2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第六章 62.doc

6.2等差数列及其前n项和1 等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，我们称这样的数列为等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，通常用字母_d_表示2 等差数列的通项公式如果等差数列an的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是ana1(n1)d.3 等差中项如果A，那么A叫作a与b的等差中项4 等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d，(n，mN)(2)若an为等差数列，且klmn，(k，l，m，nN)，则akalaman.(3)若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为2d.(4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列(5)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN)是公差为md的等差数列5 等差数列的前n项和公式设等差数列an的公差为d，其前n项和Sn或Snna1d.6 等差数列的前n项和公式与函数的关系Snn2n.数列an是等差数列SnAn2Bn(A、B为常数)7 等差数列的前n项和的最值在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在最_大_值；若a10，则Sn存在最_小_值1 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()(2)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN，都有2an1anan2.()(3)等差数列an的单调性是由公差d决定的()(4)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数()(5)数列an满足an1ann，则数列an是等差数列()(6)已知数列an的通项公式是anpnq(其中p，q为常数)，则数列an一定是等差数列()2 设an为等差数列，公差d2，Sn为其前n项和，若S10S11，则a1等于()A18 B20 C22 D24答案B解析因为S10S11，所以a110.又因为a11a110d，所以a120.3 (2012辽宁)在等差数列an中，已知a4a816，则该数列前11项和S11等于()A58 B88 C143 D176答案B解析S1188.4 (2013课标全国)设等差数列an的前n项和为Sn，Sm12，Sm0，Sm13，则m等于()A3 B4 C5 D6答案C解析am2，am13，故d1，因为Sm0，故ma1d0，故a1，因为amam15，故amam12a1(2m1)d(m1)2m15，即m5.5 (2013课标全国)等差数列an的前n项和为Sn，已知S100，S1525，则nSn的最小值为_答案49解析由题意知a1a100，a1a15.两式相减得a15a105d，d，a13.nSnnf(n)，令f(x)，x0，f(x)x(3x20)令f(x)0得x0(舍)或x.当x时，f(x)是单调递增的；当0x0，n14时，an0，当n12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S13S121220130.方法二同方法一求得d.Sn20nn2n2.nN，当n12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12S13130.方法三同方法一求得d.又由S10S15得a11a12a13a14a150.5a130，即a130.当n12或13时，Sn有最大值且最大值为S12S13130.(2)an4n25，an14(n1)25，an1an4d，又a1412521.所以数列an是以21为首项，以4为公差的递增的等差数列令由得n6；由得n5，所以n6.即数列|an|的前6项是以21为首项，公差为4的等差数列，从第7项起以后各项构成公差为4的等差数列，而|a7|a747253.设|an|的前n项和为Tn，则Tn思维升华求等差数列前n项和的最值，常用的方法：利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；将等差数列的前n项和SnAn2Bn (A、B为常数)看做二次函数，根据二次函数的性质求最值(1)设等差数列an的前n项和为Sn.若a111，a4a66，则当Sn取最小值时，n等于()A6 B7 C8 D9(2)等差数列an前9项的和等于前4项的和若aka40，则k_.答案(1)A(2)10解析(1)设该数列的公差为d，则a4a62a18d2(11)8d6，解得d2，所以Sn11n2n212n(n6)236，所以当Sn取最小值时，n6.(2)设等差数列an的前n项和为Sn，则S9S40，即a5a6a7a8a90,5a70，故a70.而aka40，故k10.等差数列的最值问题典例：(15分)(1)等差数列an的前n项和为Sn，已知a5a74，a6a82，则当Sn取最大值时，n的值是()A5 B6 C7 D8(2)已知等差数列an的首项a120，公差d2，则前n项和Sn的最大值为_(3)设数列an是公差d0，a710 Ba2a1000，a10a110，a10a110可知d0，a110，T18a1a10a11a18S10(S18S10)60，故选C.二、填空题6(2013广东)在等差数列an中，已知a3a810，则3a5a7_.答案20解析设公差为d，则a3a82a19d10，3a5a74a118d2(2a19d)20.7 Sn为等差数列an的前n项和，S2S6，a41，则a5_.答案1解析由题意知解得a5a4d1(2)1.8已知数列an中，a11且(nN)，则a10_.答案解析由已知(101)134，a10.三、解答题9已知等差数列an中，a28，前10项和S10185.求数列an的通项公式an.解设数列an的公差为d，因为a28，S10185，所以，解得，所以an5(n1)33n2，即an3n2.10设等差数列an的前n项和为Sn，若a10，S2 0150.(1)求Sn的最小值及此时n的值；(2)求n的取值集合，使anSn.解(1)设公差为d，则由S2 01502 015a1d0a11 007d0，da1，a1ana1，Sn(a1an)a1(2 015nn2)a10，nN，当n1 007或1 008时，Sn取最小值504a1.(2)ana1，Snan(2 015nn2)a1.a10，n22 017n2 0160，即(n1)(n2 016)0，解得1n2 016.故所求n的取值集合为n|1n2 016，nNB组专项能力提升(时间：30分钟)1已知数列an为等差数列，若0的n的最大值为()A11 B19 C20 D21答案B解析0，a110，且a10a110，S2010(a10a11)0的n的最大值为19.2设等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意自然数n都有，则的值为_答案解析an，bn为等差数列，.，.3九章算术“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为_升答案解析设所构成数列an的首项为a1，公差为d，依题意即解得a5a14d4.4已知等差数列的前三项依次为a,4,3a，前n项和为Sn，且Sk110.(1)求a及k的值；(2)设数列bn的通项bn，证明数列bn是等差数列，并求其前n项和Tn.解(1)设该等差数列为an，则a1a，a24，a33a，由已知有a3a8，得a1a2，公差d422，所以Skka1d2k2k2k.由Sk110，得k2k1100，解得k10或k11(舍去)，故a2，k10.(2)由(1)得Snn(n1)，则bnn1，故bn1bn(n2)(n1)1，即数列bn是首项为2，公差为1的等差数列，所以Tn.5(2012湖北)已知等差数列an前三项的和为3，前三项的积为8.(1)求等差数列an的通项公式；(2)若a2，a3，a1成等比数列，求数列|an|的前n项和解(1)设等差数列an的公差为d，则a2a1d，a3a12d.由题意得解得或所以由等差数列通项公式可得an23(n1)3n5或an43(n1)3n7.故an3n5或an3n7.(2)当an3