离散数学图论部分综合练习辅导.doc

离散数学图论部分综合练习辅导本次活动是本学期的第二次活动(2008.11.18)，主要是针对第二单元图论的重点学习内容进行辅导，方式是通过讲解一些典型的综合练习题目，帮助大家进一步理解和掌握图论的基本概念和方法。图论作为离散数学的一部分，主要介绍图论的基本概念、理论与方法。教学内容主要有图的基本概念与结论、图的连通性与连通度、图的矩阵表示、最短路问题、欧拉图与汉密尔顿图、平面图、对偶图与着色、树与生成树、根树及其应用等。本次综合练习主要是复习这一部分的主要概念与计算方法，与集合论一样，也安排了五种类型，有单项选择题、填空题，判断说明题、计算题、证明题。这样的安排也是为了让同学们熟悉期末考试的题型，能够较好地完成这一部分主要内容的学习。下面分别讲解。一、单项选择题1设图G的邻接矩阵为则G的边数为( )A5 B6 C3 D4正确答案：D上学期的作业中，有的同学选择答案B。主要是对邻接矩阵的概念理解不到位。我们复习定义： 定义3.3.1 设G=是一个简单图，其中V=v1，v2， vn，则 n阶方阵A（G）=（aij）称为G的邻接矩阵其中各元素而当给定的简单图是无向图时，邻接矩阵为对称的即当结点vi与vj相邻时，结点vj与vi也相邻，所以连接结点vi与vj的一条边在邻接矩阵的第i行第j列处和第j行第i列处各有一个1，题中给出的邻接矩阵中共有8个1，故有82=4条边。2设图G，则下列结论成立的是 ( )Adeg(V)=2E Bdeg(V)=EC D正确答案：C该题主要是检查大家对握手定理掌握的情况。复习握手定理：定理3.1.1 设G是一个图，其结点集合为V，边集合为E，则ooooocabedof3图G如右图所示，以下说法正确的是 ( ) A(a, d)是割边B(a, d)是边割集C(d, e)是边割集D(a, d) ,(a, c)是边割集正确答案：C上学期许多同学选择答案A。主要是对割边、边割集的概念理解不到位。复习割边、边割集的定义： 定义3.2.9 设无向图G=为连通图，若有边集E1E，使图G删除了E1的所有边后，所得的子图是不连通图，而删除了E1的任何真子集后，所得的子图是连通图，则称E1是G的一个边割集若某个边构成一个边割集，则称该边为割边（或桥）如果答案A正确，即删除边(a, d)后，得到的图是不连通图，但事实上它还是连通的。因此答案A是错误的。4设G是连通平面图，有v个结点，e条边，r个面，则r= ( )Aev2 Bve2 Cev2 Dev2正确答案：A 该题主要是检查大家对平面图的欧拉定理的理解情况。 定理4.3.2（欧拉定理） 设连通平面图G的结点数为v，边数为e，面数为r，则下列欧拉公式成立v-e+r =25无向图G存在欧拉通路，当且仅当( )AG中所有结点的度数全为偶数 BG中至多有两个奇数度结点CG连通且所有结点的度数全为偶数DG连通且至多有两个奇数度结点正确答案：D上学期许多同学选择答案C。主要是将题中的“欧拉通路”误认为“欧拉回路”了。其实应该运用定理4.1.1进行选择，才是正确的。复习定义和定理： 定义4.1.1 给定无孤立结点图G，若存在一条路经过图G的每条边一次且仅一次，则该路称为欧拉路； 若存在一条回路经过图G的每条边一次且仅一次，在该回路称为欧拉回路； 定理4.1.1 无向图G具有一条欧拉路，当且仅当G是连通的，且有零个或2个奇数度数的结点 推论 一个无向图具有一条欧拉回路，当且仅当该图是连通的，并且它的结点度数都是偶数 所以，正确答案应该是D6设G是有n个结点，m条边的连通图，必须删去G的( )条边，才能确定G的一棵生成树A B C D正确答案：A上学期许多同学选择答案D。主要是把定理5.1.1给出的图T为树的等价定义之一是图T连通且e=v-1中的公式用错了大家只要把m代入公式e=v-1中的e，把n代入公式e=v-1中的v，可以知道答案A是正确。 定理5.1.1 给定图T，则以下关于图T为树的定义等价 （1）无回路的连通图 （2）无回路且e=v-1，其中e是边数，v是顶点数 （3）连通且e=v-1 （4）无回路，但增加任一新边，得到且仅得到一个回路 （5）连通，但删去任一边后图便不连通（v2） （6）每一对顶点之间有且仅有一条路（v2）定理5.1.1的六个等价定义，大家应该熟记的最主要的是：无向简单图G是棵树，当且仅当G连通且边数比结点数少1二、填空题1已知图G中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G的边数是 应该填写：15主要检查大家对握手定理掌握的情况。