2012年海文重点题型班讲义铁军(视频班).doc

2012年北京万学海文考研数学真题难题及重点题型班考研辅导讲义 主讲 铁军 教授铁军教授简介：著名考研数学辅导专家，近几年在北京、南京、天津、沈阳、武汉、广州、上海、厦门等各大城市声名鹊起，成为与王式安、李永乐齐名的考研数学辅导“三驾马车”之一。铁军教授从事考研数学辅导工作以来，以其高屋建瓴、大气磅礴、睿智幽默的风格，对考点、重点、难点全面、深刻、透彻的把握，关爱学生、高度负责的态度以及对考题的精准预测，令考生受益无穷。特别是铁军老师的数学全程保过班，更是以无与伦比的连续性、系统性和考生的数学成绩大面积高分而受到广大莘莘学子的爱戴！ 2009年，考研竞争空前激烈！我们邀请铁军老师亲临海文面授，为您考研成功指点迷津，保驾护航。大师风范，品质感人！2009年，我们将与您携手并肩，您的理想将在您我的共同努力下实现。这是我们的信心，也将是您的信心！因为我们的自信，让您更加自信！八大题型二十八难题讲解 【题型一、函数的各种性态】【例1】（2004数3、4）函数在下列哪个区间内有界.(A) (-1 , 0).(B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3). A 【详解】当x 0 , 1 , 2时，f (x)连续，而，所以，函数f (x)在(-1 , 0)内有界，故选(A).【评注】（1）（函数有界性的定义）设函数在数集X上有定义，若存在正数M，使得对于每一个，都有 成立，称在X上有界，否则，即这样的M不存在，称在X上无界。（2）（有界性定理） 闭区间a,b上的连续函数必在a,b上有界。（3）若函数f (x)在开区间(a , b)内连续，且极限与存在，则函数f (x)在开区间(a , b)内有界.【证明】补充函数f (x)在区间端点处的定义如下：令， ，则f (x)在区间左端点处右连续，在区间右端点处左连续，又由已知f (x)在开区间(a , b)内连续，所以，函数f (x)在闭区间a , b上连续。由闭区间上连续函数的有界性定理知，必在a,b上有界，故存在正数M，使得对于每一个，都有 成立，从而对上述的正数M，当时，都有 成立，即函数f (x)在开区间(a , b)内有界.（4）若函数f (x)在开区间内连续，且极限与存在，则函数f (x)在开区间内有界.（5）若函数f (x)在开区间内连续，且极限与存在，则函数f (x)在开区间(a , b)内有界.【例2】函数在下列（ ）区间内有界。（A） （B） （C） （D）【详解】当时，连续，而，。所以，函数在内有界，故选（A）。【例3】设，判断在是否有界，并说明理由。【详解】注意到 ，因此 于是，时，又时，所以， ，这说明在上是有界的。 ，这说明在上是有界的。又有定义，从而，在有界。【题型二、函数的导数与极限】【例4】（2004数2）已知函数，且满足 求【详解】根据型极限计算公式。由题设等式可得由【评注】由于无连续条件，在求极限中如果使用洛必达法则，将无法得到结果。【例5】求函数极限：，其中在二阶可导且【详解】显然，这是型极限解法一： 用泰勒公式 在有二阶泰勒公式，代入得解法二：先用等价无穷小因子替换后再用洛必达法则注意，利用等价无穷小因子替换得解法三： 直接用洛必达法则 =【题型三、中值定理的相关证明题】【例6】（2005数1、2）已知函数f(x)在0，1上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明：（I）存在 使得；（II）存在两个不同的点，使得【详解】 （I） 令，则F(x)在0，1上连续，且F(0)=-10,于是由介值定理知，存在存在 使得，即.（II） 在和上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点，使得，于是 【评注】（1）中值定理的证明问题是历年出题频率最高的部分，而将中值定理与介值定理或积分中值定理结合起来命题又是最常见的命题形式. （2）反复多次综合应用中值定理证明问题，特别是拉格朗日中值定理和柯西中值定理相结合的题型非常重要。（3）证明在内存在，满足某种关系式的命题的程序： 在欲证的等式中，将和分离开来，即把包含的函数和包含的函数分别放在等式的两端. 选择等式的一端应用一次中值定理或介值定理得到，再对等式的另一端应用一次中值定理或介值定理得到.（4）证明在内存在，且满足某种关系式的命题： 关键是通过零点定理、介值定理或其他条件，找出符合题意的分界点，将区间分成两个不相交的部分区间. 