高考数学三轮专项模拟试卷 理（数列推理与证明）（含解析）新人教A版(1).doc

数列、推理与证明本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟第卷一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2013黄冈模拟)集合my|ylg(x21)，xr，集合nx|4x4，xr，则mn等于()a0，)b0,1)c(1，) d(0,1【解析】由x211知lg(x21)0，所以my|y0，由4x4知x1，所以nx|x1，所以mnx|x1，故选c.【答案】c2如果命题“綈(pq)”是真命题， 则()a命题p、q均为假命题b命题p、q均为真命题c命题p、q中至少有一个是真命题d命题p、q中至多有一个是真命题【解析】命题“綈(pq)”是真命题，则命题“pq”是假命题，则命题p、q中至多有一个是真命题，故选d.【答案】d3(2013宁波模拟)等差数列an中，已知a112，s130，使得an0的最小正整数n为()a7b8c9d10【解析】由s130得a1a132a70，所以a70，又a112，故n8时，an0.【答案】b4(2013课标全国卷)等比数列an的前n项和为sn，已知s3a210a1，a59，则a1()a. b c. d【解析】设公比为q，s3a210a1，a59，解得a1，故选c.【答案】c5下列函数中与函数y3|x|奇偶性相同且在(，0)上单调性也相同的是()ay bylog2|x|cy1x2 dyx31【解析】函数y3|x|是偶函数且在(，0)是增函数，故选c.【答案】c6(2013大纲全国卷)已知数列an满足3an1an0，a2，则an的前10项和等于()a6(1310) b.(1310)c3(1310) d3(1310)【解析】由3an1an0，得，故数列an是公比q的等比数列又a2，可得a14.所以s103(1310). 【答案】c7已知向量a、b的夹角为120，且|a|b|4，那么b(2ab)的值为()a48 b32 c1 d0【解析】b(2ab)2abb2244cos 120420.【答案】d8已知f(x)log2，则fff的值为()a1 b2 c2 013 d2 014【解析】对任意0x1，可得f(x)f(1x).设sfff则sfff于是2sff2 0132，所以s1.【答案】a第卷二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中横线上)9已知角的终边与单位圆交于点，则sin 2的值为_【解析】由已知得sin ，cos ，所以sin 22sin cos 2.【答案】10(2013昆明模拟)已知数列an中a11，a22，当整数n1时，sn1sn12(sns1)都成立，则s15等于_【解析】由sn1sn12(sns1)得，(sn1sn)(snsn1)2s12，即an1an2(n2)，数列an从第二项起构成等差数列，s151246828211.【答案】21111(2013东城模拟)在数列an中，已知a12，a27，an2等于anan1(nn*)的个位数，则a2 013的值是_【解析】a1a22714，所以a34,4728，所以a48,4832，所以a52,2816，所以a66，a72，a82，a94，a108，a112，所以从第三项起，an成周期排列，周期数为6,2 01333563，所以a2 013a34.【答案】412由直线y2与函数y2cos2(0x2)的图象围成的封闭图形的面积为_【解析】y2cos2cos x1，则所求面积为sdx(xsin x)|2.【答案】213(2013潍坊模拟)在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，若acos bbcos acsin c，b2c2a2bc，则角b_.【解析】由b2c2a2bc得cos a，所以a30.由acos bbcos acsin c得sin acos bcos asin bsin2c，即sin(ab)sin2c，所以sin csin2c.因为0c180，所以sin c1，即c90，所以b60.【答案】6014(2013淄博模拟)如图1，一个类似杨辉三角的数阵，请写出第n(n2)行的第2个数为_图1【解析】由已知得第n(n2)行的第2个数为33572(n2)13n22n3.【答案】n22n315(2013孝感模拟)现有一根n节的竹竿，自上而下每节的长度依次构成等差数列，最上面一节长为10 cm，最下面的三节长度之和为114 cm，第6节的长度是首节与末节长度的等比中项，则n_.【解析】设对应的数列为an，公差为d(d0)由题意知a110，anan1an2114，aa1an，由anan1an2114得3an1114，解得an138，(a15d)2a1(an1d)，即(105d)210(38d)，解得d2，所以an1a1(n2)d38，即102(n2)38，解得n16.【答案】16三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(本小题满分12分)(2013安徽高考)设数列an满足a12，a2a48，且对任意nn*，函数f(x)xan1cos xan2sin x满足f0.