中考数学一轮复习 专题4 图形的认识 4.3 等腰三角形与直角三角形（试卷部分）课件.ppt

第四章图形的认识4 3等腰三角形与直角三角形 中考数学 广东专用 考点一等腰三角形 a组2014 2018年广东中考题组 五年中考 1 2017深圳 8 3分 如图 已知线段ab 分别以a b为圆心 大于ab为半径作弧 连接弧的交点得到直线l 在直线l上取一点c 使得 cab 25 延长ac至m 则 bcm的度数为 a 40 b 50 c 60 d 70 答案b由作法知直线l是线段ab的垂直平分线 c在l上 ac bc b cab 25 bcm 50 故选b 2 2015广州 10 3分 已知2是关于x的方程x2 2mx 3m 0的一个根 并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形abc的两条边长 则三角形abc的周长为 a 10b 14c 10或14d 8或10 答案b把x 2代入方程得m 4 解方程x2 8x 12 0得x1 2 x2 6 当6是腰长 2是底边长时 周长是6 6 2 14 当2是腰长 6是底边长时 2 2 6 不能构成三角形 abc的周长是14 故选b 思路分析先利用方程的根x 2求m的值 再解方程求另一根 最后分类讨论求三角形的周长 易错警示不考虑三角形的三边关系 错选c 3 2014广东 9 3分 一个等腰三角形的两边长分别为3和7 则它的周长为 a 17b 15c 13d 13或17 答案a 三角形为等腰三角形 且三角形任意两边之和大于第三边 三角形的三边长分别为3 7 7 周长为17 故选a 4 2014广州 8 3分 将四根长度相等的细木条首尾相接 用钉子钉成四边形abcd 转动这个四边形 使它形状改变 当 b 90 时 如图1 测得ac 2 当 b 60 时 如图2 ac a b 2c d 2 答案a如图1 ab bc cd da b 90 四边形abcd是正方形 连接ac 则ab2 bc2 ac2 ab bc 如图2 b 60 连接ac abc为等边三角形 ac ab bc 故选a 5 2018广东 19 6分 如图 bd是菱形abcd的对角线 cbd 75 1 请用尺规作图法 作ab的垂直平分线ef 垂足为e 交ad于f 不要求写作法 保留作图痕迹 2 在 1 的条件下 连接bf 求 dbf的度数 解析 1 如图所示 直线ef即为所求 2 bd是菱形abcd的对角线 abd cbd 75 a 30 由 1 知ef是线段ab的垂直平分线 fba a 30 dbf dba fba 75 30 45 解题反思本题考查了线段垂直平分线的尺规作图 菱形的性质 等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用 6 2018广州 23 12分 如图 在四边形abcd中 b c 90 ab cd ad ab cd 1 利用尺规作 adc的平分线de 交bc于点e 连接ae 保留作图痕迹 不写作法 2 在 1 的条件下 证明 ae de 若cd 2 ab 4 点m n分别是ae ab上的动点 求bm mn的最小值 解析 1 如图所示 2 证明 如图 延长de ab相交于点f abc c 90 abc c 180 ab cd cde f de平分 adc ade cde ade f ad af ab bf 又ad ab cd ab bf ab cd bf cd 在 ced和 bef中 ced bef de ef 又ad af ae de 如图 作dh ab于h 作点n关于ae的对称点n 连接mn bm 则mn mn bm mn bm mn 由 可得ad af de ef ae平分 dab 点n 在ad上 当点b m n 共线且bn ad时 bm mn 有最小值 即bm mn有最小值 在rt adh中 ad ab cd 6 ah ab bh 2 由勾股定理可得 dh 4 dha bn a 90 dah ban dah ban bn bm mn的最小值为 思路分析 1 利用基本作图 作已知角的平分线 按照题目的作图要求作图 2 延长de ab相交于点f 由 角平分线 平行线 可以得出 等腰三角形adf 再结合 ad ab cd 利用全等证得de ef 然后由 等腰三角形三线合一 证得ae de 利用轴对称转化bm mn 再利用垂线段最短分析得出bn 的长即为所求 利用相似三角形求出bn 的长 方法总结合理作出辅助线是解决本题的关键 条件ad ab cd是解决问题的突破口 综合运用三角形全等及等腰三角形的判定 再结合等腰三角形的三线合一就可证得ae de 求最小值问题是又一难题 找到m n两点的位置使bm mn的值最小 可以利用轴对称及垂线段最短来解决这一问题 7 2017广东 20 7分 如图 在 abc中 a b 1 作边ab的垂直平分线de 与ab bc分别相交于点d e 用尺规作图 保留作图痕迹 不要求写作法 2 在 1 的条件下 连接ae 若 b 50 求 aec的度数 解析 1 如图所示 直线ed即为所求 2 直线ed是线段ab的垂直平分线 ae be eab b b 50 eab 50 aec eab b aec 100 考点二直角三角形 1 2014深圳 14 3分 在rt abc中 c 90 ad平分 cab