辽宁省北票市高中数学 第三章 不等式 3.1.2 不等式的性质课件 新人教B版必修5.ppt

3 1 2不等式的性质 复习1 不等式的基本原理及含义a b 0a ba b 0a ba ba b2 四大作用 1 比较两个实数的大小 2 推导不等式的性质 3 不等式的证明 4 解不等式的主要依据3 比较大小的步骤 分三步进行 作差 变形 定号 变形是关键 1 变形常用手段 配方法 因式分解法2 变形常见形式是 变形为常数 一个常数与几个平方和 几个因式的积 比较实数的大小一般步骤 作差 变形 判断符号 1 判断两个实数大小的方法 对于任意两个实数a b 在a b a b a b三种关系中有且仅有一种成立 判断两个实数大小的方法是 2 不等式的定义 用不等号连接两个解析式所得的式子 叫做不等式 3 同向不等式与异向不等式 同向不等式 两个不等号方向相同的不等式 例如 a b c d 是同向不等式 异向不等式 两个不等号方向相反的不等式 例如 a b c d 是异向不等式 一 不等式的几个基本概念 性质1 如果a b 那么bb 性质1表明 把不等式的左边和右边交换位置 所得不等式与原不等式异向 我们把这种性质称为不等式的对称性 性质2 如果a b b c 那么a c 证明 根据两个正数之和仍为正数 得 a b b c 0a c 0a c 二 不等式的基本性质 这个性质也可以表示为c b b a 则c a 这个性质是不等式的传递性 性质3 如果a b 则a c b c 证明 因为a b 所以a b 0 因此 a c b c a c b c a b 0 即a c b c 性质3表明 不等式的两边都加上同一个实数 所得的不等式与原不等式同向 a b ca b b c b a c b 由性质3可以得出 推论1 不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后 从不等式的一边移到另一边 移项法则 推论2 如果a b c d 则a c b d 证明 因为a b 所以a c b c 又因为c d 所以b c b d 根据不等式的传递性得a c b d 几个同向不等式的两边分别相加 所得的不等式与原不等式同向 推论1 如果a b 0 c d 0 则ac bd 性质4 如果a b c 0 则ac bc 如果a b c 0 则ac bc 证明 因为a b c 0 所以ac bc 又因为c d b 0 所以bc bd 根据不等式的传递性得ac bd 几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘 所得的不等式与原不等式同向 推论2 如果a b 0 则an bn n n n 1 证明 因为 个 根据性质4的推论1 得an bn 推论3 如果a b 0 则 n n n 1 证明 用反证法 假定 即或 根据性质4的推论2和根式性质 得a b或a b 这都与a b矛盾 因此 例1 应用不等式的性质 证明下列不等式 1 已知a b ab 0 求证 证明 1 因为ab 0 所以 又因为a b 所以 即 因此 2 已知a b cb d 证明 2 因为a b cb c d 根据性质3的推论2 得 a c b d 即a c b d 3 已知a b 0 0 c d 求证 证明 3 因为0 c d 根据 1 的结论得 又因为a b 0 所以 即 例1 已知a b 不等式 1 a2 b2 2 3 成立的个数是 a 0 b 1 c 2 d 3 a 附加题 例2 设a 1 2x4 b 2x3 x2 x r 则a b的大小关系是 a b 例3 1 如果30 x 36 2 y 6 求x 2y及的取值范围 18 x 2y 32 2 若 3 a b 1 2 c 1 求 a b c2的取值范围 因为 4 a b 0 1 c2 4 所以 16 a b c2 0 例4 若 求的取值范围 解 因为f x ax2 c 所以 解之得 所以f 3 9a c 因为 所以 两式相加得 1 f 3 20 练习 已知 4 a b 1 1 4a b 5 求9a b的取值范围 解 设9a b m a b n 4a b m