第6章 自旋和全同粒.doc

第6章 自旋与全同粒子非相对论量子力学在解释许多实验现象上获得了成功，如原子的能级结构，谱线频率，谱线强度等，但进一步的实验事实发现，还有许多现象留待进一步解释，如光谱线在磁场中的分裂，光谱线的精细结构。这说明微观粒子还有一些特性有待我们去认识，即电子存在自旋角动量，在非相对论量子力学中，自旋是作为一个新的附加量子数引入的，是根据电子具有自旋的实验事实,在薛定谔方程中硬加上的。在相对论量子力学中，电子自旋像电荷一样，自然地包含在相对论的波动方程：狄拉克方程中。6.1 电子自旋的实验根据及自旋的特点一实验事实1斯特恩(stern)革拉赫（Gerlach）实验：现象：K射出的处于S态的氢原子束通过狭缝BB和不均匀磁场，最后射到照相片PP上，实验结果是照片上出现两条分立线。解释：氢原子具有磁矩， 设沿Z方向 如在空间可取任何方向，应连续变化，照片上应是一连续带，但实验结果只有两条, 说明是空间量子化的，只有两个取向，对S 态 ,没轨道角动量，所以原子所具有的磁矩是电子固有磁矩。即自旋磁矩。2碱原子光谱的双线结构如钠原子光谱中一条很亮的黄线，如用分辨本领较高的光谱仪进行观测，发现它是由很靠近的两条谱线组成3反常塞曼(Zeeman)效应1912年，Passhen 和 Back发现反常Zeeman效应在弱磁场中原子光谱线的复杂分裂（分裂成偶条数）。二乌伦贝克(Uhlenbeck)和哥德斯密脱(Goudsmit)的自旋假设1每个电子具有自旋角动量S，它在空间任何方向上的投影只能取两个值2每个电子具有自旋磁矩，它和自旋角动量S的关系是为玻尔磁子 这个比值称为电子自旋的回转磁比率. 轨道运动的回转磁比率是三电子自旋的特点乌伦贝克最初提出的电子自旋概念具有机械的性质，认为与地球绕太阳的运动相似，电子一方面绕原子核运动;一方面又有自转。但把电子的自转看成机械的自转是错误的。设想电子为均匀分布的电荷小球，若要它的磁矩达到一个玻尔磁子，则其表面旋转速度将超过光速，这是不正确的。电子自旋及相应的磁矩是电子本身的内禀属性。特点：1电子具有自旋角动量这一特点纯粹是量子特性，它不可能用经典力学来解释。它是电子的本身的内禀属性，标志了电子还有一个新自由度。2电子自旋与其它力学量的根本区别为，一般力学量可表示为坐标和动量的函数，自旋角动量与电子坐标和动量无关，不能表示为，它是电子内部状态的表征，是一个新的自由度。3电子自旋值是， 而不是的整数倍。4， 而两者在差一倍。自旋角动量也具有其它角动量的共性，即满足同样的对易关系6.2 电子的自旋算符和自旋函数一自旋角动量算符 在空间任意方向上的投影只能取值（由实验所得假设）本征值都是, 叫自旋量子数引入一新算符,由相加定义反对易重要关系式二自旋函数与泡利矩阵考虑到电子具有一新的自由度：自旋角动量，电子的波函数是（自旋向上）， 位置在r处的几率密度.是（自旋向下）, 位置在r处的几率密度.自旋向上的几率,自旋向下的几率. 归一化条件自旋算符应是矩阵,是厄密算符设为实数,由取泡利矩阵这是在表象中的表示，在表象中，本征函数,当自旋和轨道运动之间无相互作用，即电子的自旋不影响轨道运动。和对的依赖关系是一样的。叫自旋函数， 自旋算符仅对波函数中的有作用。 自旋与轨道运动无相互作用自旋算符为矩阵， 自旋算符任一函数也是矩阵算符在态中对自旋平均为：对坐标的自旋同时平均6.3 简单塞曼效应 氢原子或类氢原子处于均匀的磁场中，设外磁场足够大，（自旋与轨道相互作用忽略）由于自旋的存在而产生的能级分裂现象。取沿方向体系定态薛定谔方程 或无磁场时，对氢对碱金属有外磁场时：取 即仍是两方程的解。时同样时原来不同而能量相同的简并现象被外磁场消除，能级与有关。当原子处于态，原来的能级分裂为两个，正如斯特恩革拉赫实验中所观测到的。由选择定则简单塞曼效应：在强磁场作用下，原来没有外磁场时的一条谱线分裂为三条。复杂塞曼效应：外磁场弱时，需考虑电子自能与轨道相互作用，能级分裂更复杂。6.4 两个角动量的耦合一角动量的对易关系粒子既有轨道角动量又有自旋角动量，他们之间会存在耦合。设为体系的的两个角动量算符相互独立.分量都对易体系的总角动量证明：即同样有还有注意:二无耦合表象和耦合表象相互对易,它们有共同的本征矢组成正交归一的完全系，以这些本征矢作基矢的表象称为无耦合表象。