ac 6 bc 8 cd 答案3 解析 c 90 ac 6 bc 8 ab 10 过d点作de ab 则de cd ac ae 在rt deb中 设de x 则bd 8 x be ab ae 4 由勾股定理得 8 x 2 x2 42 解得x 3 即cd 3 2 2014珠海 10 3分 如图 在等腰rt oaa1中 oaa1 90 oa 1 以oa1为直角边作等腰rt oa1a2 以oa2为直角边作等腰rt oa2a3 则oa6的长度为 答案8 解析 等腰直角三角形的斜边是直角边的倍 oa1 oa 1 oa2 oa1 2 oa3 oa2 3 oa6 6 8 3 2017广州 20 10分 如图 在rt abc中 b 90 a 30 ac 2 1 利用尺规作线段ac的垂直平分线de 垂足为e 交ab于点d 保留作图痕迹 不写作法 2 若 ade的周长为a 先化简t a 1 2 a a 1 再求t的值 解析 1 如图 2 t a 1 2 a a 1 a2 2a 1 a2 a 3a 1 ae ac 2 ad 2 de adsina 2 1 a 1 2 3 t 3 3 1 3 10 4 2016广东 21 7分 如图 rt abc中 b 30 acb 90 cd ab交ab于d 以cd为较短的直角边向 cdb的同侧作rt dec 满足 e 30 dce 90 再用同样的方法作rt fgc fcg 90 继续用同样的方法作rt hic hci 90 若ac a 求ci的长 解析 rt abc中 b 30 acb 90 a 60 1分 cd ab adc 90 acd 30 2分 ac a rt adc中 ad ac cd ad a 4分 同理可得 rt dfc中 df cd a cf df a 5分 rt fhc中 fh cf a ch fh a 6分 rt chi中 ci ch a 7分 评析本题考查直角三角形的基本性质与运算 5 2014珠海 15 6分 如图 在rt abc中 acb 90 1 用尺规在边bc上求作一点p 使pa pb 不写作法 保留作图痕迹 2 连接ap 当 b为度时 ap平分 cab 解析 1 2 30 6 2016梅州 15 3分 如图 在平面直角坐标系中 将 abo绕点a顺时针旋转到 ab1c1的位置 点b o分别落在点b1 c1处 点b1在x轴上 再将 ab1c1绕点b1顺时针旋转到 a1b1c2的位置 点c2在x轴上 将 a1b1c2绕点c2顺时针旋转到 a2b2c2的位置 点a2在x轴上 依次进行下去 若点a b 0 2 则点b2016的坐标为 答案 6048 2 解析 ao bo 2 ab oa ab1 b1c2 6 b2的横坐标为6 且b2c2 2 b4的横坐标为2 6 12 点b2016的横坐标为2016 2 6 6048 点b2016的纵坐标为2 点b2016的坐标为 6048 2 思路分析首先根据已知求出三角形三边的长度 然后通过旋转发现 b b2 b4 的纵坐标相等 即可得每个相邻的偶数之间的横坐标相差6个单位长度 根据这个规律可以求得b2016的坐标 考点一等腰三角形 b组2014 2018年全国中考题组 1 2018河北 8 3分 已知 如图 点p在线段ab外 且pa pb 求证 点p在线段ab的垂直平分线上 在证明该结论时 需添加辅助线 则作法不正确的是 a 作 apb的平分线pc交ab于点cb 过点p作pc ab于点c且ac bcc 取ab中点c 连接pcd 过点p作pc ab 垂足为c 答案b无论作 apb的平分线pc交ab于点c 还是取ab中点c 连接pc或过点p作pc ab 垂足为c 都可以通过等腰三角形三线合一得出结论 选项a c d的作法正确 故选b 2 2017天津 11 3分 如图 在 abc中 ab ac ad ce是 abc的两条中线 p是ad上的一个动点 则下列线段的长等于bp ep最小值的是 a bcb cec add ac 答案b如图 连接pc ab ac bd cd ad bc pb pc pb pe pc pe pe pc ce 当p c e三点共线时 pb pe的值最小 最小值为ce 故选b 思路分析先证pb pc 从而可得当p c e三点共线时 pb pe的值最小 最小值为ce 3 2015广西南宁 7 3分 如图 在 abc中 ab ad dc b 70 则 c的度数为 a 35 b 40 c 45 d 50 答案a ab ad adb b 70 ad dc c dac adb是 adc的外角 c adb 35 故选a 4 2018四川成都 11 4分 等腰三角形的一个底角为50 则它的顶角的度数为 答案80 解析 等腰三角形的两底角相等 180 50 2 80 顶角为80 5 2015福建龙岩 16 3分 我们把平面内与四边形各边端点构成的三角形都是等腰三角形的点叫做这个四边形的腰点 如矩形的对角线交点是矩形的一个腰点 则正方形的腰点共有个 答案9 解析如图 1 连接两条对角线 对角线的交点是正方形的一个腰点 2 分别以四个顶点为圆心 以正方形的边长为半径画圆 除顶点外 共有8个交点 这8个点也是腰点 综上 正方形共有9个腰点 6 2014内蒙古呼和浩特 13 3分 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36 