin 证明存在一个 a b 使得 1122 12 nn n C f xC f xC f x f CCC 例 4 1 5设 12 n a aa 这些实数满足关系式 1 32 1 1 0 3521 n n aaa a n 证明方程 12 coscos3cos 21 0 0 2 n axaxanx 在内存在一个实根 二微分中值定理 例 4 2 1设 f x 在 0 1 上二阶可导 0 1 fffxA 证明 2 A fx 在 0 2 内满足拉氏定理 陈文灯数学提高班例题 Copyright by Pely Gan 2001 8 Email pely All Rights Reserved 第 8 页 共 20 页 题型 2 0 n f 的证明 例 4 2 3设 f x 在 0 2 上连续在 0 2 内二阶可导且 3 2 1 0 1 2 ffff x dx 证明存在一个 0 2 0f 使 例 4 2 4设 f x 在 a b 上可导且 0fafb 证明 b ff a 例 4 2 6设 f x 在 0 1 上连续在 0 1 内可导 0 0f 当 0 1 0 xf x 证明对于一切自然数 n存在一个 1 0 1 1 ff ff 使得n 例 4 2 7设 f x 在 0 1 上连续且 12 00 f x dxxf x dx 证明存在一个 0 1 0f x dx 0 使得 例 4 2 8设 f x 在 0 1 上连续在 0 1 内可导且 21 3 1 0 1 x fef x dx 证明存在 0 1 2 ff 使 例 4 2 9设 f x 在 a b 上连续在 a b 内可导 证明存在一个 bf baf a a bff ba 使 题型 4命题 a b 使得关于 的关系式成立使用两次拉氏或两次柯西 或一次柯西一次拉氏 例 4 2 10设 f x 在 a b 上连续在 a b 内可导又 1f af b 证明 1eff 使得 例 4 2 11设 f x 在 a b 上连续在 a b 内可导又 0fx 证明 ba fee a be fba 使得 陈文灯数学提高班例题 Copyright by Pely Gan 2001 8 Email pely All Rights Reserved 第 9 页 共 20 页 第五讲 定积分 性质及其应用 估值 例 5 1设 0 1 f x 在上连续 0 3 0 1 fx y 且当都是时有 f xf yxy 有 对 1 0 f x dx 进行估值 证明不等式 例 5 2设 1 f x 在 内连续且单减 证明 1 11 1 1 n nn k f x dxf kff x dx 例 5 3证明 111 ln 1 11ln 23 nn n 证明 22 2 3 aabb a b 一个使 例 5 6计算 0 1 sin2 n Ixdx 定积分的计算 利用牛莱公式 例 5 7计算 4 1 1 1 Idx x x 定积分的换元法 例 5 8求下列积分 1 2 2200 1ln 1 1 2 1 a x dx x xax 分部积分法 例 5 9求下列积分 13 2 00 ln 1 1 2 arcsin 2 1 xx dxdx xx 特殊类型的定积分的计算 分段函数的定积分计算 例 5 10设 ln 1 1 1 1 x xx f x x e 求 0 x F xf t dt 陈文灯数学提高班例题 Copyright by Pely Gan 2001 8 Email pely All Rights Reserved 第 10 页 共 20 页 例 5 11设 1 0 1 0 x x f xx ex 计算 3 1 2 If xdx 含有绝对值符号的定积分计算先求零点 例 5 12求下列积分 41 2 1 51 1 ln 2 23 3 1 e x e x dxxxdxxy e dxy 证明 2 1 bb aa f x dxdxba f x 告 知 被 积 函 数 f xa b在上 连 续在 a b 内 可 导又 知 0 or 0f af b or 0f af b 有关命题的证明 例 5 5 4设 f x 在 a b 上连续在 a b 内可导又 0 f afxM 证明 2 1 2 b a f x dxbaM 例 5 5 5设 f x 在 a b 上不恒为 0 fxa b在上连续 0f af b 证明存在一个 a b 使得 2 1 b a ff x dx ba 例 5 5 6设 f x 在 a b 上连续在 a b 内可导又 0f a 证明 2 22 2 bb aa ba fx dxfx dx 利用台劳公式证明不等式 陈文灯数学提高班例题 Copyright by Pely Gan 2001 8 Email pely All Rights Reserved 第 12 页 共 20 页 例 5 5 7设 f x 处处二阶可导且 0fx u t 处处连续0a 