韩国平考研数学必背问题2.doc

考研数学必背的内容CH9线积分 面积分（610） 曲线 ， 则； 曲线， ，则； 曲线， ，则； 曲线， ， ，则注：积分下限必小于上限 曲线段的长度：，； 曲线段的质量： ， ； 曲线的重心坐标：， ， ； 转动惯量：平面：； 空间：对坐标的曲线积分计算： ： 起点， 终点，则； ，： 起 ， 终点，则； ： 起点，终点，则 ； 空间曲线，起点，终点，则两种曲线积分之间的关系：， 曲线切向量的方向余弦，格林公式：设函数在域及其边界上具有一阶连续偏导数，则 ，取正向平面曲线积分与路径无关的等价命题(单连通域)（1）在内与路径无关；（2）， 为内任一分段光滑闭曲线；（3）；（4）存在，使，且注：如果， 包围同一瑕点，则： 空间曲线积分：与路径无关 ，注：力 沿作功：对面积的曲面积分 ： ； ： ； ： （4）应用： 曲面的质量：； 曲面的重心坐标：，为 曲面的转动惯量：，=对坐标的曲面积分计算： ，投影域，则； ，投影域，则； ，投影域，则注：1、与法向量与相应坐标轴的夹角有关：锐角，钝角负2、负侧正侧 法向量的指向两种曲面积分之间的关系：，其中为曲面的法向量的方向余弦高斯公式： 设在空间闭域上具有一阶连续偏导数，则 ，其中是的边界曲面外侧 注：一阶连续偏导；外侧；闭曲面.斯托克斯定理：设函数在包含曲面的空间域内具有一阶连续偏导数，设为曲面的边界曲线，则流体流过曲面的流量：梯度、散度、旋度：设，则梯度：；， 则散度：，旋度：CH10级数（810） 收敛，则称绝对收敛； 收敛，发散，则称条件收敛性质：（1）若收敛，其和为为常数，则 也收敛，且其和为 （2）若级数分别收敛于 和 ，则也收敛，且收敛于注： 如一发散，一收敛，则其代数和发散； 如两发散，则结论不一定（3）在级数前面增加、减少或改变有限项，并不影响其敛散性，但级数收敛时，仅可能改变其和（4）收敛级数的各项按原次序分组加括号所得新级数仍收敛，且其和不变（5）若级数收敛，则 注：若，则发散定理及审敛法（1）正项级数收敛 部分和数列 有界；（2）比较审敛法： 设都是正项级数：、若从某项起，有 且 收敛，则也收敛；、若从某项起，有且发散，则也发散 设是两个正项级数，且，则同敛散注：对于正项级数可利用等价无穷小代换，只能用在(正项或负项)级数（3）比值审敛法：设有正项级数，若，则： 当时，级数收敛； 时，级数发散注：含或的乘积形式（4）根值审敛法：设有正项级数，若，则： 时，级数收敛； 时，级数发散注：含以为指数的因子（5）交错级数审敛法：若交错级数满足：； ，则该交错级数收敛，且其和，其余项的绝对值（6）绝对收敛定理：若收敛，则也收敛注： 改变绝对收敛级数项的次序所得的新级数仍绝对收敛，且与原级数有相同的和； 设级数都绝对收敛，它们的和分别为 和 ，则它们逐项相乘后，依任意方式排列所得级数仍绝对收敛，且其积为 公式：（1）：时收敛，时发散；（2）：时收敛，时发散； （3）：时收敛，时发散；函数项级数定理公式：（1）阿贝尔引理：若幂级数：当时收敛，则对的，；当发散，则对的，发散注：收敛点是连成一片的（2）设是幂级数的收敛半径，且： 当时，； 时，； 时，（3）幂级数的分析运算性质：设幂级数，其收敛半径为，则： 和函数在内连续；和函数在内可导，且；和函数在内任何区间上可积，且注：逐项求导，逐项积分并不改变收敛半径，但可改变端点的敛散性（4）几个重要的麦克劳林展开式： ； ； ； ；（5）泰勒定理：设在点的某个邻域内具有任意阶导数，则在处的泰勒级数在该邻域内收敛于的充要条件是：当时，在点的泰勒级数余项注：在点的幂级数展开式付立叶级数： 是周期为的周期函数：则， 在上以为周期：，在上：，（4）付立叶级数：以付立叶系数构成的三角级数 付立叶级数（4）正弦级数、余弦级数（奇偶延拓）只含正弦项的级数 正弦级数； 只含余弦项的级数 余弦级数注：奇延拓正弦 即：奇函数正弦 