则该等腰三角形的底角的度数为 答案63 或27 解析在三角形abc中 设ab ac bd ac于d 若三角形是锐角三角形 则 a 90 36 54 此时 底角 180 54 2 63 若三角形是钝角三角形 则 bac 36 90 126 此时 底角 180 126 2 27 综上 该等腰三角形底角的度数是63 或27 7 2017北京 19 5分 如图 在 abc中 ab ac a 36 bd平分 abc交ac于点d 求证 ad bc 证明 ab ac a 36 abc c 72 bd平分 abc abd 36 abd a ad bd bdc a abd 72 bdc c bd bc ad bc 考点二直角三角形 1 2018内蒙古包头 8 3分 如图 在 abc中 ab ac ade的顶点d e分别在bc ac上 且 dae 90 ad ae 若 c bac 145 则 edc的度数为 a 17 5 b 12 5 c 12 d 10 答案d ab ac b c b 180 c bac 35 c 35 dae 90 ad ae aed ade 45 edc aed c 45 35 10 故选d 2 2017陕西 6 3分 如图 将两个大小 形状完全相同的 abc和 a b c 拼在一起 其中点a 与点a重合 点c 落在边ab上 连接b c 若 acb ac b 90 ac bc 3 则b c的长为 a 3b 6c 3d 答案a由题意得 abc与 a b c 全等且均为等腰直角三角形 ac bc 3 ab 3 ab 3 在 ab c中 易知 cab 90 ab c是直角三角形 b c 3 3 2017内蒙古包头 12 3分 如图 在rt abc中 acb 90 cd ab 垂足为d af平分 cab 交cd于点e 交cb于点f 若ac 3 ab 5 则ce的长为 a b c d 答案a过f作fg ab于点g af平分 cab acb 90 fc fg 易证 acf agf ac ag 5 6 90 b 6 90 5 b 3 1 5 4 2 b 1 2 3 4 ce cf ac 3 ab 5 bc 4 在rt bfg中 设cf x x 0 则fg x bf 4 x bg ab ag 5 3 2 由bf2 fg2 bg2 得 4 x 2 x2 22 解得x ce cf 选a 4 2015北京 6 3分 如图 公路ac bc互相垂直 公路ab的中点m与点c被湖隔开 若测得am的长为1 2km 则m c两点间的距离为 a 0 5kmb 0 6kmc 0 9kmd 1 2km 答案d ac bc m是ab的中点 mc ab am 1 2km 故选d 5 2017吉林长春 13 3分 如图1 这个图案是我国汉代的赵爽在注解 周髀算经 时给出的 人们称它为 赵爽弦图 此图案的示意图如图2 其中四边形abcd和四边形efgh都是正方形 abf bcg cdh dae是四个全等的直角三角形 若ef 2 de 8 则ab的长为 答案10 解析依题意知 bg af de 8 ef fg 2 bf bg fg 6 在rt abf中 利用勾股定理得 ab 10 6 2017河南 15 3分 如图 在rt abc中 a 90 ab ac bc 1 点m n分别是边bc ab上的动点 沿mn所在的直线折叠 b 使点b的对应点b 落在边ac上 若 mb c为直角三角形 则bm的长为 答案或1 解析在rt abc中 a 90 ab ac b c 45 1 当 mb c 90 时 b mc c 45 设bm x 则b m b c x 在rt mb c中 由勾股定理得mc x x x 1 解得x 1 bm 1 2 如图 当 b mc 90 时 点b 与点a重合 此时bm b m bc 综上所述 bm的长为1或 7 2015贵州遵义 16 4分 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理 创制了一幅 弦图 后人称其为 赵爽弦图 如图 1 图 2 由弦图变化得到 它是由八个全等的直角三角形拼接而成 记图中正方形abcd 正方形efgh 正方形mnkt的面积分别为s1 s2 s3 若正方形efgh的边长为2 则s1 s2 s3 答案12 解析设ah a ae b eh c 则c 2 所以s1 s2 s3 a b 2 c2 a b 2 2 a2 b2 c2 3c2 3 22 12 8 2016北京 23 5分 如图 在四边形abcd中 abc 90 ac ad m n分别为ac cd的中点 连接bm mn bn 1 求证 bm mn 2 若 bad 60 ac平分 bad ac 2 求bn的长 解析 1 证明 在 abc中 abc 90 m为ac的中点 bm ac n为cd的中点 mn ad ac ad bm mn 2 bad 60 ac平分 bad bac cad 30 由bm am 可得 bmc 2 bac 60 由mn ad 可得 cmn cad 30 bmn bmc cmn 90 ac ad 2 bm mn 1 在rt bmn中 bn 考点一等腰三角形 c组教师专用题组 1 2015福建龙岩 8 4分 如图 在边长为的等边三角形abc中 过点c垂直于bc的直线交 abc的平分线于点p 则点p到边ab所在直线的距离为 a b c d 1 