第十八届北京高中数学知识应用竞赛初赛试题及参考解答.pdf

6 0 数学通报 2 0 1 5年 第 5 4卷 第 2期 第十八届北京高中数学知识应 用竞赛初赛试题及参考解答 一 满分 2 O分 一片枫叶紧紧地嵌在一个矩 形框内部 即矩形的各 边上都有枫叶边缘上的点 如右图 假设这个矩形框 的每一条边都可以伸缩 令枫叶不动 矩形框转动 依靠框的伸缩始终保持 这片枫叶紧紧地嵌在它的内部 而框始终是矩形 请说 明 存在 一个 转 动 位 置 这 时 的 这 片枫 叶 恰紧紧地嵌在一个正方形 的 内部 解设 转动 前 的矩 形 的 长和 宽 的 长度 分 别 为 a 和 b 一 若 a b 一0 这 个矩 形就是 正 方形 若 a 一6 0 不妨设 a 一6 0了 即 n b的值 是 在 O 9 O 上的转动 角 0的连 续函数 设 a b f 于是 0 0 由函数 的零 点 存 在定理可知 在上述转动 中 一定有一个位置 使 0 o 一0 即 a b一0 这 时 的 矩 形 框 就 是 正 方 形 框 从 而这 片枫 叶恰 紧紧地嵌在 一 个正方形框 内部 二 满分 2 O分 野外失火 火势 以失火点为 中 心 匀 速 的 向 四周 呈 圆形 蔓 延 在 火情 发 生 t 时 间 后 消防队员发现火情 随即迅速开始修建防火带 1 消防队员修建的防火带是以失火点为圆心 的圆 从该圆上的某一点同时向这点的两侧分别 以 火蔓延的速度的 4倍修建防火带 求防火带围成的 最 小面 积 S 2 再 给 出一 个 修 建 防 火带的方案 使 防火带 围成 的面积 比 S小 解 1 设 修 建 防 火 带 的 时间为 t 火 势 的 蔓延 速度 为 修建的圆形防火带的半径 R不小于火势蔓延 的 圆的 半径 因 为 R一 4 v t r v t 当 面 积 取 S 时 R r 即 一 得 所 一丌 R 一 一 7 c 一 2 N为 f 3 6 5 t 不难得 出 如 果 1 的方案 是从 A 处 开始修 建 那 么 向失 火 点 方 向靠 近 一 点 儿 取 点 B 比 如 AB一 1 5 t 如 右 图 从 这 一 点向 垂直 于 AB 的两 边修 建 至 C D 后 再 修 建 圆弧 形 即整 个 防火 带围成 的形状 比 圆少 了一个 弓 形 面 积 缩 小 了 缩小 面积 的 方案 很 多 只要 计 算 无 误 即算 正 确 三 满分 2 O分 广 发 银 行 推 出 一 款 理 财 产 品 广 发 银 行 薪 满 益 足 1 4 0 9 2 5版 网 银 专 属 版 4 2 天 投资起点 5 0 0 0 0元 高于投资起点金额部分应 为 1 0 0 0元 份 整 数 倍 销 售 费 率 0 1 0 一0 3 O 托管费率 0 0 3 年化收益率预计为 5 3 5 发售 期为 2 0 1 4年 9月 2 4日至 2 0 1 4年 1 0月 7日 收 益 起始 日期为 1 0月 8日 收益终止 日期为 1 1月 l 9 日 单利计算利息 理财产品中途若取出 则按银行 活期利率计算利息 收益公式 理 财收益 一 申购本 金 x理 财 产 品 实 际 年 化 收 益 率 x 型 磐 其中 实际年化收益率一年化收益率一销售费 率 托 管费率 示 例 理 财 本 金 为 5万 元 实 际 理 财 天 数 为 1 9 7天 理财产 品到期实际年化收益率 为 5 7 0 V o 则投 资 者 的 理 财 收 益 一 5 0 0 0 0 x 5 7 x 一 2 0 1 5年 第 5 4卷 第 2期 数 学通报 6 1 1 5 38 22兀 华夏基金公司推出一款货币型基金 华夏财富 宝 该基金的收益分配是按 日结转份额的 每 日收 益支付方式只采用红利 再投资 即红利转基金 份 额 方式 该 货 币型基 金 除去 法定休 息 日外 随 时 可 以 申购 和赎 回 没 有 时 间 的 限制 一般 规 定 在 交 易 日的 1 5 O 0前赎 回 资金 到 帐 为 2个 交 易 H T 2 日 日每万份基金净收益和 7日年化收益率 的计 算方 法 如下 H每万 份基 金净 收益 E l l l i 当 日 基 金 份 额 总 额 7日年 化收 益率 一 1 其中 R 为最近第 i 个 自然 日 包括计算 当 日 的每万份基金净收益 每万份基金净收益采用 四舍 五入保留至小数点后第 