考研数学必背的问题.doc

考研数学必背的内容考研数学要得高分必须拿出百分之60的精力背下列内容，百分之40的精力做题理解考研者的明智选择，到达成功的最佳捷径函数极限连续（）定义域值域-1,1-1,1-1,1-1,1如以为周期，则 (偶)奇，(奇)偶；偶函数的原函数不一定是奇数，但奇函数的原函数是偶函数；奇奇奇（不等），偶偶偶，奇偶不定奇奇偶， 偶偶偶，奇偶奇（偶0）1分段函数：注： 与，分段点； ； ， 分段点 ；，分段点 ； 整数的点 ， 2、存在 ，为任何以为极限的数列3、性质（1）有限个无穷小的代数和仍是无穷小（2）有界函数与无穷小的乘积是无穷小（3）有限个无穷小的乘积是无穷小（2）等价定理如果x则（3）无穷小与极限的关系4、常用的等价无穷小当时 注：（1）等价无穷小代换只能用在乘除的情况下（2）无穷小阶的讨论常用等价无穷小代换或泰勒展开式（3）如果是的阶无穷小是的阶无穷小则是的阶无穷小（4）一般地，如果是的阶无穷小，则是的阶无穷小，是的阶无穷小；反之，如是的阶无穷小，推不出是的阶的结论。 极限运算法则及存在条件如果与存在，则 注：1、条件的存在性2、3、5、双边夹法则如果满足且，则对于函数，如果且则6、单调有界数列必有极限注：（1）己知递推公式求极限必用此结论（2）7、运算性质（1）如果都在处连续，则1也连续； 2； 3也连续（2）如果函数在区间上单调且连续，则其反函数也在相应区间上单调且连续（3）设函数，当时，极限存在且等于，即，而函数在连续，则复合函数当时的极限也存在，且等于，即（4）设函数在点连续且而在点连续，则在点也连续。（5）初等函数在其定义域内都连续如为初等函数，为其定义域内一点， 则（6）如在上连续，则，在内连续ch2导数与微分1、导数的几何意义：表示在点切线斜率（1）切线方程（2）法线方程：2、高阶导数：(1)定义：二阶及二阶以上的导数(2)公式： 导数的运算法则1、设, 都可导，则（1）； （2）；（3）2、反函数的导数：设是的反函数，且单调可导，则也单调可导，且 3、复合函数的导数：如果在点可导，而在可导，则复合函数在点可导，且其导函数为4、常见公式： 5、由参数方程所确定函数的导数： ， ， ch3. 中值定理与导数应用（1518）1.常见的泰勒展开式 基本定理1、单调性的判定定理：设函数在上连续在内可导（1）如果在内，则在上单调增加（2）如果在内，则在上单调减少2、极值存在的必要条件：函数在点处可导，且在处取得极值，则3、第一充分条件：设在点的一个邻域内可导且（1）如果当时；当时则在处取得极大值（2）如果当时，当时，则在处取得极小值（3）如果在两侧，符号不变，则在处不取极值注：不存在的点或不易求的点常用此定理4、第二充分条件：设在处具有二阶导数，且则（1）当时，取极大值；（2）当时，取极小值。注：1驻点2二阶导函数易求5、函数凹凸性的判定定理：在上连续，在内具有二阶导数（1）若，则在上是凹的（2）若，则在上是凸的6、曲率的计算公式：ch4不定积分（48）1、公式 2、性质（1） （2）3、换元积分法（1）第一换元（凑微分）注1、 2、 3、 4、 5、6、 7、 8、 9、 10、(2)第二换元积分法 被积函数含 ； ； 4、分部积分法 注：（1）运用分部积分法，关键是适当选取和其原则：比易求（2）；在计算不定积分时，三角函数为被积函数尽量用、表示；CH5定积分（1518）定积分的性质1、被积函数代数和的定积分等于定积分的代数和；2、被积函数的非零常数因子可以提到积分号外；3、定积分具有区间可加性；4、如果，则; 5、如果在上连续，且分别为其最小值、最大值，则； 6、；7、定积分中值定理：如果上连续，则在内至少存在一点，使；8、设在上连续，在上可积且不变号，则至少存在一点，使；9、设在上连续，连续可导，且，则必存在，使。