答案d由题意可得 pbc 30 在rt pbc中 pc bc tan30 1 因为bp是 abc的平分线 所以点p到ab的距离等于点p到bc的距离 即为1 故选d 2 2015江苏苏州 7 3分 如图 在 abc中 ab ac d为bc中点 bad 35 则 c的度数为 a 35 b 45 c 55 d 60 答案c ab ac d为bc中点 cad bad 35 ad dc 在 adc中 c 90 dac 55 故选c 3 2018天津 17 3分 如图 在边长为4的等边 abc中 d e分别为ab bc的中点 ef ac于点f g为ef的中点 连接dg 则dg的长为 答案 解析连接de 在等边 abc中 d e分别是ab bc的中点 de ac de ec ac 2 deb c 60 ef ac efc 90 fec 30 ef deg 180 60 30 90 g是ef的中点 eg 在rt deg中 dg 思路分析连接de 根据题意可得de ac 又ef ac 可得到 fec的度数 判断出 deg是直角三角形 再根据勾股定理即可求解dg的长 疑难突破本题主要依据等边三角形的性质 勾股定理以及三角形中位线的性质定理求线段dg的长 dg与图中的线段无直接的关系 所以应根据条件连接de 构造直角三角形 运用勾股定理求出dg的长 4 2016黑龙江哈尔滨 17 3分 在等腰直角三角形abc中 acb 90 ac 3 点p为边bc的三等分点 连接ap 则ap的长为 答案或 解析当cp 1时 根据勾股定理得ap 当cp 2时 根据勾股定理得ap 故ap的长为或 5 2014山西 16 3分 如图 在 abc中 bac 30 ab ac ad是bc边上的中线 ace bac ce交ab于点e 交ad于点f 若bc 2 则ef的长为 答案 1 解析在df上取点g 使dg dc 连接cg ab ac ad为bc边上的中线 ad bc cad bad bac 15 cdg为等腰直角三角形 dcg 45 ace bac ace cad af cf ace bac 15 dcg 45 acb 75 fcg 75 15 45 15 bad fcg 又 afe cfg af cf afe cfg asa ef fg ab ac ad为bc边上的中线 cd bc 1 dcf 75 15 60 df dc 又 dg dc 1 ef fg df dg 1 6 2014江苏苏州 15 3分 如图 在 abc中 ab ac 5 bc 8 若 bpc bac 则tan bpc 答案 解析过a作等腰 abc底边bc上的高ad 垂足为d 则ad平分 bac 且d为bc的中点 所以bd 4 根据勾股定理可求出ad 3 又因为 bpc bac 所以 bpc bad 所以tan bpc tan bad 7 2014河南 11 3分 如图 在 abc中 按以下步骤作图 分别以点b c为圆心 以大于bc的长为半径作弧 两弧相交于m n两点 作直线mn交ab于点d 连接cd 若cd ac b 25 则 acb的度数为 答案105 解析由题意知mn垂直平分bc cd bd 又cd ac ac cd bd dcb b 25 a cda 50 acb 180 a b 105 8 2017湖北武汉 15 3分 如图 在 abc中 ab ac 2 bac 120 点d e都在边bc上 dae 60 若bd 2ce 则de的长为 答案3 3 解析如图 将 abd沿ad翻折得 afd 连接ef ab af ac bd df afd b 30 bac 120 dae 60 bad cae 60 又 bad fad fad cae 60 cae fae ace afe sas ce ef afe c 30 dfe 60 过点e作eh df 交df于点h 过点a作am bc 交bc于点m 设ce 2x 则bd 2ce 4x ef 2x df 4x fh x eh x dh 3x 又bc 2bm 2ab cos30 6 de 6 6x 在rt deh中 de2 dh2 eh2 即 6 6x 2 3x 2 x 2 解得x1 x2 舍去 de 6 6x 3 3 一题多解将 abd绕点a逆时针旋转120 得 acf 连接ef cf bd 可证 ade afe de ef acd b 30 fce 60 过点e作eh cf 交cf于点h 设ce 2x 则bd 4x ch x cf 4x fh 3x eh x 过点a作am bc 交bc于点m 则bc 2cm 2ac cos30 2 2 6 fe de 6 6x 在rt efh中 fe2 fh2 eh2 即 6 6x 2 3x 2 x 2 解得x1 x2 舍去 de 6 6x 3 3 9 2017北京 28 7分 在等腰直角 abc中 acb 90 p是线段bc上一动点 与点b c不重合 连接ap 延长bc至点q 使得cq cp 过点q作qh ap于点h 延长交ab于点m 1 若 pac 求 amq的大小 用含 的式子表示 2 用等式表示线段mb与pq之间的数量关系 并证明 解析 1 acb是等腰直角三角形 cab 45 pab 45 qh ap amq 90 pab 45 2 线段mb与pq之间的数量关系为pq mb 证明 连接aq 过点m作mn bq于点n 如图 则 mnb为等腰直角三角形 