(1)求数列an的通项公式；(2)若bn2，求数列bn的前n项和sn.【解】(1)由题设可得f(x)anan1an2an1sin xan2cos x.对任意nn*，f()anan1an2an10，即an1anan2an1，故an为等差数列由a12，a2a48解得an的公差d1，所以an21(n1)n1.(2)由bn222n2知，snb1b2bn2n2n23n1.17(本小题满分12分)(2013佛山模拟)在平面直角坐标系xoy中，以ox为始边，角的终边与单位圆o的交点b在第一象限，已知a(1,3)(1)若oaob，求tan 的值；(2)若b点横坐标为，求saob.【解】(1)由题可知：a(1,3)，b(cos ，sin )，(1,3)，(cos ，sin )，由oaob，得0，cos 3sin 0，tan .(2)cos ，sin ，即b，(1,3)，|oa|，|ob|1，得cosaob，sinaob，则saob|ao|bo|sinaob1.18(本小题满分12分)(2013青岛模拟)已知数列an满足a11，a1a2an1an1(n2且nn*)(1)求数列an的通项公式an；(2)令dn1loga(a0，a1)，记数列dn的前n项和为sn，若恒为一个与n无关的常数，试求常数a和.【解】(1)由题知a1a2an1an1，所以a1a2anan11.由得：an12an0，即2(n2)，当n2时，a1a21，因为a11，所以a22，2，所以，数列an是首项为1，公比为2的等比数列故an2n1(nn*)(2)因为an2n1，所以dn1loga12nloga2.因为dn1dn2loga2，所以dn是以d112loga2为首项，以2loga2为公差的等差数列，所以(4)nloga2(2)(1loga2)0，因为恒为一个与n无关的常数，所以解得4，a.19(本小题满分13分)某工厂为扩大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加，第1年的维护费用是4万元，从第2年到第7年，每年的维护费用均比上年增加2万元，从第8年开始，每年的维护费用比上年增加25%.(1)设第n年该生产线的维护费用为an，求an的表达式(2)设该生产线前n年的维护费用为sn，求sn.【解】(1)由题意知，当n7时，数列an是首项为4，公差为2的等差数列，故an4(n1)22n2.当n8时，数列an从a7开始构成首项为a727216，公比为125%的等比数列，则此时an16n7，所以an(2)当1n7时，sn4n2n23n，当n8时，由s770，得sn701680n710，所以该生产线前n年的维护费用为sn20(本小题满分13分)(2013天津模拟)已知数列an的前n项和为sn，且sn2an2(nn*)，数列bn满足b11，且点p(bn，bn1)(nn*)在直线yx2上(1)求数列an，bn的通项公式(2)求数列anbn的前n项和dn.(3)设cnansin2bncos2(nn*)，求数列cn的前2n项和t2n.【解】(1)当n1时，a12，当n2时，ansnsn12an2an1，所以an2an1(n2)，所以an是等比数列，公比为2，首项a12，所以an2n，又点p(bn，bn1)(nn*)在直线yx2上，所以bn1bn2，所以bn是等差数列，公差为2，首项b11，所以bn2n1.(2)由(1)知anbn(2n1)2n，所以dn121322523724(2n3)2n1(2n1)2n，2dn122323524725(2n3)2n(2n1)2n1.得dn12122222322422n(2n1)2n122(2n1)2n1(32n)2n16，则dn(2n3)2n16.(3)cnt2n(a1a3a2n1)(b2b4b2n)22322n137(4n1)2n2n.21(本小题满分13分)(2013杭州模拟)已知数列an的前n项和snann12(nn*)，数列bn满足bn2nan.(1)求证数列bn是等差数列，并求数列an的通项公式(2)设数列的前n项和为tn，证明：nn*且n3时，tn.(3)设数列cn满足an(cn3n)(1)n1n(为非零常数，nn*)，问是否存在整数，使得对任意nn*，都有cn1cn.【解】(1)在snann12中，令n1，可得s1a112a1，即a1，当n2时，sn1an1n22，所以ansnsn1anan1n1，所以2anan1n1，即2nan2n1an11.因为bn2nan，所以bnbn11，即当n2时，bnbn11.又b12a11，所以数列bn是首项和公差均为1的等差数列于是bn1(n1)1n2nan，所以an(nn*)(2)由(1)得cnan(n1)n，所以tn23243(n1)n，tn223344(n1)n1.由得tn123n(n1)n11(n1)n1，所以tn3，tn3，于是确定tn与的大小关系等价于比较2n与2n1的大小，由2211；22221；23231；24241；25251；可猜想当n3时，2n2n1，证明如下：方法一：当n3时，对上式验算显示成立假设当nk时成立，则nk1(k2)时，2k122k2(2k1)4k22(k1)1(2k1)2(k1)1，所以当nk1时猜想也成立综合可知，对一切n3的正整数，都有2n2n1.方