定积分的换元积分法和分部积分法1、可变限函数求导：如果在相应区间上连续，可导，则。注：连续函数一定存在原函数 如连续，则即为其原函数2、牛顿莱布尼兹公式如果函数是连续函数在上的一个原函数，则：注：此公式说明要求定积分两步：（1）求原函数； （2）代公式 3、换元积分法如果函数在区间上连续，函数满足：（1） ；（2）在或上具有单调连续导数且其值域，则注：（1）定积分的换元积分法换元必换限，换后接着算。下限对应下限，上限对应上限 （2）条件，单调可导4、分部积分法 注：边运算边代值（四）常用公式1、2、如果为周期为的周期函数，则， 3、 4、5、6、积分不等式 平方的积分结构定积分的应用1、平面图形面积：； ； ；2、旋转体的体积：； ； ； ； ；3、平面曲线的弧长：（1） ；（2） ；（3） ；（六）广义积分（1）无穷区间 ；（2）无界函数 Ch6空间解析几何(26)设，则 （1）；（2）；（3）；（4）；（5）； （6）2、几何意义：（1）表示以为邻边的平行四边形面积；（2）从几何上表示以为棱的平行六面体的体积；（3）； （4）（2）旋转曲面：平面曲线绕轴，；3、平面及其方程：（1）平面的点法式方程：过点法向量为的方程： 平面的一般方程：，截距式方程： （2）点到平面的距离：点到平面的距离：（3）两平面的夹角：设， ，若之间的夹角为，则，4、空间直线及其方程（1）直线的点向式（对称式）方程：过点方向向量为的直线方程：（2）一般方程： （3）两直线的夹角：设，若与之间的夹角为，则， ，异面；（4）直线与平面的夹角：设直线与平面的夹角，则；（5）点到直线的距离：；（6）平面束：过直线平面束方程为：CH7多元函数微分学（814）1、复合函数微分法：（1） 如果在对应点处可微，且的偏导数都存在，则复合函数在点对的偏导数存在，且 ；（2） 设具有连续偏导数，也具有连续偏导数，则复合函数在点处的全微分为：；（3） 全微分的运算公式：； (c为常数) ； ； 。2、空间曲线的切线与法平面：（1）曲线：，其中，都是可导函数，且不全为0，则切线方程为：，法平面方程为：；（2）曲线：切线方程为：，法平面方程为：；（3）曲线：切线方程为：，法平面方程为：3、空间曲面的切平面与法线：（1）曲面方程：切平面方程为：，法线方程为：，法线的方向余弦为：；（2）曲面方程：， 则切平面方程为：，法线方程为：4、极值存在的必要条件：如果函数在点取得极值，且都存在，则必有，满足的点（驻点）：可能极值点，包括驻点和偏导数不存在的点注：在内为常数 5、极值的充分条件：设函数在点的某一邻域内具有二阶连续偏导数，且,， 记：（1）如，则为的极值，极大，极小；（2）如，不是极值； （3）如，不确定。（2）梯度：设，则注：梯度方向即为变化率最大的方向（3）方向导数计算公式：如果函数在点可微，则函数在点处沿任一方向的方向导数存在，且,其中是的方向余弦。沿方向的方向导数为：；（4）梯度的性质： ； ； CH8重积分（610）1、公式：（1）如果关于为奇函数，积分域关于轴对称，则：（2）如果关于为偶函数，积分域关于轴对称（表示位于轴上方的部分），则： （注：平面域关于轴对称）（3）连续函数关于为奇函数，积分域关于面对称，则：（4）连续函数关于为偶函数，积分域关于面对称，表示的位于面上方的部分，则： (注：立体关于坐标面对称)（5）如果关于对称，则：（6） 中地位同 地位同2、二重积分的计算： （1）如， 则 （2）， 则 3、三重积分的计算（1），则（2），则（3），则4、体积公式：5、曲面面积：（1）曲面的方程为：，；（2）曲面的方程为：， ；（3）曲面的方程为：，。