mb mn ac bq cq cp ap aq qac pac qam bac qac 45 qac 45 pac amq qa qm mqn apq pac apq 90 mqn pac mqn qac rt qac rt mqn qc mn pq 2qc 2mn mb 解题关键解决本题第 2 问的关键是要通过添加辅助线构造全等三角形 从而找出边与边之间的数量关系 10 2015北京 20 5分 如图 在 abc中 ab ac ad是bc边上的中线 be ac于点e 求证 cbe bad 证明 ab ac ad是bc边上的中线 ad bc bad cad be ac bec adc 90 cbe 90 c cad 90 c cbe cad cbe bad 11 2015福建龙岩 24 13分 如图 在rt abc中 acb 90 ac 6 bc 8 点d以每秒1个单位长度的速度由点a向点b匀速运动 到达b点即停止运动 m n分别是ad cd的中点 连接mn 设点d运动的时间为t 1 判断mn与ac的位置关系 2 求点d由点a向点b匀速运动的过程中 线段mn所扫过区域的面积 3 若 dmn是等腰三角形 求t的值 解析 1 在 adc中 m是ad的中点 n是dc的中点 mn ac 3分 2 如图 分别取 abc三边中点e f g 并连接eg fg 根据题意可知线段mn扫过区域的面积就是 afge的面积 ac 6 bc 8 ae 3 gc 4 acb 90 s afge ae gc 12 线段mn扫过区域的面积为12 7分 3 解法一 依题意可知 md ad dn dc mn ac 3 i 当md mn 3时 dmn为等腰三角形 此时ad ac 6 t 6 9分 ii 当md dn时 ad dc 过d作dh ac交ac于h 则ah ac 3 cosa ad t 5 11分 iii 当dn mn 3时 ac dc 连接mc 则cm ad cosa 即 am ad t 2am 综上所述 当t 5或6或时 dmn为等腰三角形 13分 解法二 依题意可知 md ad dn dc mn ac 3 i 当md mn 3时 dmn为等腰三角形 此时ad ac 6 t 6 9分 ii 当md dn时 ad dc dac acd acb 90 bcd acd 90 b bac 90 b bcd bd cd ad 在rt abc中 ab 10 t ad ab 5 11分 iii 当dn mn 3时 ac dc 连接mc 则cm ab s acb bc ac ab mc cm 在rt amc中 am t ad 2am 综上所述 当t 5或6或时 dmn为等腰三角形 13分 12 2015重庆 25 12分 如图1 在 abc中 acb 90 bac 60 点e是 bac角平分线上一点 过点e作ae的垂线 过点a作ab的垂线 两垂线交于点d 连接db 点f是bd的中点 dh ac 垂足为h 连接ef hf 1 如图1 若点h是ac的中点 ac 2 求ab bd的长 2 如图1 求证 hf ef 3 如图2 连接cf ce 猜想 cef是否是等边三角形 若是 请证明 若不是 请说明理由 图1 图2 解析 1 点h是ac的中点 ac 2 ah ac 1分 acb 90 bac 60 abc 30 ab 2ac 4 2分 da ab dh ac dab dha 90 dah 30 ad 2 3分 在rt adb中 dab 90 bd2 ad2 ab2 bd 2 4分 2 证明 连接af 如图 f是bd的中点 dab 90 af df fda fad 5分 de ae dea 90 dha 90 dah 30 dh ad ae平分 bac cae bac 30 dae 60 ade 30 ae ad ae dh 6分 fda fad hda ead 60 fda hda fad ead fdh fae 7分 fdh fae sas fh fe 8分 3 cef是等边三角形 9分 理由如下 取ab的中点g 连接fg cg 如图 f是bd的中点 fg da fg da fga 180 dag 90 又 ae ad ae fg 在rt abc中 acb 90 点g为ab的中点 cg ag 又 cab 60 gac为等边三角形 10分 ac cg acg agc 60 fgc 30 fgc eac fgc eac sas 11分 cf ce ace gcf ecf ecg gcf ecg ace acg 60 cef是等边三角形 12分 13 2014浙江温州 20 10分 如图 在等边三角形abc中 点d e分别在边bc ac上 且de ab 过点e作ef de 交bc的延长线于点f 1 求 f的度数 2 若cd 2 求df的长 解析 1 abc是等边三角形 b 60 de ab edc b 60 ef de def 90 f 90 edc 30 2 acb 60 edc 60 edc是等边三角形 ed dc 2 def 90 f 30 df 2de 4 14 2014黑龙江哈尔滨 28 10分 如图 在四边形abcd中 对角线ac bd相交于点e 且ac bd adb cad abd bad 3 cbd 1 求证 abc为等腰三角形 2 m是线段bd上一点 bm ab 3 4 点f在ba的延长线上 