偶延拓余弦 偶函数余弦定理如在上满足：（1）连续或只有有限个第一类间断点；（2）至多有有限个极值点,则的付立叶级数在上收敛，且： 为的连续点， 为的间断点， 为的端点，,微分方程（812）1、如果、是二阶线性齐次方程：的两个解，则也是它的解，其中是任意常数；2、如果是的两个线性无关的解，则就是该方程的通解；3、如果是二阶非齐次线性方程：的一个特解，而是它对应的齐次方程的通解，则是该非齐次方程的通解；4、如果是的解，是的解，则的解CH1行列式(46)性质： 行与列互换，其值不变； 行列式的两行或两列互换，行列式改变符号； 行列式中某行（列）的公因子可提到行列式的外面，若以一个数乘行列式等于用该数乘行列式的任意一行（列）； 行列式中若有两行（列）成比例，则该行列式为零； 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两行列式之和： 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变几个公式：（1） 范得蒙行列式：特点： 从第一行至第行按升幂排列； 项积； （2）设为阶矩阵，为阶矩阵，为阶矩阵，则： ，； ； ； ； ； ； ，但； ，为元素的代数余子式； ， (注意符号) 余子式： CH2矩阵(812)常用公式：（1）；（2），；（3）； （4），；（5）， ；（6）分块矩阵：（1）已知为分块对角矩阵， 为可逆方阵，则；（2）若，则；（3）若且，则；（4）若A=，则、为同阶方阵，则；若为可逆矩阵，则，初等变换不改变矩阵的秩：，CH3向量(610)基本定理：（1）向量组线性相关的充要条件是：其中至少有一个向量可由其余个向量线性表示；（2）如向量组线性无关，而向量组线性相关，则可由线性表示，且表示法唯一；（3）若向量组线性相关，则也相关；（4）向量组线性相关，向量组线性无关；（5）若向量组线性无关，则将其每个向量添加分量后所组成的向量组也线性无关；（6）设向量组线性无关且可由向量组线性表示，则。任意两个线性无关的等价向量组所含向量个数相等。正交向量组，必线性无关。（7）向量组的秩与该向量组所构成的矩阵的秩相等；（8）矩阵的行秩与列秩相等，都等于矩阵的秩；（9）；（10）；（11）如果、为可逆矩阵，则；（12）；（13）注： 个维向量必线性相关； 个维向量线性无关 CH4方程组（68）1、齐次线性方程组有非解的充要条件及非齐次线性方程组有解的充要条件：（1）有非零解 （为未知数的个数）；(2) 有解 2、齐次线性方程组的基础解系、通解、解空间：若为的解，则为的解3、非齐次线性方程组解的结构：非齐次通解 = 齐次通解 + 非齐次的一个特解CH5特征值和特征向量 (1012)主要定理：（1） 阶方阵有个特征值，它们的和等于的主对角线元素之和，它们的乘积等于的行列式；（2） 如果是方阵的特征值，是与之对应的特征向量，则互不相等时，线性无关；（3） 如果阶方阵与相似，则与有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，有相同的迹；（4） 如果阶方阵与对角阵相似，则的主对角线元素就是的个特征值；（5）可相似对角化的充要条件是有个线性无关的特征向量；（6） 如果阶方阵的个特征值互不相等，则与对角阵相似，即可相似对角化；（7） 实对称矩阵的特征值全为实数；（8） 实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交；（9） 对阶实对称矩陈，必存在正交阵，使，其中为以的个特征值为主对角线元素的对角阵；（10）如为的特征值，则为的特征值注： 相似矩阵有相同的特征值； 迹同； ； 相似，合同，等价矩阵的秩相等CH6二次型 (48)惯性定理：设二次型的秩为，两个可逆变换，都化二次型为标准型，；的正负个数相等正定及其判别法：设二次型，如果对任意非向量都有，如果为正交阵，则称为正交变换 合同矩阵有相同的规范型（1）的正惯性指数等于； （2）存在阶实可逆矩阵，使；（3）的顺序主子式全部大于； （4）的特征值全为正数；（5）； （6）对任意非零向量，CH1 随机事件及其概率(4-8)1、性质（1）；（2）；（3）如两两互斥，则；注意：互斥的条件（4）；（5）如果，则，；注意：一般的。