在和上分别应用中值定理进行证明即可.【例7】若在上连续，在内可导，且.证明：（1）至少存在一点，使 .（2）在内必存在，使 .【证明】（1）设 ，则在上连续，且 ， 所以，根据闭区间上的零点定理知，至少存在一点，使 ，即 . （2）在和上分别应用拉格朗日中值定理，得 至少存在一点，使 ； 至少存在一点，使 .因此有 .【例8】设在上连续，在内二阶可导， .证明：（1） 在内至少存在一点，使得；（2） 在内至少存在一点，且，使得.【证明】（1）由于在上连续，可知在上连续，由积分中值定理可知存在，使 ，从而 . 注意必能在内取得，否则或，从而得知 或，与题设矛盾. 设，则由题设可知在及上满足罗尔定理，因此必定存在，使得 ，.因此结论成立.（3） 设，则在上满足罗尔定理，可知必定存在，使得 ，因此结论成立.【例9】（2001数1）设y=f(x)在（-1，1）内具有二阶连续导数，且，求证：（1）对于（-1，1）内任一点，存在唯一的成立。（2）【详解】（1）对任由拉格朗日中值定理，得 （1） （2）首先由导数定义来证明 .证法如下：由于即证。本题也可由泰勒公式来证明：因为 （2）介于0与x之间，所以由式（1）得 （3）将（1）代入（3）得 即 两端同乘取极限， 。【评注】在拉格朗日中值公式和 其中 中，中值的唯一性要由导数的严格单调性来确定，中值的极限可由导数的定义或泰勒公式求得。【例10】设函数在内有阶连续导数，且 且 当时， . 证明：.【证明】利用泰勒公式与拉格朗日中值定理可证。 ， .由题设条件知， . （1）又知 ， （2）由（1）、（2）两式可得 （3）仿（1）式可得， . （4）将（4）式代入（3）式，注意到 ，可得 .因此 ， ， 从而 .【例11】（1999数2）设函数f(x)在-1，1上具有三阶连续导数，且f(-1)=0,f(1)=1,证明在（-1，1）内至少存在一点.【证明】函数f(x)在x=0点二阶泰勒公式为，其中介于0与x之间。将x=-1代入且由知，其中.将x=1代入泰勒公式得，.两式相减得.由的连续性，在上有最大值、最小值，不妨设，则有，由连续函数的介值定理知，至少存在一点使 .【评注】泰勒公式是沟通函数及其高阶导数之间的桥梁，是应用高阶导数的局部性质研究函数整体性态的重要工具。解题程序如下： （1）解题时，一旦决定应用泰勒公式，首先要选择一点，将函数f(x)在点处展开成泰勒公式。一般题设中会提示一些特殊的点作为泰勒公式的展开点，通常取为函数值为零的点、导数值为零的点、区间中点、函数的极值点或题设中给出的其他特殊的点。 （2）然后将区间端点和分别代入泰勒展开式，把得到的两个展开式相加或相减。如果欲证等式，则再应用介值定理即可证明；如果欲证不等式，则继续取绝对值放大、缩小即可证明。【例12】证明：若函数在上连续，在内二阶连续可导，则至少存在一点，使得.【证明】由题设，在点处的一阶泰勒公式为 ，其中介于与之间.分别取得 ，其中介于0与之间.，其中介于与1之间.两式相加并对在上应用介值定理得 ，其中 ，即 .【例13】设在的某邻域内具有三阶连续导数且，又设在的一阶泰勒展开式为 ，其中介于与之间。求极限 .【详解】因为在的某邻域内具有三阶连续导数，所以在处有二阶泰勒展开式： 其中介于与之间。 将在的一阶泰勒展开式与二阶泰勒展开式相减得 ，即 ，. 令，两端取极限得 ， 则 . 由题设，故 .【题型四、导数的应用】【例14】（2005数3）设,下列命题中正确的是(A) f(0)是极大值，是极小值. （B） f(0)是极小值，是极大值.（C）f(0)是极大值，也是极大值. (D) f(0)是极小值，也是极小值. B 【详解】 ，显然 ，又 ，且，故f(0)是极小值，是极大值，应选(B).【例15】设。讨论f(0)是否为极值，是极大值还是极小值。【详解】 。当当当.故当，x=0为极大值点，f(0)为极大值。【例15】设函数对一切，满足方程 （1）若在点处取得极值，证明它必是极小值； （2）若在点处取得极值，则是极大值还是极小值？【详解】（1）由已知，可导且在点处取得极值， 所以由极值的必要条件知， . 将，代入原方程，得. 故当时，；当时，也有. 因此，当时，必是极小值。 （2）因为在点处可导且取得极值，所以由极值的必要条件知， . 又存在，故连续。 于是，由原方程得 由于 ，所以由极限的保号性定理知，在的某个邻域内，单调递增。而，故当时，；当时，。因此是极小值.