连接fm bfm的平分线fn交bd于点n 交ad于点g 点h为bf中点 连接mh 当gn gd时 探究线段cd fm mh之间的数量关系 并证明你的结论 解析 1 证明 如图1 作 bap dae ap交bd于p 图1设 cbd cad adb cad abd ape bap abd ape adb ap ad 1分 ac bd pae dae 2分 pad 2 bad 3 bad 3 cbd 3 3 3分 ac bd acb 90 90 abc 180 bac acb 90 acb abc 4分 ab ac abc为等腰三角形 5分 2 2mh fm cd 6分 证明 如图2 由 1 知 ap ad ab ac bap cad abp acd abe acd 7分 ac bd gdn 90 gn gd gnd gdn 90 agf ngd 2 afg bad agf 3 2 fn平分 bfm nfm fmn 90 8分 h为bf中点 bf 2mh 在fb上截取fr fm 连接rm 图2 frm fmr 90 abc 90 frm abc rm bc cbd rmb cad cbd rmb cad 9分 又 rbm acd rmb dac fb fm br cd 2mh fm cd 10分 考点二直角三角形 1 2014江苏扬州 7 3分 如图 已知 aob 60 点p在边oa上 op 12 点m n在边ob上 pm pn 若mn 2 则om a 3b 4c 5d 6 答案c如图 过点p作ph mn 因为pm pn mn 2 所以mh mn 1 在rt poh中 op 12 poh 60 所以oh 6 所以om oh mh 6 1 5 故选c 2 2016宁夏 14 3分 如图 rt aob中 aob 90 oa在x轴上 ob在y轴上 点a b的坐标分别为 0 0 1 把rt aob沿着ab对折得到 ao b 则点o 的坐标为 答案 解析如图 作o c oa 垂足为c 在rt aob中 oa ob 1 aob 90 tan bao bao 30 由题意可得ao ao o ab oab 30 o ao 60 在rt o ac中 ac ao cos60 o c ao sin60 oc ao ac o 3 2015江西南昌 14 3分 如图 在 abc中 ab bc 4 ao bo p是射线co上的一个动点 aoc 60 则当 pab为直角三角形时 ap的长为 答案2或2或2 每答对1个得1分 每答错一个扣1分 扣完为止 解析由题意知 满足条件的点p有三个位置 如图 apb 90 因为oa ob 2 所以op oa 2 又因为 aoc 60 所以 poa为等边三角形 所以ap 2 如图 apb 90 因为oa ob 2 所以op oa ob 2 又 aoc bop 60 所以 obp为等边三角形 所以 obp 60 所以 oap 30 所以ap ab cos oap 4 2 如图 abp 90 因为 bop aoc 60 所以bp ob tan60 2 在rt abp中 ap 2 综上所述 ap的长为2或2或2 4 2017湖南常德 14 3分 如图 已知rt abe中 a 90 b 60 be 10 d是线段ae上一动点 过d作cd交be于c 并使得 cde 30 则cd长度的取值范围是 答案0 cd 5 解析当点d与点e重合时 cd 0 当点d与点a重合时 a 90 b 60 e 30 cde e cdb b ce cd cd cb cd be 5 0 cd 5 5 2014贵州贵阳 15 4分 如图 在rt abc中 bac 90 ab ac 16cm ad为bc边上的高 动点p从点a出发 沿a d方向以cm s的速度向点d运动 设 abp的面积为s1 矩形pdfe的面积为s2 运动时间为t秒 0 t 8 则t 秒时 s1 2s2 答案6 解析由题意可知rt adc和rt efc都是等腰直角三角形 ad dc bd 8cm 因为ap tcm 所以dp ef fc 8 t cm df tcm s1 ap bd t 8 8tcm2 s2 pd df 8 t t 2t2 16t cm2 所以当s1 2s2时 有8t 4t2 32t 解得t 6 6 2018安徽 23 14分 如图1 rt abc中 acb 90 点d为边ac上一点 de ab于点e 点m为bd的中点 cm的延长线交ab于点f 1 求证 cm em 2 若 bac 50 求 emf的大小 3 如图2 若 dae cem 点n为cm的中点 求证 an em 图1图2 解析 1 证明 由已知 在rt bcd中 bcd 90 m为斜边bd的中点 cm bd 又de ab 同理 em bd cm em 4分 2 由已知得 cba 90 50 40 又由 1 知cm bm em cme cmd dme 2 cbm ebm 2 cba 2 40 80 emf 180 cme 100 9分 3 证明 dae cem cme dea 90 de cm ae em 又cm dm em dm de em dem是等边三角形 mef def dem 30 证法一 在rt emf中 emf 90 mef 30 又 nm cm em ae fn fm nm ef ae ae ef af 又 afn efm afn efm