证明 00 11 aa f u t dtfu t dt aa 六广义积分 例 5 6 1讨论广义积分 x Ixe dx 的敛散性收敛时求其和 例 5 6 2计算 13 1 1 xx Idx ee 例 5 6 3计算 2 22 1 11 ln 1 Idx xxx 第六讲 一元函数微积分的应用 一函数增减性的判别 例 6 1设 f x 在 0 a 上连续 0 0f 在 0 a 内可导且 fx 单增令 f x F x x 证明 F x 在 0 a 内单增 例 6 2求 1 1 1 x f xdt t 的单减区间 0 x 例 6 3证明当1x 时 22 1 ln 1 xxx 二函数的极值与最值 例 6 4设 f x 在0 x 的邻域内连续且 0 0f 又 0 lim2 1 cos x f x x 则 f x 在0 x 处 是 A 不可导 B 可导但 0 0f C 极大值 D 极小值 例 6 5设有方程 2 17 3 4 0f xx f xx 求 f x 的极值 例 6 6在抛物线 2 4xy 上求一点使之到 y 轴上一定点 0 Pb 的距离最小 三图形的凹凸性及拐点 例 6 7设函数 x 在 a a 上连续且 0 x 令 a a f xxtt dt 判别 f x 在 a a 上的凹凸性 例 6 8求函数 3 1yf xxx 的拐点 四渐近线 例 6 9设 1 2 2 23 1 arctan x xxe yf x xx 求其渐近线 陈文灯数学提高班例题 Copyright by Pely Gan 2001 8 Email pely All Rights Reserved 第 13 页 共 20 页 例 6 11设实数 01 n a aa 满足关系式 1 0 0 21 n aa a n 证明方程 2 022 0 0 1 n n aa xa xa x 在内有一个实根 例 6 12研究方程 0 ln1 cos2 x xxdx e 的根的个数 例 6 13设函数 f xa 在上连续在 0afxk 内k 为常数且 0f a 且求 例 7 8设 3 223 z u uf xyzx y z fxyz x y z 求 例 7 9设 f x 二阶可导L 为平面上任一光滑的闭曲线且 2 0 L xy xyf x y dxfxx y dy 求 f x 二不等式证明 利用微分中值定理证明 例 7 2 1设 22 11 0arctanarctan 11 a baba ba 时 例 7 2 4证明当 1ln 1 01 1arcsin xx x xx 时 利用函数的极值或最值证明 例 7 2 6x 证明 22 1ln 1 1xxxx 例 7 2 7证明当 2 024 ln240 xxxxx 时 利用台劳公式证明不等式 例 7 2 8设 fxa b在上存在 0fafb 证明 2 a bf f af b b a 4 一个使 第八讲 常微分方程 陈文灯数学提高班例题 Copyright by Pely Gan 2001 8 Email pely All Rights Reserved 第 15 页 共 20 页 一一阶微分方程 可分离变量方程 例 8 1解下列方程 1 sin 0 2 ln 1 0 dy xxxyxyyxy dx 齐次方程 dyy dxx 例 8 2解下列方程 1 1 0 2 arctan1 x y yy eydxyx dyy xx 一阶线性微分方程 例 8 3解下列方程 2 1 2 1 1 1 1 2 tan 3 cos2 nx x xynyxxeyyy yxy 贝努里方程 例 8 4解方程 3 4 yyyx x 全微分方程 例 8 5解下列方程 22 22 34 23 1 23 21 0 2 0 y xyx xexdxx eyydydxdy yy 二可降阶的二阶方程 三高阶线性微分方程 例 8 6解下列方程 2 22 11 1 sin 2 3 ln 2 y yyxyyyyyy xy 例 8 7设 123 y xyxy x 是如下方程 12 1 yP x yP x yf x 的三个线性无关解 12 c c 为两个任意常数则方程的通解为 A 11223 c y xc yxy x B 1122123 c y xc yxccy x C 1122123 1 c y xc yxccy x D 1122123 1 c y xc yxccy x 例 8 8设 0q x 例 8 11解方程 2 3 lnx yxysyxx 第九讲 多元函数微分学 一概念定理 例 9 1求 332 0 0 32 lim x y xyx yxy xy 二各类函数偏导数的求法 显函数的偏导数 例 9 2 例 9 3 例 9 4设 2222 xyzxyf z 其中 f 可微求 xy xzyz 例 9 5设 f x y zk为 次齐次函数即 k f tx ty tzt f x y z 求 