6、质量：（1）； （2）7、重心坐标：（1）平面薄板：， ；（2）立体：， (注意步调一致)8、转动惯量：（1）平面薄板：， ， ；（2）立体：， ， ，。9、引力：质量为的质点位于处，物体占有空间域，其密度为，设物体对质点引力为：,则：， ， CH9线积分 面积分（610） 曲线 ， 则； 曲线， ，则； 曲线， ，则； 曲线， ， ，则注：积分下限必小于上限 曲线段的长度：，； 曲线段的质量： ， ； 曲线的重心坐标：， ， ； 转动惯量：平面：； 空间：对坐标的曲线积分计算： ： 起点， 终点，则； ，： 起 ， 终点，则； ： 起点，终点，则 ； 空间曲线，起点，终点，则两种曲线积分之间的关系：， 曲线切向量的方向余弦，格林公式：设函数在域及其边界上具有一阶连续偏导数，则 ，取正向平面曲线积分与路径无关的等价命题(单连通域)（1）在内与路径无关；（2）， 为内任一分段光滑闭曲线；（3）；（4）存在，使，且注：如果， 包围同一瑕点，则： 空间曲线积分：与路径无关 ，注：力 沿作功：对面积的曲面积分 ： ； ： ； ： （4）应用： 曲面的质量：； 曲面的重心坐标：，为 曲面的转动惯量：，=对坐标的曲面积分计算： ，投影域，则； ，投影域，则； ，投影域，则注：1、与法向量与相应坐标轴的夹角有关：锐角，钝角负2、负侧正侧 法向量的指向两种曲面积分之间的关系：，其中为曲面的法向量的方向余弦高斯公式： 设在空间闭域上具有一阶连续偏导数，则 ，其中是的边界曲面外侧 注：一阶连续偏导；外侧；闭曲面.斯托克斯定理：设函数在包含曲面的空间域内具有一阶连续偏导数，设为曲面的边界曲线，则流体流过曲面的流量：梯度、散度、旋度：设，则梯度：；， 则散度：，旋度：CH10级数（810） 收敛，则称绝对收敛； 收敛，发散，则称条件收敛性质：（1）若收敛，其和为为常数，则 也收敛，且其和为 （2）若级数分别收敛于 和 ，则也收敛，且收敛于注： 如一发散，一收敛，则其代数和发散； 如两发散，则结论不一定（3）在级数前面增加、减少或改变有限项，并不影响其敛散性，但级数收敛时，仅可能改变其和（4）收敛级数的各项按原次序分组加括号所得新级数仍收敛，且其和不变（5）若级数收敛，则 注：若，则发散定理及审敛法（1）正项级数收敛 部分和数列 有界；（2）比较审敛法： 设都是正项级数：、若从某项起，有 且 收敛，则也收敛；、若从某项起，有且发散，则也发散 设是两个正项级数，且，则同敛散注：对于正项级数可利用等价无穷小代换，只能用在(正项或负项)级数（3）比值审敛法：设有正项级数，若，则： 当时，级数收敛； 时，级数发散注：含或的乘积形式（4）根值审敛法：设有正项级数，若，则： 时，级数收敛； 时，级数发散注：含以为指数的因子（5）交错级数审敛法：若交错级数满足：； ，则该交错级数收敛，且其和，其余项的绝对值（6）绝对收敛定理：若收敛，则也收敛注： 改变绝对收敛级数项的次序所得的新级数仍绝对收敛，且与原级数有相同的和； 设级数都绝对收敛，它们的和分别为 和 ，则它们逐项相乘后，依任意方式排列所得级数仍绝对收敛，且其积为 公式：（1）：时收敛，时发散；（2）：时收敛，时发散； （3）：时收敛，时发散；函数项级数定理公式：（1）阿贝尔引理：若幂级数：当时收敛，则对的，；当发散，则对的，发散注：收敛点是连成一片的（2）设是幂级数的收敛半径，且： 