naf mef an em 14分 证法二 连接am 则 eam ema mef 15 amc emc ema 75 又 cmd emc emd 30 且mc md acm 180 30 75 由 可知ac am 又n为cm的中点 an cm 又 em cf an em 14分 思路分析 1 利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证 2 由直角三角形中两锐角互余求出 cba 由等腰三角形的性质可得 meb mbe mcb mbc 从而可得 cme dme cmd 2 cbm ebm 最后由补角性质求出 emf 3 由 dae cem可推出 dem为等边三角形 从而可得 mef 30 下面证an em有两个思路 一是根据直角三角形30 角所对直角边等于斜边的一半可得 又点n是cm的中点 可推出 从而可证 afn efm 进一步即可证明an em 二是连接am 计算可得 amc acm 而n是cm的中点 从而an cm 进一步即可证明an em 7 2017重庆a卷 24 10分 在 abm中 abm 45 am bm 垂足为m 点c是bm延长线上一点 连接ac 1 如图1 若ab 3 bc 5 求ac的长 2 如图2 点d是线段am上一点 md mc 点e是 abc外一点 ec ac 连接ed并延长交bc于点f 且点f是线段bc的中点 求证 bdf cef 解析 1 am bm 点c是bm延长线上一点 amb amc 90 amb和 amc是直角三角形 abm 45 ab 3 bm am 3 bc 5 cm 2 在rt amc中 ac 4分 2 证明 abm 45 am bm 点c是bm延长线上一点 bm am bmd amc 90 在 bmd和 amc中 bm am bmd amc md mc bmd amc 6分 bd ac ec ac bd ec 延长df到点g 使fg fd 连接cg 点f是线段bc的中点 cf bf cfg bfd fg fd cfg bfd cg bd g bdf bd ec cg ec g e g bdf bdf cef 10分 8 2016内蒙古呼和浩特 21 7分 已知 如图 acb和 ecd都是等腰直角三角形 acb ecd 90 d为ab边上一点 1 求证 ace bcd 2 求证 2cd2 ad2 db2 证明 1 acb和 ecd都是等腰直角三角形 cd ce ac bc ecd acb 90 ecd acd acb acd 即 eca dcb 1分 在 ace与 bcd中 3分 ace bcd 4分 2 ace bcd ae bd 5分 eac bac 45 ead 90 在rt ead中 ed2 ad2 ae2 ed2 ad2 bd2 6分 又ed2 ec2 cd2 2cd2 2cd2 ad2 db2 7分 考点一等腰三角形 三年模拟 a组2016 2018年模拟 基础题组 1 2018阳江江城模拟 3 已知等腰三角形的两条边长分别是7和3 则下列四个数中 第三条边的长是 a 8b 7c 4d 3 答案b分两种情况讨论 当7为腰长 3为底边长时 三边为7 7 3 能组成三角形 故第三边的长为7 当3为腰长 7为底边长时 三边为7 3 3 3 3 6 7 所以不能组成三角形 综上 第三边的长为7 2 2017深圳罗湖模拟 9 如图 在 abc中 ab ac 5 bc 6 点m为bc的中点 mn ac于点n 则mn等于 a b c d 答案c连接am ab ac m为bc的中点 am bc am 4 s amc mc am 3 4 6 s amc ac mn 5mn 6 mn 故选c 3 2016深圳罗湖二模 7 某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm 则它的周长为 a 9cmb 12cmc 15cmd 12cm或15cm 答案c 3 3 6 该等腰三角形的边长只能为3cm 6cm 6cm 周长为15cm 故选c 4 2017梅州模拟 12 若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半 则这个等腰三角形的底角为 答案15 或75 解析 1 当等腰三角形为锐角三角形时 如图 bd ab 则顶角 a为30 底角为75 2 当等腰三角形为钝角三角形时 如图 bd ab 则 bad 30 顶角 bac为150 底角为15 综上 底角为75 或15 5 2017清远三模 14 如图 在 abc中 bc 5cm bp cp分别是 abc和 acb的平分线 且pd ab pe ac 则 pde的周长是cm 答案5 解析 pd ab abp dpb bp平分 abc abp dbp dbp dpb bd dp 同理 pe ce pde的周长等于bc 5cm 6 2016揭阳二模 13 如图 在 abc中 点d是bc上一点 bad 80 ab ad dc 则 c 答案25 解析 ab ad b adb bad 80 adb 50 ad cd dac c adb dac c c 25 7 2017广州天河 24 如图1 正方形abcd的边ab ad分别在等腰直角 aef的腰ae af上 点c在 aef内 则有df be 不必证明 