4位 7日年化收益率采用 四舍五人保留至百分号 内小数点后第 2位 表 1 为 2 0 1 4年 1 0月 8日至 1 1月 1 8日 华夏财富宝 的 日 每万份基金净收益和 7日年化收益率 表 1 日每 万 7日年 日每万 7日年 日每万 7日年 日期 份基金 化收 日期 份基金 化收 日期 份基金 化收 净收益 益率 净 收益 益率 净 收益 益率 2 O 1 4 1 O 一8 1 1 9 6 8 4 3 7 2 O 1 4 一 l 0 2 2 1 1 8 3 1 4 3 7 2 O 1 4 1 一 5 1 1 5 1 9 4 3 2 2O1 4 1 O一 9 1 161 7 4 3 7 2O1 4 1 O一 2 3 1 1 8 68 4 3 8 2 O1 4一 1 6 1 1 4 49 4 31 2 O14 1 O一 1 O 1 16 5 O 4 3 7 2O1 4 1 O一 2 4 1 1 8 20 4 3 9 2 O1 4 11 7 1 1 4 78 4 3O 2 O1 4 一 1 0 一 i i 1 1 6 2 5 4 3 6 2 O 1 4 1 O 一 2 5 1 1 8 2 6 4 3 9 2 O 1 4一 l 1 8 1 1 4 7 1 4 3 O 2 O1 4 1 O一 1 2 1 16 23 4 3 6 2O1 4 1 O一 2 6 1 1 8 25 4 3 9 2 O1 4 1l 一 9 1 1 4 70 4 29 2 O1 4一 l O一 3 1 17 45 4 3 6 2O1 4 1 O一 2 7 1 1 9 31 4 4 2 2 Ol 4一 l1 1 O l 1 4 81 4 29 2 0l 4一 l O一 1 4 1 16 77 4 3 6 2O1 4 1 0 2 8 1 1 3 58 4 3 9 2 O1 4一 一 1 1 1 52 58 4 48 2 O1 4 1 O一 1 5 1 16 83 4 35 2O1 4 1 0 29 1 1 8 68 4 4 O 2 O1 4一 l 1一 l 2 1 3 461 4 59 2 0 1 4 1 0 1 6 1 1 6 4 9 4 3 5 2 O 1 4 1 O 一3 O 1 1 7 6 7 4 3 9 2 O 1 4 一 l 1 1 3 1 2 6 O O 4 6 5 2 O 1 4 1 O一 1 7 1 1 7 5 5 4 3 6 2 O 1 4 1 O 一3 1 l 1 5 6 4 4 3 8 2 O l 4 一 l 一 1 4 1 I 1 4 9 1 4 6 5 2 Ol 4 1 O一 1 8 1 17 4 9 4 36 2O1 4 11 1 1 1 5 55 4 36 201 4一 l 一 1 5 1 1 473 4 65 2 O1 4 1 O一 1 9 1 1 7 4 8 4 37 0 o 2O1 4一 l1 2 1 1 5 5 4 4 35 2O1 4 1 1 1 6 1 1 471 4 65 2 O 1 4 1 O 一 2 O 1 1 4 6 7 4 3 5 2 O 1 4 一 l 1 3 l 1 6 O 2 4 3 3 2 O 1 4 一 l 1 1 7 1 1 4 8 6 4 6 5 2 O 1 4 1 O 一 2 1 1 1 8 1 7 4 3 6 2 O1 4 一 l 1 4 l 1 6 2 O 4 3 4 2 O 1 4 1 1 1 8 1 1 4 9 6 4 4 5 投 资 人 手上 恰 有 1 O万 块 钱 1 O月 8 日至 1 1 月 1 9日期 间想 进行 投资 请 问 1 为了获得最大收益 投资人是投资 广发 银行 薪 满益 足 1 4 0 9 2 5版 网银 专 属 版 还 是 华 夏 财 富宝 两 种 投资 的差 额 为多少 2 投资人想尽可能地保持资金的流动性 保 证尽 可 能 多 的资金 随 时可 用 那 么 1 0万 块 对 两 种产品如何配置 能使得获得 的收益介于两者 中 最高 收益 的 9 5 与最小 收益 的 1 1 O 之 间 解 1 广 发银 行 薪 满益 足 1 4 0 9 2 5版 网银 专属版 单利计算利息 投资 4 2天 当销售费率为 0 3 0 时 收 益 为 1 0 0 0 0 0 X 5 3 5 X 一0 3 一0 0 3 丽 4 2 57 7 64 华夏 财 富宝 复 利 计 算 利 息 投 