第二讲直线与圆方程含答案.doc

第二讲 直线与圆的方程含答案一、知识要点二、典型例题例1（1）、求与x轴相交于A(1,0)和B(5,0)两点且半径为的圆的标准方程解：法一：设圆的标准方程为(xa)2(yb)25.点A，B在圆上，所以可得到方程组：，解得a3，b1.圆的标准方程是(x3)2(y1)25或(x3)2(y1)25.法二：由A、B两点在圆上可知线段AB是圆的一条弦，根据平面几何知识：这个圆的圆心在线段AB的垂直平分线x3上，于是可设圆心为C(3，b)，又|AC|，即，解得b1或b1.因此，所求圆的标准方程为(x3)2(y1)25或(x3)2(y1)2（2）、圆C通过不同的三点P(k,0)、Q(2,0)、R(0,1)，已知圆C在点P处的切线斜率为1，试求圆C的方程解：设圆C的方程为x2y2DxEyF0，则k、2为x2DxF0的两根，k2D,2kF，即D(k2)，F2k，又圆过R(0,1)，故1EF0.E2k1.故所求圆的方程为x2y2(k2)x(2k1)y2k0，圆心坐标为(，)圆C在点P处的切线斜率为1，kCP1，k3.D1，E5，F6.所求圆C的方程为x2y2x5y60.变式练习1：1过点A(1，1)，B(1,1)，且圆心在直线xy20上的圆的方程是()A(x3)2(y1)24 B(x3)2(y1)24C(x1)2(y1)24 D(x1)2(y1)24解析：选C.设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r.圆心C在直线xy20上，b2a.由|CA|2|CB|2得(a1)2(b1)2(a1)2(b1)2，即(a1)2(2a1)2(a1)2(2a1)2，解得a1，b1，r|CA|2.即所求圆的方程为(x1)2(y1)24.2(2009年高考辽宁卷)已知圆C与直线xy0及xy40都相切，圆心在直线xy0上，则圆C的方程为()A(x1)2(y1)22 B(x1)2(y1)22C(x1)2(y1)22 D(x1)2(y1)22解析：选B.由题意可设圆心坐标为(a，a)，则，解得a1，故圆心坐标为(1，1)，半径r，所以圆的方程为(x1)2(y1)22.3(2008年高考山东卷)若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x3y0和x轴都相切，则该圆的标准方程是()A(x3)2(y)21 B(x2)2(y1)21C(x1)2(y3)21 D(x)2(y1)21解析：选B.设圆心坐标为(a，b)，则，又b0，故b1，由|4a3|5得a2或a，又a0，故a2，所求圆的标准方程是(x2)2(y1)21.(采用检验的方法也可以)4.圆心在原点且圆周被直线3x4y150分成12两部分的圆的方程为_解析：如图，因为圆周被直线3x4y150分成12两部分，所以AOB120.而圆心到直线3x4y150的距离d3，在AOB中，可求得OA6.所以所求圆的方程为x2y236.答案：x2y236例2、已知以点C(t，)(tR，t0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点(1)求证：OAB的面积为定值；(2)设直线y2x4与圆C交于点M，N，若OMON，求圆C的方程解：(1)证明：设圆的方程为x2y2DxEy0，由于圆心C(t，)，D2t，E，令y0得x0或xD2t，A(2t,0)，令x0得y0或yE，B(0，)，SOAB|OA|OB|2t|4(定值)(2)OMON，O在MN的垂直平分线上，而MN的垂直平分线过圆心C, kOC，解得t2或t2，而当t2时，直线与圆C不相交，t2，D4，E2，圆的方程为x2y24x2y0.变式练习2：1如果圆的方程为x2y2kx2yk20.那么当圆面积最大时，圆心为_解析：将方程配方，得(x)2(y1)2k21.r21k20，rmax1，此时k0.圆心为(0，1)答案：(0，1)2一个等腰三角形底边上的高等于4，底边两端点的坐标是(3,0)，(3,0)，则它的外接圆方程是_解析：底边端点关于原点对称，所以底边的中垂线方程为x0，底边上的高等于4，说明第三个顶点的坐标为(0,4)或(0，4)一腰的中垂线方程为y2(x)或y2(x)，方程联立得圆心坐标为(0，)或(0，)，半径为，所求圆的方程为x2(y)2或x2(y)2.答案：x2(y)2或x2(y)25.3.（2010重庆理数）(8) 直线y=与圆心为D的圆交与A、B两点，则直线AD与BD的倾斜角之和为A. B. C. D. 解析：数形结合 由圆的性质可知故4.（2010全国卷1理数）（11）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为 (A) (B) (C) (D)例3、已知圆x2y24上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若PBQ90，求线段PQ中点的轨迹方程解：(1)设AP中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x2,2y)P点在圆x2y24上， (2x2)2(2y)24.故线段AP中点的轨迹方程为(x1)2y21.(2)设PQ的中点为N(x，y)，在RtPBQ中，|PN|BN|，设O为坐标原点，则ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，所以x2y2(x1)2(y1)24. 故线段PQ中点的轨迹方程为x2y2xy10.