另一方面, 也相互对易,他们有共同本征矢以为基矢的表象称为耦合表象，两表象之间的关系:克来布希高登(Clebsch-Gordon)系数三总角动量的取值范围1的最大值 :最大值为最大值为最大值为又2的最小值对,给定. :个取值对,给定:个取值,固定有个是各种的线性叠加确定时，的数目也是，对应不同的 对一个，有个值：。的数目可以表示为 利用等差级数求和公式 又代入方程6.5 光谱的精细结构由于自旋与轨道角动量的耦合，使原来简并的能级分裂成几条差别很小的能级，这就产生了光谱线精细结构。1不考虑自旋时，无外场本征函数，本征值度简并2考虑自旋的存在，但不考虑轨道角动量与自旋角动量耦合相互对易，它们有共同的本征函数， 即考虑自旋后，电子的波函数由四个量子数确定。只与有关，有两个取值， 这时能级是度简并 引入总角动量算符:相互对易，它们的共同本征函数3考虑自旋和轨道运动之间的耦合相互作用量：.无共同本征函数，即的本征函数，不再是的本征函数，这时: 如何描述由于存在耦合项,电子态不能用量子数描写，或者设现在不是好量子数，不是守恒量。又:即有共同的本征函数是守恒的好量子数，的能量本征函数怎么表示 将看成微扰， 用简并情况下的微扰理论求 求出为的本征值在耦合表象中是对角化的上式 即，在耦合表象中是对角化的，对角元即为能量一级修正 自旋轨道间的耦合使原来简并的能级分裂开只与有关，度简并 考虑一级修正后，与有关，度简并给定后，即具有相同的量子数的能级有两个，它们之间的差别很小。6.6 全同粒子的特性一全同粒子质量，电子，自旋等固有性质完全的微观粒子为全同粒子。所以电子都是全同粒子，所以质子都是全同粒子。在经典力学中，全同粒子是可以区分的，因为粒子在运动过程中，都有自己确定的位置和轨道，经典粒子有不可入性。在量子力学中，和每个粒子相联系的总有一个波，波在传播中总会出现重叠，在重叠部分，无法区分哪是第一个粒子，哪是第二个粒子。二全同性原理：量子力学的一个基本假设两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变。即全同粒子的不可区分性。三全同粒子系统的特性1全同粒子体系的哈密顿算符具有交换对称性。设一由个全同粒子组成的体系，表示第个粒子的坐标和自旋。体系的哈密顿量为则:2全同粒子的波函数有确定的交换对称性交换算符表示将第个粒子和第个粒子相互交换由薛定谔方程：将交换算符作用于薛定谔方程即：即若是薛定谔方程的解，则也是薛定谔方程解。由全同性原理，与应描写同一状态，因而它们之间只相差一常数因子,是守恒量，本征值为对称函数反对称函数描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或反对称的，它们的对称性不随时间改变。 证设时刻体系波函数是对称的，因为对称在时刻也对称；由,在时刻也对称,在下一时刻波函数为，也是对称函数。以此类推，在以后任何时刻波函数都是对称的。同样如果在某一时刻波函数是反对称的，以后任何时刻波函数都是反对称的。3玻色子和费米子实验证明，由电子，质子，中子这些自旋为的粒子以及自旋为的奇数倍的粒子组成的全同粒子体系的波函数是反对称的，这类粒子服从费米(Fermi) 狄拉克(Dirac) 统计，称为费米子，由光子（自旋为） 以及其它自旋为零，或整数倍的粒子所组成的全同粒子体系的波函数是对称的，这类粒子服从玻色(Bose)爱因斯坦统计，称为玻色子。6.7 全同粒子体系的波函数一两个全同粒子体系的波函数无相互作用时与形式是相同的设分别表示的本征值和本征函数设，为的本征函数即同样也是能量本征值为的本征函数，这叫交换简并。是不是全同粒子的波函数？如对称函数如不对称为此我们构成对称的或反对称的函数，它应是的组合对称函数：反对称函数：都是的本征函数，本征值为如是归一化的波函数即同样因此归一化的对称，反对称的波函数为 二N个全同粒子的体系粒子间无相互作用，设本征值为的的本征函数为, 则设 无相互作用的全同粒子所组成的体系的哈密顿算符，其本征函数等于各单粒子哈密顿算符的本征函数之积，本征能量等于各粒子本征能量之和。这样，解多粒子体系薛定谔方程的问题，就归结为解单粒子薛定谔方程：对玻色子组成的全同粒子体系，体系波函数是对称的P表示N 个粒子在波函数中的某一种排列是处于态的粒子数，对费米子组成的全同粒子体系，体系的波函数是反对称的三泡利不相容原理对费米子组成的全同粒子体系，如有两个单粒子态相同，比如第i个粒子和第 j个粒子处于同一态。 