fff xyz xyz 例 9 6设 22 sin zf xyxyf 具有连续的二阶导数求 22 2 zz xx y 例 9 7设通过变换 2uxy vxay 将方程 2222 22 600 zzzz xx yyu v 变为确定常数a 二阶偏导连续 隐函数微分法 例 9 8设有方程 0 xy zz F xyxzyz yx 求 例 9 9设 2 yf x tt 由方程 2 0F xy t 确定为 x y的函数求 dy dx 三偏导数在几何中的应用填空 四多元函数的极值 例 9 10设 2 4 zf x yx yxy 6 Dxyxy 为由直线及 轴轴围成的封闭区域求 z 在 D 上的极值 例 9 11在抛物线 2 yx 上求一点使其到直线4yx 的距离最短 例 9 12 求两球面 222222 1622224xyzxyzxyz 与的交线的最高点与最低点 例 9 13设0 0 0 xyz 求函数 222 ln2ln2ln6uxyzyzR 2 在球面x上的最大 陈文灯数学提高班例题 Copyright by Pely Gan 2001 8 Email pely All Rights Reserved 第 17 页 共 20 页 值并由此证明对任意0 0 0abc 有 236 108 6 abc ab c 第十讲 重积分 一二重积分的几何意义及其性质 例 10 1计算下列积分不考虑变量替换 22 22222222 22 1 2 DD xy xy dD xyadD xya ab 例 10 2计算 0 sin 0 D xm Ixy dD y 二二重积分计算 例 10 3 例 10 4极坐标系下的累次积分 cos 2 00 Idf Md 在直角坐标系为 A 2 11 00 y dyf x y dx B 1 00 y dyf x y dx C 2 1 00 x x dxf x y dy D 1 00 x dxf x y dx 例 10 5更换下列积分次序 2 1 122 2 111 02 224 1 2 0 yyaax yax x Idyf x y dxdyf x y dxIdxf x y dya 例 10 6计算下列积分 1242 012 sin 1 0 0 2 sin ln22 ba x xx xxxx dxabIdydxdxdy xyy 例 10 7 例 10 8 例 10 9求两锥面 2222 2zxyzxy 公共部分的体积并求形体表面积 例 10 10计算 2 1 02 D x Iyx dxdyD y 例 10 11设 f x 连续 222 22 0 xytt F tf xydxdy 求 0 0 FF 第十一讲 无穷级数 例 11 1判别下列级数的敛散性收敛时求其值 1 1 2 1 1 n nnn 陈文灯数学提高班例题 Copyright by Pely Gan 2001 8 Email pely All Rights Reserved 第 18 页 共 20 页 例 11 2求 2 lim n n n n n 二数项级数 例 11 3判别下列级数的敛散性 1 111 1 32 0 111 2 21 1 2 2 3 1 cos ln1 4 5 6 11 n n n nnn n n nnn n nn nx dx px n 例 11 4判别级数的敛散性 2 1 sin1 n n 例 11 5设1 则级数 1 1 1 x n n n n e dx x A 发散 B 条件收敛 C 绝对收敛 D 敛散性与 有关 例 11 6讨论级数 2 sin nn n 的敛散性 例 11 7设恒有 nnn abc 上连续求对于 0 xa 有 1 0 x nn fxfx dx 证明无穷级数 n fx 在 0 a 上绝对收敛 例 11 9设序列 1 n na 收敛 1 1 nn n n aa 收敛求证 1 n n a 收敛 三幂级数 例 11 10求收敛域 11 1 21 1 2 1 n x nn xx nxn 例 11 11求下列级数的收敛域收敛半径 1 111 2 1 1 2 3 32 21 nn n nn nnn xnx x nnn 四将一个函数展成幂级数 例 11 12将下列函数在指定点处展成幂级数 2 2 21 1 22 1 1 arctanln 10 1 2 2 23 3 1 1 21 2 n n n n f xxxxx f xx xx x f xx n 在处 在处 在处 陈文灯数学提高班例题 Copyright by Pely Gan 2001 8 Email pely All Rights Reserved 第 19 页 共 20 页 求级数的和 求幂级数的和函数 例 11 13求和函数 1 11 11 1 2 1 2 2 nn n nn n x nn 例 11 14求 21 11 3 5 21 n n x n 的和函数 数项级数求和 例 11 