定理3.1.1（握手定理） 设G是一个图，其结点集合为V，边集合为E，则ooooocabedof因为图G中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，即，所以边数有。问：若无向树T中有8个结点，4度，3度，2度的分支点各一个，那么T的树叶数为多少？2设给定图G(如右图所示)，则图G的点割集是 应该填写：f，c，e上学期许多同学填错答案主要对点割集的概念理解不正确。定义3.2.7 设无向图G=为连通图，若有点集V1V，使图G删除了V1的所有结点后，所得的子图是不连通图，而删除了V1的任何真子集后，所得的子图是连通图，则称V1是G的一个点割集若某个结点构成一个点割集，则称该结点为割点上学期许多同学填写的f，c，主要是没有完全理解定义3.2.7，因为f是f，c的真子集，而删除f后，图是不连通的。3设无向图G是汉密尔顿图，则V的任意非空子集V1，都有 V1应该填写：W(G- V1) 因为具有汉密尔顿回路的图称为汉密尔顿图而由 定理4.2.1 若图G=中具有一条汉密尔顿回路，则对于结点集V的每个非空子集S均有W(G-S) |S|成立，其中W(G-S)是（G-S）中连通分支数因此应该填写：W(G- V1)4设有向图D为欧拉图，则图D中每个结点的入度 应该填写：等于出度 如果大家记住“具有欧拉回路的图称为欧拉图”和定理4.1.2：一个有向图具有单向欧拉回路，当且仅当它是连通的，且每个结点的入度等于出度大家一定能填写出正确答案的。5设完全图K有n个结点(n2)，m条边，当 时，K中存在欧拉回路应该填写：n为奇数上学期许多同学填错答案主要对完全图的概念理解不正确。 定义3.1.6 简单图G=中，若每一对结点间都有边相连，则称该图为完全图有n个结点的无向完全图记为Kn由定义可知，完全图Kn中的任一结点v到其它结点都有一条边，共有n-1条边，即每个结点的度数是n-1，当n为奇数时，n-1为偶数。由定理4.1.1的推论可知，应该填写：n为奇数。6给定一个序列集合1，01，10，11，001，000，若去掉其中的元素 ，则该序列集合构成前缀码应该填写：1因为在二进制中1是10和11的前缀。而前缀码的定义是（定义5.2.10）：给定一个序列集合，若没有一个序列是另一个序列的前缀，该序列集合称为前缀码填写该题答案时大家一定要对前缀码的定义理解非常清楚。问：若把序列集合中的1换成0，应该去掉哪个元素？三、判断说明题1给定两个图G1，G2（如下图所示）：（1）试判断它们是否为欧拉图、汉密尔顿图？并说明理由v1（2）若是欧拉图，请写出一条欧拉回路v6v5v4v3v2分析：先复习欧拉图的判别定理和汉密尔顿图的定义：定理4.1.1的推论：一个无向图具有一条欧拉回路，当且仅当该图是连通的，并且它的结点度数都是偶数定义4.2.1：若存在一条回路经过图G的每个结点一次且仅一次，则该回路称为汉密尔顿回路；具有汉密尔顿回路的图称为汉密尔顿图 解：（1）图G1是欧拉图 因为图G1中每个结点的度数都是偶数图G2是汉密尔顿图因为图G2存在一条汉密尔顿回路（不惟一）： a(a, b)b(b, e) e(e, f) f (f, g) g(g, d) d(d, c) c(c, a)a问题：请大家想一想，为什么图G1不是汉密尔顿图，图G2不是欧拉图。（2）图G1的欧拉回路为：（不惟一）：v1(v1, v2) v2 (v2, v3) v3 (v3, v4) v4 (v4, v5)v5 (v5, v2) v2 (v2, v6)v6 (v6, v4) v4 (v4, v1)v1ooooov5v1v2v4v6ov3（上学期的学生在书写欧拉回路时不规范，大家要按照正确的方法写法。）2判别图G(如右图所示)是不是平面图，并说明理由分析：平面图的定义是 定义4.3.1 设G=是一个无向图，如果能把G的所有结点与边画在平面上，并且使得任何两条边除端点外没有其他的交点，则ooooov5v1v2v4v6ov3称G是一个平面图（也称可平面图） 显然平面图的边与边只在结点处相交解：图G是平面图因为只要把结点v2与v6的连线(v2, v6)拽到结点v1的外面，把把结点v3与v6的连线(v3, v6)拽到结点v4, v5的外面，就得到一个平面图注意：定理4.3.3 设G是一个有v个结点e条边的连通简单平面图，若v3，则e3v-6会用于判断不是平面图。