变式练习3：1若曲线x2y2a2x(1a2)y40关于直线yx0对称的曲线仍是其本身，则实数a为()A B C.或 D或解析：选B.由题意知，圆心C(，)在直线yx0上，0，a2，a.故选B.(注：F40，不需验D2E24F0)2(2009年高考上海卷)点P(4，2)与圆x2y24上任一点连线的中点轨迹方程是()A(x2)2(y1)21 B(x2)2(y1)24C(x4)2(y2)21 D(x2)2(y1)21解析：选A.设圆上任意一点为(x1，y1)，中点为(x，y)，则代入x2y24得(2x4)2(2y2)24，化简得(x2)2(y1)21.3一束光线从点A(1,1)出发经x轴反射到圆C：(x2)2(y3)21上的最短路程是()A4 B5 C31 D2解析：选A.圆C的圆心C的坐标为(2,3)，半径r1.点A(1,1)关于x轴的对称点A的坐标为(1，1)因A在反射线上，所以最短距离为|AC|r，即14.例4、已知圆O: ，圆C: ，由两圆外一点引两圆切线PA、PB，切点分别为A、B，满足|PA|=|PB|.(1)求实数a、b间满足的等量关系；(2)求切线长|PA|的最小值；(3)是否存在以P为圆心的圆，使它与圆O相内切并且与圆C相外切？若存在，求出圆P的方程；若不存在，说明理由.(1)连结PO、PC，|PA|=|PB|，|OA|=|CB|=1|PO|2=|PC|2，从而化简得实数a、b间满足的等量关系为: . (2)由，得当时，(3) 圆O和圆C的半径均为1，若存在半径为R圆P，与圆O相内切并且与圆C相外切，则有 且 于是有: 即从而得 两边平方，整理得将代入上式得：故满足条件的实数a、b不存在，不存在符合题设条件的圆P. 三、规律与方法四、过关检测1圆(x2)2y25关于原点(0,0)对称的圆的方程为()A(x2)2y25 Bx2(y2)25C(x2)2(y2)25 Dx2(y2)25答案：A2已知C：x2y2DxEyF0，则FE0且D0是C与y轴相切于原点的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A.由题意可知，要求圆心坐标为(，0)，而D可以大于0，故选A.3.已知两定点A(2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于()A B4C8 D9解析：选B.设P(x，y)，由题知有：(x2)2y24(x1)2y2，整理得x24xy20，配方得(x2)2y24.可知圆的面积为4，故选B.4(2009年高考广东卷)以点(2，1)为圆心且与直线xy6相切的圆的方程是_解析：将直线xy6化为xy60，圆的半径r，所以圆的方程为(x2)2(y1)2.答案：(x2)2(y1)25(原创题)已知圆x2y22x4ya0关于直线y2xb成轴对称，则ab的取值范围是_解析：圆的方程变为(x1)2(y2)25a，其圆心为(1,2)，且5a0，即a5.又圆关于直线y2xb成轴对称，22b，b4.aba41.答案：(，1)6若直线1与圆x2y21有公共点，则()Aa2b21 Ba2b21C.1 D.1解析：选D.由题意知直线与圆相交或相切，故有11，故选D.7过点(0,1)的直线与圆x2y24相交于A，B两点，则|AB|的最小值为()A2 B2C3 D2解析：选B.据由弦长一半及圆的半径和圆心到直线的距离所组成的直角三角形可知，当圆心到直线距离最大时，弦长最短，易知当圆心与定点G(0,1)的连线与直线AB垂直时，圆心到直线AB的距离取得最大值，即d|OG|1，此时弦长最短，即|AB|2，故选B.8已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x4y40与圆C相切，则圆C的方程为()Ax2y22x30 Bx2y24x0Cx2y22x30 Dx2y24x0解析：选D.设圆心为(a,0)，且a0，则(a,0)到直线3x4y40的距离为2，即23a410a2或a(舍去)，则圆的方程为：(x2)2(y0)222，即x2y24x0.9设O为坐标原点，C为圆(x2)2y23的圆心，且圆上有一点M(x，y)满足0，则()A. B.或 C. D.或解析：选D.0，OMCM，OM是圆的切线设OM的方程为ykx，由，得k，即.10(2008年高考山东卷)已知圆的方程为x2y26x8y0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A10 B20 C30 D40解析：选B.圆的标准方程为(x3)2(y4)252，由题意得|AC|2510，|BD|24，且ACBD，四边形ABCD的面积S|AC|BD|10420.故选B.11已知圆C：x2y28y120，直线l：axy2a0.(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；(2)当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB2时，求直线l的方程解：将圆C的方程x2y28y120配方得标准方程为x2(y4)24，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l与圆C相切，则有2.解得a.(2)过圆心C作CDAB，则根据题意和圆的性质，得解得a7，或a1.故所求直线方程为7xy140或xy20.12如右图，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O24，过动点P分别作圆O