矩阵理论在控制系统中的应用.doc

矩阵理论在控制系统中的应用崔士军学院：控制学院 专业：控制理论与控制工程 学号：2009010201摘要： 本文主要介绍矩阵理论在控制领域中的应用，主要介绍了连续时间线性时不变系统零输入响应运动分析，即给定线性定常系统的自治方程，如何利用数学模型，求解线性定常系统的零输入响应问题。是矩阵理论中约当标准形和对角线标准形在线性系统理论中的一个很典型的应用。一.问题的提出：为了定量地和精确地确定出控制系统运动的变化规律，以便为系统的实际运动过程作出估计。需要从其数学模型出发，分析系统运动过程和状态。1. 线性系统状态方程：从数学的角度上，就是相对于给定的初绐状态x0和外输入u，来求解方程（1）和（2）的解，即系统响应。解的存在性和唯一条件如果系统A(t)、B(t)的所有元在时间定义区间 上均为 t 的实值连续函数，而输入u(t)的元在时间定义区间 上是连续实函数，则其状态方程的解x(t)存在且唯一。2. 连续时间线性时不变系统零输入响应运动分析给定线性定常系统的自治方程：并称其为矩阵指数函数。由（1）所描述的线性定常系统的零输入响应的表达式为：3. 解的含义：（1）如果将 t 取为某个固定值，那么零输入响应 , 即为状态空间中由初始状态 经线性变换 所导出的一个变换点。因此系统的自由运动就是由初态 出发，并由 的各时刻的变换点所组成的一条轨迹。（2）自由运动轨迹的形态，即零输入响应形态，是由矩阵指数函数 所唯一地决定。（3）如果当 时，自由运动轨迹最终趋向于系统的平衡状态 x=0, 则称系统是渐近稳定的。线性定常系统渐近稳定充分必要条件为：当且仅当矩阵A的特征值均具有负实部时，上式成立4. 矩阵指数函数的性质推论：若A经过非奇异变换变为对角线阵 ，即二. 问题的求解：综上可知，求解问题的关键，就是已知矩阵A ，如何求解矩阵指数函数的问题。下面介绍 1. 无穷级数法（定义法）根据定义直接计算辞职无穷级数2. 拉氏变换法（预解矩阵法）(2) 约当标准形法 当A阵具有n重特征值 时，可通过非奇异变换化为约当标准形 J。当A阵同时具有重特征值和互异特征值时，可利用上述（1）、（2）原则求出。求解出矩阵指数函数以后，线性定常系统的零输入响应的表达式为：将矩阵指数函数代入即为所求。三. 应用小结：1. 用到的矩阵论相关知识：矩阵指数函数的定义和性质对角线标准形和约当标准型矩阵的运算法则，包括矩阵加法和乘法运算和求逆运算矩阵特征值和特征向量计算以及可逆变换矩阵的求解矩阵的可逆变换2. 解题思路： 给定线性定常系统的自治方程的一般形式：要求解线性定常系统的零输入响应的表达式时，可以做相似变换：将A化为对角线标准形或约当标准型，而对角线标准形和约当标准形的矩阵指数函数 很容易求出来，为得到原系统的矩阵指数函数，只需要再做一下逆变换：就可以得到。这样是求解过程得以简化。四. 注释：状态方程：状态方程是对连续时间线性时不变系统的状态空间描述。时不变系统：就是系统的参数不随时间而变化线性系统：满足叠加原理的系统具有线性特性零输入响应：若输入的激励信号为零，仅有储能元件的初始储能所激发的响应，称为零输入响应。自治方程：在一个方程中，如果其自变量没有显示的在方程中