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特征函数（Characteristic Function）的性质12. .3. 若Y=aX+b, 其中a和b为常数，则 4 若X的l阶矩存在，则.注意求导和期望可交换的条件.可利用特征函数求随机变量的各阶矩. 5. 特征函数具有一致连续性. .取则 对任意实数t，和有所以，特征函数是一致连续的.引理：狄利克雷积分证明：以下证明.。Th 4.1.3(逆转定理) 设F(x)和分别为随机变量X的分布函数和特征函数，则对F的任意两个连续点x1x2，有证明：记 则 .不妨设x1x2, 则若x1和x2 是F(x)的连续点，则定理得证.Th （唯一性定理）分布函数有特征函数唯一确定。证明：将分布函数的连续点集记为，设是的特征函数.当时，由反演公式令在中趋于，则有对，由唯一确定。当时，可令在中单调减的趋于，由的右连续性可知，由唯一确定。Th. 若特征函数绝对可积，即则其对应的分布函数为连续型，且密度函数为 证明：对，令，根据反演公式有由定理条件可知，单调减的趋于0，而根据的右连续性可知，故有亦即处处连续。对，根据反演公式得令得到；所以，二多元特征函数若n维随机变量的分布函数为，则定义其特征函数为其中，也称为是随机向量的联合特征函数.Th1. 由随机向量的联合特征函数可求出任意个子向量的边缘特征函数.例如性质：反演公式Th2. 随机变量X和Y相互独立的充要条件为三n元正态分布随机向量定义1. 设则其联合密度为EX=0,cov(X)=In密度函数又可写成称之为标准n元正态分布。Def 如果A是阶非奇异阵，是n维实向量，而随机变量X服从n元标准正态分布，则将随机变量所服从的分布成为n元正态分布. 易证：.记用记号表示Y服从参数是的正态分布.TH, n元正态分布的概率密度为.Th. n元正态分布的特征函数为证明：首先，对服从标准多元正态分布的随机向量X,其特征函数为根据多元正态分布的定义，存在矩阵A，使得，故所求特征函数为Th. 元正态分布 的任一维的边缘分布都是元正态分布，其中. 证明： 的特征函数可以通过在X的特征函数中令得到.又根据，得到另外，还可以证明多元正态分布的各种形式的条件分布还是正态分布.Th 设，则它们相互独立的充要条件是它们两两互不相关.证明：必要性是显然的.下证充分性.若两两互不相关，则即，所以由多元特征函数的性质可知相互独立.Th 对于n维正态
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