又应是反对称函数必有从行列式看，两个单粒子态相同，就是行列式中两行相同，行列式为零。这表示不能有两个或两个以上费米子处于同一状态，这就是泡利不相容原理。注意：泡利不相容原理不是什么新的原理。它实质上是全同性原理的体现，是全同费米子体系具有交换反对称性的必然推论，全同性原理比泡利原理广泛得多，它不仅适用费米子，而且适用于玻色子。四自旋的影响考虑到粒子的自旋，体系波函数可写成坐标与自旋函数之积，对费米子，例：设有三个全同粒子，可以用指标表示三个不同单粒子态，写出全同粒子对应的对称态波函数和反对称态函数。解 反对称 6.8 两个电子的自旋函数如无自旋时相互作用，对称函数不能构成其它独立的对称或反对称自旋函数，定义总的自旋角动量 下面求的本征值同理 同样 两个粒子的自旋平行，分量沿正Z方向。两个粒子的自旋平行，分量沿反Z方向。两个粒子的自旋Z分量相互反平行, 垂直Z轴分量平行。两个粒子的自旋反平行，总自旋为零。第六章小结一自旋1自旋的引入 电子的自旋是在实验事实的基础上以假设方式提出的。 实验事实： 原子的精细结构 塞曼效应 斯特恩盖拉赫实验 假设：（任意方向）2自旋特性内禀属性 量子特性，不能表示为 满足角动量的一般对易关系，3自旋算符与泡利算符 自旋算符的对易关系， 泡利算符对易关系4电子自旋态矢量与泡利矩阵共同本征函数, 在表象中(泡利表象） 可表示为矩阵： 在泡利表象，任一自旋态为 既有自旋运动又有电子空间运动，自旋与轨道无相互作用5两个电子体系的自旋函数,二两个角动量的耦合 两独立角动量: 总角动量: 总角动量的基本关系: 即它们可构成共同本征矢 以为基矢的表象叫耦合表象也相互对易,构成完备基 以为基矢的表象叫无耦合表象 二种表象的关系 -克来布希高登系数三碱金属原子光谱的精细结构，塞曼效应 碱金属原子光谱的精细结构：由于自旋与轨道角动量的存在，而产生耦合，在无外场的情况下，原来一个能级分裂成一组不同j值的能级。不考虑自旋与动量耦合度度 （考虑自旋） 简单塞曼效应：在强磁场中（不考虑自旋与轨道角动量耦合），由于自旋的存在而产生的能级分裂现象。若在弱磁场中，需考虑自旋与角动量的耦合，分裂比较复杂,称为复杂塞曼效应。四全同粒子1什么是全同粒子？（质量，电荷，自旋等）相同的微观粒子两大类: 费米子 ，玻色子2全同性原理：两个粒子的相互代换不引起物理状态的改变全,同粒子在重叠区的不可分性。3由全同性原理推出的一些基本结果:全同粒子体系的哈密顿量对任意两个粒子的互换不变。全同粒子体系的物理状态对于两个粒子互换不变，即:全同粒子体系的状态波函数不因二粒子互换而变。, 全同粒子体系的状态波函数只能是对称波函数或反对称波函数，费米子组成的全同粒子体系由反对称波函数描述，玻色子组成的体系由对称波函数描述。 全同性原理是一个假设，但它得出的结果与实验相符，从而作为量子力学的一条基本原理而保留。它说明，全同粒子的状态波函数不仅要满足薛定谔方程，而且要满足一定对称性。4全同粒子体系状态波函数的构成 对称波函数： 反对称波函数：5泡利不相容原理不能有两个或两个以上的费米子处于同一状态，它是全同性原理的自然推论。第六章例题1有关泡利矩阵的一些关系的证明（注意应用一些已知结论）(1).;(2).;(3).;(4).设则，.【证】（1）.(2).(3). (4).2证明： 并利用此结论求本征值【证】设的本征函数为则又,3设为常数，证明【证】 将展开成的幂级数，有，为偶数；为奇数上式4求自旋角动量在任意方向（方位角为）的投影的本征值及本征矢（在表象），【解】 在表象中，在表象中的矩阵表示为设的本征值为，相应本征矢为，本征方程为解久期方程，将代入本征方程由归一化条件对应的本征矢为同样：对应的本征矢为通过本题讨论我们发现，的本征值为，自旋算符在任意方向上的分量的本征值也是。也进一步推广，对任一种角动量算符，如有的本征值为，的本征值为则在任意方向上的分量的本征值的可能值也为。5有一个定域电子（不考虑轨道运动）受均匀磁场作用，磁场指向正方向，磁作用势为，设时电子的自旋向上，即求时的平均值。解 设自旋函数在表象中 体系的哈密顿算符可表示为则自旋态所满足的薛定谔方程为 同理 又， 自旋 再由 即 6在自旋态中，求【解】同理7已知电子的态函数为 其中已归一化，求（1）.同时