四、计算题1设图G=，其中V=a1, a2, a3, a4, a5,E=，（1）试给出G的图形表示；（2）求G的邻接矩阵；（3）判断图G是强连通图、单侧连通图还是弱连通图？oooooa1a2a3a4a5解：（1）图G是有向图： （2）邻接矩阵如下：（3）图G是单侧连通图，也是弱连通图 关于强连通图、单侧连通图还是弱连通图的判断，希望大家掌握图论综合作业单项选择题中的第4题。2图G=，其中V=a, b, c, d, e, f ，E=(a, b), (a, c), (a, e), (b, d), (b, e), (c, e), (d, e), (d, f), (e, f)，对应边的权值依次为5，2，1，2，6，1，9，3及8（1）画出G的图形；ooooocabedof152261938（2）写出G的邻接矩阵；（3）求出G权最小的生成树及其权值解：（1）因为V=a, b, c, d, e, f E=(a, b), (a, c), (a, e), (b, d), (b, e), (c, e), (d, e), (d, f), (e, f)， 权值依次为5，2，1，2，6，1，9，3及8 所以，G的图形如右图所示：（2）分析：定义3.3.1 设G=是一个简单图，其中V=v1，v2，vn，则n阶方阵A(G)=(aij)称为G的邻接矩阵其中ooooocabedof152261938 邻接矩阵： （3）用避圈法： 第1步：选(a, e)和(c, e)边； 第2步：选(b, d)边；（为什么不选(a, c)？） 第3步：选(d, f)边； 第4步：选(a, b)边这样，得到了最小的生成树，如右图中粗线所示最小的生成树的权为1+1+5+2+3=12 上学期作业中的最小的生成树求的不对，主要是没有把握“取权数最小的边，且与前面取到的边不构成圈”，常常是只注意取权数最小的边了，而忽略“不构成圈”的要求。问：如果结点集是V=a, b, c, d, e ，边集E= (a, b), (a, c), (a, e), (b, d), (b, e), (c, e), (d, e) ，对应边的权值依次为5，2，1，2，6，1，9，那么会求吗？3设有一组权为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,试（1）画出相应的最优二叉树；ooooooooo3271355111734oo1602910ooo231942oo17o24o5331ooo9565（2）计算它们的权值解：（1）最优二叉树如右图所示：方法（Huffman）：从2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31中选2,3为最低层结点，并从权数中删去，再添上他们的和数，即5,5,7,11,13,17,19,23,29,31； 再从5,5,7,11,13,17,19,23,29,31中选5,5为倒数第2层结点，并从上述数列中删去，再添上他们的和数，即7,10,11,13,17,19,23,29,31； 然后，从7,10,11,13,17,19,23,29,31中选7,10和11,13为倒数第3层结点，并从上述数列中删去，再添上他们的和数，即17,17,24,19,23,29,31； （2）权值为：26+36+55+74+114+134+173+193+233+293+312 =12+18+25+28+44+52+51+57+69+87+62=505讲评：作业中最优二叉树都画对了，但计算总权值时把有些权的层数计算错了，导致总权值计算错误。问：如果一组权为2,3,6,9,13,15,能否画出最优二叉树？五、证明题证明题上学期的学生做的很不好，原因是他们对证明题方法没有掌握，也是对一些概念不清楚所造成的。因此，希望大家认真学习教材和老师讲课中的证明方法，并通过作业逐步掌握做证明题的方法。1若无向图G中只有两个奇数度结点，则这两个结点一定是连通的证明：用反证法设G中的两个奇数度结点分别为u和v假设u和v不连通，即它们之间无任何通路，则G至少有两个连通分支G1，G2，且u和v分别属于G1和G2，于是G1和G2各含有一个奇数度结点这与定理3.1.2的推论矛盾因而u和v一定是连通的2设G是一个n阶无向简单图，n是大于等于2的奇数证明图G与它的补图中的奇数度顶点个数相等 证明：设，则是由