当时，； 时，； 时，（3）幂级数的分析运算性质：设幂级数，其收敛半径为，则： 和函数在内连续；和函数在内可导，且；和函数在内任何区间上可积，且注：逐项求导，逐项积分并不改变收敛半径，但可改变端点的敛散性（4）几个重要的麦克劳林展开式： ； ； ； ；（5）泰勒定理：设在点的某个邻域内具有任意阶导数，则在处的泰勒级数在该邻域内收敛于的充要条件是：当时，在点的泰勒级数余项注：在点的幂级数展开式付立叶级数： 是周期为的周期函数：则， 在上以为周期：，在上：，（4）付立叶级数：以付立叶系数构成的三角级数 付立叶级数（4）正弦级数、余弦级数（奇偶延拓）只含正弦项的级数 正弦级数； 只含余弦项的级数 余弦级数注：奇延拓正弦 即：奇函数正弦 偶延拓余弦 偶函数余弦定理如在上满足：（1）连续或只有有限个第一类间断点；（2）至多有有限个极值点,则的付立叶级数在上收敛，且： 为的连续点， 为的间断点， 为的端点，,微分方程（812）1、如果、是二阶线性齐次方程：的两个解，则也是它的解，其中是任意常数；2、如果是的两个线性无关的解，则就是该方程的通解；3、如果是二阶非齐次线性方程：的一个特解，而是它对应的齐次方程的通解，则是该非齐次方程的通解；4、如果是的解，是的解，则的解CH1行列式(46)性质： 行与列互换，其值不变； 行列式的两行或两列互换，行列式改变符号； 行列式中某行（列）的公因子可提到行列式的外面，若以一个数乘行列式等于用该数乘行列式的任意一行（列）； 行列式中若有两行（列）成比例，则该行列式为零； 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两行列式之和： 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变几个公式：（1） 范得蒙行列式：特点： 从第一行至第行按升幂排列； 项积； （2）设为阶矩阵，为阶矩阵，为阶矩阵，则： ，； ； ； ； ； ； ，但； ，为元素的代数余子式； ， (注意符号) 余子式： CH2矩阵(812)常用公式：（1）；（2），；（3）； （4），；（5）， ；（6）分块矩阵：（1）已知为分块对角矩阵， 为可逆方阵，则；（2）若，则；（3）若且，则；（4）若A=，则、为同阶方阵，则；若为可逆矩阵，则，初等变换不改变矩阵的秩：，CH3向量(610)基本定理：（1）向量组线性相关的充要条件是：其中至少有一个向量可由其余个向量线性表示；（2）如向量组线性无关，而向量组线性相关，则可由线性表示，且表示法唯一；（3）若向量组线性相关，则也相关；（4）向量组线性相关，向量组线性无关；（5）若向量组线性无关，则将其每个向量添加分量后所组成的向量组也线性无关；（6）设向量组线性无关且可由向量组线性表示，则。任意两个线性无关的等价向量组所含向量个数相等。正交向量组，必线性无关。（7）向量组的秩与该向量组所构成的矩阵的秩相等；（8）矩阵的行秩与列秩相等，都等于矩阵的秩；（9）；（10）；（11）如果、为可逆矩阵，则；（12）；（13）注： 个维向量必线性相关； 个维向量线性无关 CH4方程组（68）1、齐次线性方程组有非解的充要条件及非齐次线性方程组有解的充要条件：（1）有非零解 （为未知数的个数）；(2) 有解 2、齐次线性方程组的基础解系、通解、解空间：若为的解，则为的解3、非齐次线性方程组解的结构：非齐次通解 = 齐次通解 + 非齐次的一个特解CH5特征值和特征向量 (1012)主要定理：（1） 阶方阵有个特征值，它们的和等于的主对角线元素之和，它们的乘积等于的行列式；（2） 