【题型五、定积分证明题】【例16】（2003数2）设函数f(x)在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，且 若极限存在，证明：(1) 在(a,b)内f(x)0;(2) 在(a,b)内存在点，使 ；(3) 在(a,b) 内存在与(2)中相异的点，使 【分析】 (1) 由存在知，f(a)=0, 利用单调性即可证明f(x)0. (2) 要证的结论显含f(a),f(b)，应将要证的结论写为拉格朗日中值定理或柯西中值定理的形式进行证明. (3) 注意利用(2)的结论证明即可.【详解】 (1) 因为存在，故 又，于是f(x)在(a,b)内单调增加，故 (2) 设F(x)=, 则，故满足柯西中值定理的条件，于是在(a,b)内存在点，使 ，即 .(3) 因，在上应用拉格朗日中值定理，知在内存在一点，使，从而由(2) 的结论得 ，即有 【评注】 证明(3)，关键是用（2）的结论： （ 根据(2) 结论 ） ，可见对f(x)在区间上应用拉格朗日中值定理即可.【例17】设函数f(x)在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，且 若极限存在，证明：(3) 在(a,b)内f(x)0;(4) 在(a,b)内存在点，使 (为正整数)；(3) 在(a,b) 内存在与(2)中相异的点，使 【详解】 (1) 因为存在，故 又，于是f(x)在(a,b)内单调增加，故 (2) 设F(x)=, 则，故满足柯西中值定理的条件，于是在(a,b)内存在点，使 ，即 .(3) 因，在上应用拉格朗日中值定理，知在内存在一点，使，从而由(2) 的结论得 ，即有 【例18】（2001数2）设上具有二阶连续导数，（1）写出的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；（2）证明在上至少存在一点【详解】（1）对任意，其中（2）由的连续性，可设上的最大、最小值，因此有即由介值定理，至少存在一点即【例19】设具有二阶导数，且，函数在区间上连续.证明：【详解】由泰勒公式有 ，其中 由条件，可知总有 . 令 ，则 将上式两端从到求定积分，可得 . 因此，【例20】设在上连续，在内二阶可导， .求证：（1）在内至少存在一点，使得；（2） 在内至少存在一点，使得.【详解】（1）由积分中值定理可知，存在，使得 从而 设，则在上连续，在内可导，且 由罗尔定理可知存在，使得 ， 而 ，因此有 ，.（3） 设，则在上连续，在内可导，且由（1）知，.由罗尔定理可知至少存在一点，使得 .而 ，因此在内至少存在一点，使得.【例21】设二阶连续可导.证明至少存在一点，使 【详解】由泰勒公式有 ，其中由的连续性，可设上的最大、最小值，因此有， 由介值定理，至少存在一点即【题型六、无穷级数】【例22】设数列满足条件.（1） 证明 ；（2） 证明级数收敛，发散.【详解】（1）由 ，可知为单调增加数列，且因此 ，又由于 ，从而 ， 因此， . （2）由（1）可知，. 由于为收敛级数，则根据正项级数的比较判别法知，级数收敛. 又 ，可得 ， 由于为发散级数，由正项级数的比较判别法知，级数发散.【例23】设函数，.证明：（1）；（2），对于. 【详解】（1）由于及幂级数的基本性质知， （1） 因此 （2） 将（1）、（2）代入欲证表达式的左端得 左边右边.（3） 设，可知 ，从而知当时有 ，即 （3）将（3）式两端取极限，令，由于 ； 又由罗必达法则知 ， 因此，. 【题型七、曲面积分】【例24】（2007数1）计算曲面积分 ，其中为曲面 的上侧.【分析】本题不是封闭曲面，首先想到加一曲面，取下侧，使构成封闭曲面，然后利用高斯公式转化为三重积分，再用球面（或柱面）坐标进行计算即可.【详解】的方程为： .添加一个平面，取下侧，则与构成闭曲面，其所围区域记为.于是.而 ， （上式可直接由被积函数的奇偶性和积分区域的对称性可得） 所以 .【例25】，为柱面界于与之间部分的外侧.【详解】因为：垂直于面，所以. 应用高斯公式：补平面取上侧.补平面 取上侧.则=，其中 =（因垂直与面与面）. . 所以， =【题型八、正定矩阵与正定二次型】【知识点讲解】1.元实二次型或阶方阵A正定的充要条件是下列条件之一成立：（1）任，恒有。（2）的标准型中的个系数全大于0。（3）A的特征值全大于0。（4）A的正惯性指数为。（5）A的各阶顺序主子式均大于0。（6）A与单位矩阵合同，即存在可逆阵P，使。（7）存在可逆矩阵，使。【