第二章 随机变量及其分布.doc

第二章 随机变量及其分布一. 基本概念及性质1.一维随机变量: 定义在样本空间上, 取值于实数的函数,即对于每一个,有唯一的实数与之对应,则称为随机变量, 记为2.一维随机变量的分布函数: , 性质: (1) ; (2) 分布函数单调非减:, (); (3) , ; (4) 右连续: 一维离散型随机变量及其分布律一维连续型随机变量及其概率密度定义: 若随机变量的所有可能取值只有有限或可列无穷个, 则称为离散型随机变量.分布律: 设的所有可能取值为, 则称为的分布律.分布律: (1)(2) 注: 若已知的分布函数,求的分布律:重要分布:(1)0-1分布: 0 1 ()(2)二项分布:()(3)泊松分布:(4)超几何分布:, 其中(5)几何分布:, 随机变量函数的分布:离散型设的分布律为则的分布律为定义: 若随机变量的分布函数可以表示成非负函数的下列积分形式: , , 则称为连续型随机变量, 为的概率密度函数.性质: (1) 为连续函数; (2)对于的连续点, 有(3)对于任意实数, 有(4) 重要分布:(1) 均匀分布:(2) 指数分布: (3) 正态分布:其中当时, 称为标准正态分布.记为. 随机变量函数的分布：连续型设的密度函数为，则的密度函数求法:(1)公式法: 若严格单调,其反函数有一阶连续导数, 则也是连续型随机变量, 且密度函数为其中为的值域.(2)分布函数法: 先求的分布函数,再通过求导得到密度函数重要结论1.任何随机变量都存在分布函数,离散型随机变量分布函数一般为分段函数; 连续型随机变量分布函数一定是连续函数,而密度函数不一定连续.2.不同的随机变量可以有相同的分布函数.3.若, , ,均为分布函数, 则 ()仍为分布函数.仍为分布函数, 仍为分布函数.4.若, , ,均为概率密度函数, 则()仍为密度函数.但不一定是密度函数.典型例题:例2.1设为连续型随机变量, 为的分布函数,则在其定义域内一定为( )A.非阶梯间断函数 B.可导函数 C.连续但不一定可导函数 D.阶梯函数例2.2下列函数中,可以做随机变量分布函数的是( ) A. B. C. D. 例2.3设随机变量的密度函数为, 且, 是的分布函数,则对任意实数, 有( )A. B. C. D. 例2.4设, 为任意两个连续型随机变量,它们的分布函数分别为和,密度函数分别为, , 则( )A.必为某随机变量的分布函数B. 必为某随机变量的分布函数C. 必为某随机变量密度函数 D. 必为某随机变量密度函数例2.5设连续型随机变量的分布函数为, 密度函数为, 而且与有相同的分布函数, 则( )A. B. C. D. 例2.6设,则概率( )A. 随的增加而增大 B.随的增加而减小 C. 随的增加而增大 D. 随的增加而减小例2.7设随机变量服从指数分布，则的分布函数（ ）A.是连续函数 B.至少有两个间断点 C.阶梯函数 D.恰有一个间断点例2.8设随机变量的概率密度为,若使得,则的取值范围是_.例2.9设随机变量在上服从均匀分布, 则方程有实根的概率是_.例2.10设随机变量服从, 服从的二项分布,若, 则_.例2.11在伯努力试验中,每次试验成功的概率为,试验进行到成功与失败均出现时停止,求试难次数的分布律.例2.12同时掷两枚骰子, 直到一枚骰子出现6点为止, 试求抛掷次数的分布律.例2.13已知随机变量的分布律为1 2 3 求的分布律.例2.14设的密度函