如果是方阵的特征值，是与之对应的特征向量，则互不相等时，线性无关；（3） 如果阶方阵与相似，则与有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，有相同的迹；（4） 如果阶方阵与对角阵相似，则的主对角线元素就是的个特征值；（5）可相似对角化的充要条件是有个线性无关的特征向量；（6） 如果阶方阵的个特征值互不相等，则与对角阵相似，即可相似对角化；（7） 实对称矩阵的特征值全为实数；（8） 实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交；（9） 对阶实对称矩陈，必存在正交阵，使，其中为以的个特征值为主对角线元素的对角阵；（10）如为的特征值，则为的特征值注： 相似矩阵有相同的特征值； 迹同； ； 相似，合同，等价矩阵的秩相等CH6二次型 (48)惯性定理：设二次型的秩为，两个可逆变换，都化二次型为标准型，；的正负个数相等正定及其判别法：设二次型，如果对任意非向量都有，如果为正交阵，则称为正交变换 合同矩阵有相同的规范型（1）的正惯性指数等于； （2）存在阶实可逆矩阵，使；（3）的顺序主子式全部大于； （4）的特征值全为正数；（5）； （6）对任意非零向量，CH1 随机事件及其概率(4-8)1、性质（1）；（2）；（3）如两两互斥，则；注意：互斥的条件（4）；（5）如果，则，；注意：一般的。（6）广义加法定理：注：2、定理（1）条件概率设为任意二事件，称为在事件发生的条件下发生的条件概率，记为，即注： 条件； 公式（2）乘法公式设为任意个事件，则（3）全概率公式设为的一个完备事件组，为任意一个事件，则。（4）贝叶斯公式设为的一个完备事件组，为任意一个事件，则。CH2 一维随机变量及其分布(48) 两点分布： 二项分布：，注：的最可能成功次数为。 泊松分布：，记为，的最可能成功次数为 几何分布： 超几何分布：注：二项分布是超几何分布的极限形式，泊松分布是二项分布的极限形式。连续型随机变量的分布密度（2）性质： ； ； 在连续点处，； （离散不一定为0）；（3）分布函数：（4）几种常见分布 均匀分布：如果，则称在上服从均匀分布。 指数分布：，无记忆性。 正态分布：如果，则称服从参数为的正态分布，记为：则 ，正态分布必用此公式。：，则Ch3 二维随机变量及其分布分布函数性质： ； ，； 关于 具有单调不减性； 关于具有右连续性； 分布律性质： ； 概率密度性质： ； ； 在的连续点处： ； ； 注：二维正态分布的边缘分布为一维正态分布,且与无关：，。独立 （2）独立性的判定定理： 离散型：独立 ；独立 或 连续型：独立 ；独立 或 如与独立，则 与 独立，但 与不一定独立 若且独立，则 ，CH4 数字特征数字期望定义：（1） 设为离散型随机变量，其分布律为 ，如果收敛，则称为的数学期望，记为，即 注：如的取值仅有有限个，则一定存在，否则，不一定存在。（2）设为连续型随机变量，其分布密度为，如果收敛，则称为的数学期望，记为，即 注：如果的分布密度仅在有限区域上有有效值，则一定存在。（3）函数的期望： 为离散型：； 为连续型：（4） 二维随机变量函数的期望： 为离散型：； 为连续型：2、性质：（1）；（2）；（3），对，；（4）如独立，则，一般，如相互独立，则（二）方差1、定义：2、计算公式： 3、性质：（1）；（2）；（3） ；（4）如独立，则，一般，如相互独立，则 （5）几种常见分布的期望和方差： 两点分布： ， 二项分布： ， 泊松分布：