资 4 2天 收 益 为 1 0 0 0 0 0 一 1 4 9 6 5 7 因此投 资 广发 银行 薪满益足 1 4 0 9 2 5版 网银 专 属 版 收 益 高 6 2 数学通报 2 0 1 5年 第 5 4卷 第 2期 二 者 比较 差额 为 8 1 O 7元 2 获得 的收 益介 于两 者 中最 高收 益 的 9 5 和 最小收 益 的 l l 0 之 间 即 为 收 益 小 于 5 7 7 6 4 0 9 5 5 4 8 7 5 8 元 大 于4 9 6 5 7 1 1 5 4 6 2 2 7元 设 分 别 投 资 广 发 银 行 薪 满 益 足 1 4 0 9 2 5版 网银 专属版 和 华夏 财 富 宝 J I7 元 列 方 程 为 f 5 4 6 2 2 7 5 3 5 9 6 一 o 3 9 6 一 o o 3 j i 1 一 s 8 l l 2 1 0 00 0 0 解得 6 1 2 4 5 7 2 x 宽 度 厚 度 并且药盒在格 内放置时要求 长 宽 面在左 右 宽 厚 面 在 前后 长 x厚 面在 上 下 为 方 便储药柜的制造 储药格的宽度类型越少越好 不 同尺寸 的药 盒 种 类 有 成 百 上千 种 表 2所 列 的仅仅 是 2 O个不 同的样 品 请你 就这 2 0种 药盒 尺寸 规格 给 出能 够存 放 这些 药盒 且满 足 上述 要 求 的 储 药格 宽 度 类 型最 少的设计方案 无需考虑存放药盒的数量多少 解 药盒的 长 宽 厚 分 别 为记 为 6 b 则 有 a b c 假设 用 d表 示 出药槽 内竖隔板 之 间的 宽度 欲使 药盒在 格 内放 置 时 不会 出现 并 排 重 叠 必 须有 c d 2 c 1 欲使 药 盒不 能在格 内侧 翻 必须 有 6 f 2 欲使 药盒不 能在格 内水平 旋转 必须 有 f 3 由 1 2 3 隔板之 间的宽度 必 须满足 d rai n 2 1 c f 4 由于 b 故有 6 f n 一 再 由 4 得 c d mi n 2 c 6 C 当 6 3 f时 有 6 C 2 c 由 隔板 之 间 的宽度 应取 2 c 表 2 度 遣单位 mr i 1 储 药格宽度 存储药盒 的厚度 l 4 1 2 1 O O一 1 4 1 2 0 0 2 l 4 1 一一 20 0 2 8 2 2 2 O O 2 8 2 40 0 一 2 28 2 40 0 5 6 4 2 i 0 0 56 4 当c 6 时 有 2 c 一 厂 由 隔板之间的宽度 aa 4 c 下转封底 2 2 2 9如 图 设 0为 AB C 的外 心 G D 分 别 为 两边 AB AC的中点 E为直 线 C O 与线段 GD 的 交点 F为直 线 D0 与线 段 G B 的 交点 记 ABC 9 0 0 2 8 X 2 0 1 5 54 00 2 的 内角分 别 为 A B C 求证 CD DE EF 一 一 河南省辉县市一中 贺基军4 5 3 6 0 0 2 2 3 0已知 ABC为锐角 三角 形 求证 c os A l C O S B l C O S C C OS BC O S C C OS Cc os A c os AC OS B 3 1 1 1 1 四川 I 成都金牛西林巷 1 8号华 鑫园 A6 0 1 宿 晓 阳 6 1 0 0 3 1 上接 第 6 2页 综上 隔板之间的宽度应取 2 c 这表 明 在 满足 不会 出现 并排 重 叠和侧 翻 或 水平旋转的条件下 隔板 宽度 为 2 c 2的储 药 格 内可 以 存 放 的 药 盒厚 度 f的 范 围 是 f C c 由表 2 可 知 药 盒 的 厚 度 分 布 在 l O mm 至 5 6 mm 之 间 于是 最 少需要 五种 间 隔 见表 2 表 3 岛屿 面积 mi 物种 雷东达岛 l 3 萨巴岛 4 5 蒙特塞 拉特 岛 4 O 9 特 立尼达岛 2 O O O 8 0 波 多黎各 岛 3 4 O 0 4 0 牙买加 岛 4 5 O O 3 9 海 地 岛 3 0 0 0 0 8 4 古 巴岛 4 0 0 0 0 7 6 五 满分 2 o分 为了研究岛屿上生物种数 量与岛屿覆盖面积的大小的关系 生物学家 Da r l i n g t o n 1 9 5 7年调 查 了位 于加 勒 比海 的安 的 列斯 群 岛各 岛屿 的面 积和