将正方形abcd绕点a逆时针旋转一定角度 0 90 后 连接be df 如图2 这时df be还成立吗 请说明理由 解析df be成立 理由 四边形abcd是正方形 aef是等腰直角三角形 ad ab af ae fae dab 90 fad eab 在 adf和 abe中 adf abe sas df be 8 2016中山二模 22 已知 如图 在 abc中 ad bc 垂足为点d be ac 垂足为点e m为ab边的中点 连接me md ed 1 求证 med为等腰三角形 2 求证 emd 2 dac 证明 1 ad bc adb为直角三角形 m为ab的中点 md ab 同理 me ab md me med为等腰三角形 2 m为ab的中点 ma ab md ab ma md bmd 2 mad 同理 bmd edm 2 mad dac emd 2 dac 考点二直角三角形 1 2017珠海模拟 7 如果将长为6cm 宽为5cm的长方形纸片折叠一次 那么这条折痕的长不可能是 a 8cmb 5cmc 5 5cmd 1cm 答案a长方形的对角线长为 cm 8cm 而折痕的长小于对角线的长 折痕不可能是8cm 故选a 2 2017汕头模拟 7 如图 abc的顶点a b c在边长为1的正方形网格的格点上 bd ac于点d 则cd的长为 a b c d 答案cac s abc 2 2 2 bd ac s abc ac bd bd 2 bd cd2 bd2 bc2 cd2 4 cd 故选c 3 2016湛江三模 5 以下各组数据为三角形的三边长 能构成直角三角形的是 a 5cm 6cm 7cmb 2cm 3cm 4cmc 2cm 2cm 1cmd 5cm 12cm 13cm 答案d 52 62 61 72 22 32 13 42 22 12 5 22 52 122 169 132 能构成直角三角形的是d 故选d 4 2018东莞五校一模 16 如图 把正方形纸片abcd沿对边中点所在的直线对折后展开 折痕为mn 再过点b折叠纸片 使点a落在mn上的点f处 折痕为be 若ab的长为2 则fm的长为 答案 解析由翻折的性质可知 bm mc 1 ab bf 2 在rt bfm中 由勾股定理可知 mf 5 2016韶关二模 13 若a b c表示 abc的三边 且满足 a 12 b 13 2 0 则此三角形的形状为 答案直角三角形 解析 0 a 12 0 b 13 2 0 且 a 12 b 13 2 0 0 a 12 0 b 13 2 0 c 5 a 12 b 13 a2 c2 b2 此三角形为直角三角形 6 2018珠海一模 22 如图 在rt abc中 acb 90 m是斜边ab的中点 am an n can 180 求证 mn ac 证明 acb 90 m是斜边ab的中点 cm am mca mac am an amn anm n can 180 ac mn amn mac amc nam an mc 又ac mn 四边形acmn是平行四边形 mn ac 一 选择题 每小题3分 共15分 b组2016 2018年模拟 提升题组 时间 30分钟分值 40分 1 2017韶关模拟 9 如图 dac和 ebc均是等边三角形 ae与cd交于点m bd与ce交于点n 有如下结论 ace dcb cm cn ac dn 其中 正确结论的个数是 a 3b 2c 1d 0 答案b dac和 ebc均是等边三角形 acd bce 60 ac dc bc ec ace dcb ace dcb 由 ace dcb得 cam cdn 又ac dc acm dce 60 acm dcn cm cn am dn mac60 ac am ac dn 综上 正确结论的个数是2 故选b 2 2017汕尾二模 10 如图 在 abc中 b c 36 ab的垂直平分线交bc于点d 交ab于点h ac的垂直平分线交bc于点e 交ac于点g 连接ad ae 则下列结论错误的是 a b ad ae将 bac三等分c abe acdd s adh s ceg 答案a b c 36 ab ac bac 108 dh垂直平分ab eg垂直平分ac db da ea ec b dab c cae 36 bda bac adc b bad 72 dac bac bad 72 adc dac cd ca ba bd bc cd bc ba 则 易求得 故a错误 bac 108 dab cae 36 dae bac dab cae 36 dab dae cae 36 ad ae将 bac三等分 故b正确 bae bad dae 72 cad cae dae 72 bae cad 又 b c ab ac abe acd 故c正确 由 abe acd 可得s abe s acd 即s bad s ade s cae s ade s bad s cae 又 dh垂直平分ab eg垂直平分ac s adh s bad s ceg s cae s adh s ceg 故d正确 故选a 3 2016陆丰二模 9 如图 在 abc中 c 90 ac 2 点d在bc上 adc 2 b ad 则bc的长为 a 1b 1c 1d 1 答案d c 90 ac 2 ad dc 1 adc 2 b adc b bad b bad bd ad bc bd dc 1