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戴氏教育簇桥校区 空间向量 授课老师:唐老师用向量方法求空间角和距离在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题1 求空间角问题空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；二面角（）求异面直线所成的角设、分别为异面直线a、b的方向向量,则两异面直线所成的角=（）求线面角设是斜线l的方向向量，是平面的法向量，则斜线l与平面所成的角=（）求二面角法一、在内，在内，其方向如图，则二面角的平面角=法二、设是二面角的两个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角的平面角=2 求空间距离问题构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，象异面直线间的距离、线面距离；面面距离都可化为点面距离来求（）求点面距离法一、设是平面的法向量，在内取一点B, 则 A到的距离法二、设于O,利用和点O在内的向量表示，可确定点O的位置，从而求出（）求异面直线的距离法一、找平面使且，则异面直线a、b的距离就转化为直线a到平面的距离，又转化为点A到平面的距离法二、在a上取一点A, 在b上取一点B, 设、分别为异面直线a、b的方向向量,求（，），则异面直线a、b的距离（此方法移植于点面距离的求法）例如图，在棱长为的正方体中，E、F分别是棱的中点 （）求异面直线所成的角；（II）求和面EFBD所成的角；（III）求到面EFBD的距离例2如图，三棱柱中，已知A BCD是边长为1的正方形，四边形是矩形，（）若，求直线AB到面的距离（II） 试问：当的长度为多少时，二面角的大小为 例正三棱柱的所有棱长均为，是侧棱上任意一点（）求证： 直线不可能与平面垂直；（II）当时，求二面角的大小 练习题1如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为等边三角形，为中点（）证明：平面；（）求二面角的余弦值2如图，正四棱柱中，底面边长为，侧棱长为4，E、F分别为AB、BC的中点，。 （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离d； （3）求三棱锥的体积V。 3在三棱锥SABC中，ABC是边长为4的正三角形，平面SAC平面ABC，SA=SC=2，M为AB的中点.（）证明：ACSB；（）求二面角NCMB的大小；（）求点B到平面SCM的距离. （04福建1）4如图, 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AA14，点D是AB的中点， （I）求证：ACBC1；
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