15求 2 1 1 2n n nn 的和 第十二讲 曲线曲面积分 例 12 1求下列积分 22 2222222 1 2 34 1 43 LL xy xydlL xyaxydlL 例 12 2 例 12 3计算 2 2 22 2 44A 1 0 B 0 2 4 L x y IxydxdyLxy xy 从到 例 12 4计算 222 1 L xy Ixy dxxz dyzydzL xya ah 与平面的交线 0 0ah 从 x轴正向看去 L 为逆时针方向 例 12 5计算 222 L Ixyz dxyxz dyzxy dz cos sin 2 xat Lyat h zt 沿螺旋线从 a 0 0 到 a 0 h a b 0 例 12 6计算 2 22 22 2 2ln L y Idxxyxaxdy ax 22 22 1 0 xy LA a ab 沿上半圆弧从到B a 0 例 12 7 计算 22 sin2 cos3 x L Ieyx dxeyydy 是通过 1 2 3 0 2 2 ABC 三点的 圆弧从 A 到 C 陈文灯数学提高班例题 Copyright by Pely Gan 2001 8 Email pely All Rights Reserved 第 20 页 共 20 页 例 12 8计算 22222222 2 2 2 L yyxx Idxdy xyxyxyxy 例 12 4 1计算曲面积分 436 1 342 xyz Ixyz ds 例 12 4 2计算 2222 Ixydszxy 锥面1z 与平面所围成的形体的表面 例 12 4 3求 1 Ixdydzydzdxdxdy 1xyz 法线指向原点 例 12 4 4计算 2 Iydydzxdzdxz dxdy 22 1 2zxyzz 锥面被平面所截平面的下侧 例 12 4 5计算 222 Ix dydzy dzdxz dxdy 2222 xaybzcR 的 外侧 例 12 4 6 计算 2 42 1 Ixzdydzyzdzdxzdxdy 平面曲线 0 0 y ze Lya x 绕 z 轴旋转所得旋转面取下侧 例 12 4 7计算 2 z e Idxdy xy 锥面 22 zxy 与平面1 2zz 所围成图形的 表面的外侧 例12 4 8设 f x y z连 续计 算 2 Ixf dydzyf dzdxzf dxdy 1xyz 在第四象限部分取上侧 ChenWenDeng Key Table 答案 第 1 页 共 4 页 1 1 D 1 2 3 1 3 1 1 2 ab 1 4 1 4 1 5 36 1 6 0 1 7 1 2 1 8 分情况讨论0 x1 时1 1x2 时x x2 时 x x 2 1 9 0 1 10 a b e 1 11 1 2 e 10 1 12 令 32 54f xxxaxb 32 543f xxxx 1 13 1 1 14 1 0 1 2abc 1 15 分段讨论1 0ab 1 16 1 1 2 3 1 4 0 12 1 17 1 18 2 3 1 2 1 19 3ln2 1 20 1 1 21 3 1 2 abc 1 22 15 2 1 23 1 2 0 54 1 2 1 3 1 4 25 x dx 1 24 1 2 0ln 1 11 1 2 3 0 4 12 xdx e x 2 1 000 1 3 2 5 3 2 fxfxfx 2 2 3 2 3 0 2 4 99 2 5 0 2 6 lnf xaxx 2 7 C 2 8 不可导 2 9 2 5 3 fxfxfx y fx 2 10 2 2 23 2 cos cos 3 dydyx x d xd xx 2 11 2 12 2 0 11 1 2 3 x fxf u duf xf x xx 2 13 23 sin 2sin cos yxyyxyxy 2 14 2 11 x yyx xxy 未化简完 2 15 2 16 4 2 2 t dyd y e dxdx 2 17 8 t 4 2 18 0 22 2 1 0 1 sin2cos0 10 x f u dux x F xxxx x x 2 19 a 2 b 1 2 20 2 21 11 271 2 3 1 44 n yxxx 2 22 3 1 2 2 3 2 2 1 2 arctan 1 2 3 ln 1 ln 4 3 xC x xxC ChenWenDeng Key Table 答案 第 2 页 共 4 页 3 2 2 1 2 f x C fx 3 3 ln x C x 3 4 322 2 2222 11 1 1 2 3 1 3 aa CC axax 3 5 22 2 1 1 421 4 122 2 sin3cos3sin3 3927 x Ixxe IxxxxxC 3 6 22 11 1 arctanln 1 arctan 22 2 3 xxxxC