（6）广义加法定理：注：2、定理（1）条件概率设为任意二事件，称为在事件发生的条件下发生的条件概率，记为，即注： 条件； 公式（2）乘法公式设为任意个事件，则（3）全概率公式设为的一个完备事件组，为任意一个事件，则。（4）贝叶斯公式设为的一个完备事件组，为任意一个事件，则。CH2 一维随机变量及其分布(48) 两点分布： 二项分布：，注：的最可能成功次数为。 泊松分布：，记为，的最可能成功次数为 几何分布： 超几何分布：注：二项分布是超几何分布的极限形式，泊松分布是二项分布的极限形式。连续型随机变量的分布密度（2）性质： ； ； 在连续点处，； （离散不一定为0）；（3）分布函数：（4）几种常见分布 均匀分布：如果，则称在上服从均匀分布。 指数分布：，无记忆性。 正态分布：如果，则称服从参数为的正态分布，记为：则 ，正态分布必用此公式。：，则Ch3 二维随机变量及其分布分布函数性质： ； ，； 关于 具有单调不减性； 关于具有右连续性； 分布律性质： ； 概率密度性质： ； ； 在的连续点处： ； ； 注：二维正态分布的边缘分布为一维正态分布,且与无关：，。独立 （2）独立性的判定定理： 离散型：独立 ；独立 或 连续型：独立 ；独立 或 如与独立，则 与 独立，但 与不一定独立 若且独立，则 ，CH4 数字特征数字期望定义：（1） 设为离散型随机变量，其分布律为 ，如果收敛，则称为的数学期望，记为，即 注：如的取值仅有有限个，则一定存在，否则，不一定存在。（2）设为连续型随机变量，其分布密度为，如果收敛，则称为的数学期望，记为，即 注：如果的分布密度仅在有限区域上有有效值，则一定存在。（3）函数的期望： 为离散型：； 为连续型：（4） 二维随机变量函数的期望： 为离散型：； 为连续型：2、性质：（1）；（2）；（3），对，；（4）如独立，则，一般，如相互独立，则（二）方差1、定义：2、计算公式： 3、性质：（1）；（2）；（3） ；（4）如独立，则，一般，如相互独立，则 （5）几种常见分布的期望和方差： 两点分布： ， 二项分布： ， 泊松分布： ， 均匀分布： ， 指数分布： ， 正态分布： ， （三）协方差 相关系数1、协方差：（1）定义： （2）计算公式：（3）性质： ； ； ； ； 相互独立，则2、相关系数：（1）定义：（2）性质： （，；，）3、矩及协方差阵：（1）阶原点矩： （2）阶中心矩： （3）： Ch5 大数定律（一）大数定律1、切比雪夫不等式：设为一随机变量，其方差存在，期望存在，则对任意，有 或注：（1）的概率估计问题；（2） 符号不一致2、切比雪夫大数定律：设是相互独立的序列，其存在，且，则对任意，有 注：（1）主要用来证明概率的极限问题或估计的一致性；（2）满足条件以概率收敛于3、辛钦大数：如是一列相互独立同分布的序列，其方差均存在，则对任意，有 4、贝努里大数定律：设是次独立重复试验中事件发生的次数, ，则对任意，有 (属于切比雪夫大数定律的特殊情况)（二）中心极限定理1、（林德伯格列维）：设 是相互独立同分布的随机变量序列，且 ，则对任意，有 注：（1）独立同分布；（2）期望与方差存在；（3）随机变量序列和的概率；（4）一般形式2、棣莫佛拉普拉斯定理：设是次重复独立试验中事件发生的次数，则对任意实数，CH6 数理统计基本概念1样本数字特征： 样本均值：； 样本方差：2、几个重要分布：（1）分布： 定义：设 ，为X的一个样本，则称为服从自由度为n的分布；