清华高等代数讲义(下).pdf

1 第二学期第一次课第二学期第一次课第二学期第一次课第二学期第一次课 第五章第五章第五章第五章 3 实与复二次型的分类实与复二次型的分类实与复二次型的分类实与复二次型的分类 1 1 1 1 复复复复 实二次型的规范形实二次型的规范形实二次型的规范形实二次型的规范形 定理定理定理定理 复数域上的任一二次型f在可逆变数替换下都可化为规范形 22 1r zz L 其中r是f的秩秩秩秩 复二次型的规范形是唯一的 证明证明证明证明 复数域 C C C C 上给定二次型 n i n j jiij xxaf 11 jiij aa 设它在可逆线性变数替换 X TZ 下变为标准型 2 22 2 11 zdzd 2 nnz d 这相当于在 C C C C 上 n 维线性空间 V 内做一个基变换 T n21n21 使对称双线性函数 f 在新基下的矩阵成对角形 即 f ijiji d 设 21 dd n d中有 r 个不为零 只要把 n21 的次序重新排列一下 就可以使不 为零的 i d排在前面 而后面 n r 个 i d全为零 因此 不妨设 f 的标准型为 2 22 2 11 zdzd 2 rrz d i d r 2 1 0 i f 的矩阵为 A ij a 有 AT T D 0 0 2 1 O O r d d d 因 T 可逆 r D r A 故 D 中主对角线上非零元素个数 r r D r A f 的秩 因为在复数域内任意一个数都可以开平方 所以可以对上述标准型再做如下可逆线性变 数替换 其中 i d为 i d的任一平方根 2 n r r r n r r z z z z d d u u u u U M M O O M M 1 1 1 1 1 1 1 于是 f 变作 22 2 2 1r uuu L 定理定理定理定理 实数域上的任一二次型f在可逆变数替换下都可化为规范形 22 1 22 1qppp zzzz LL 其中正平方项的个数p称为f的正惯性指数正惯性指数正惯性指数正惯性指数 负平方项的个数q称为f的负惯性指数负惯性指数负惯性指数负惯性指数 qp 称为f的符号差符号差符号差符号差 qp 是f的秩秩秩秩 实二次型的规范形是唯一的 证明证明证明证明 在实数域 R R R R 上给定二次型 n i n j jiij xxaf 11 jiij aa 设 f 的秩为 r 由上一定理的证明可知 存在 R R R R 上可逆线性变数替换 X TZ 使 f 化为标准 型 2 22 2 11 zdzd 2 rrz d 其中 21 dd r d为非零实数 按同样的道理 不妨设前 p 个 21 dd p d为正数 而余 下 r p 个 rp dd 1 L 为负数 因为在 R R R R 内任何正数均可开平方 故可做 R R R R 内可逆线性变 数替换 nn rr rrr ppp ppp zu zu zdu zdu zdu zdu LLLLLLLLLL LLLLLLL LLLL 11 111 111 于是二次型化作 3 22 1 22 1rpp uuuu LL 其中rp 0 现在证规范型的唯一性 规范型中的 r 等于 f 的秩 是唯一确定的 我们只需证明正平 方项的个数 p 也是唯一确定的就可以了 设 f 有两个规范型 22 1 22 1rpp uuuu LL 22 1 22 1rqq vvvv LL 按命题 2 2 的推论 这表明在 R R R R 上 n 维线性空间 V 内存在一组基 n21 使 当 nn uu L 11 时 f Q 22 1 22 1rpp uuuu LL 在 V 内又存在一组基 n21 使当 nn vv L 11 时 f Q 22 1 22 1rqq vvvv LL 现令 M L p L 1 则当0 M时 pp uu L 11 i u不全为零 于是 f Q0 22 1 p uuL 又令 N L nq 1 L 则当N 时 有 nnqq vv L 11 于是 f Q0 22 1 rq vvL 这表明 0 NM 按维数公式 我们有 dimdim dim dimqnpNMNMVn 这表明0 qp 即qp 由于 p q 地位对称 同理应有pq 于是 p q 第二学期第二次课第二学期第二次课第二学期第二次课第二学期第二次课 2 2 2 2 正定二次型正定二次型正定二次型正定二次型 正惯性指数等于变元个数的实二次型称为正定二次型正定二次型正定二次型正定二次型 正定二次型的 实对称 矩阵称为正定矩阵正定矩阵正定矩阵正定矩阵 设 A ij a 为 n 阶实对称矩阵 称 A 的 r 阶子式 r r A L L 21 21 为方阵的顺序主子式顺序主子式顺序主子式顺序主子式 定理定理定理定理 设f是实二次型 则下述四条等价 i f正定 ii f的矩阵TTA 其中T为可逆阵 4 iii f对应的二次型函数 0 f QR 0 n iv f的矩阵的所有顺序主子式都大于 0 证明证明证明证明 由命题 2 2 知 i 与 ii 等价 i 与 ii 等价有一个很有用的推论 正定 矩阵的行列式大于零 i iii 在 V 的某一组基 n21 下 f Q的解析表达式为 若 nn uu L 11 f Q 22 2 2 1n uuu L 显然有 0 f QR 0 n iii i 设AXXf 的规范型为 22 1 22 1rpp uuuu LL 则上式为 f Q在 V 的某一组基 n21 下的解析表达式 若 r n 则 nf Q 0 与假设矛盾 故 r n 而若 p f QM 由 i 与 ii 的等价性的推论知 k k A L L 21 21 0 iv i 对 n 做数学归纳法 n 1 时结论是显然的 现设对 n 1 个变元的实二次型命 题成立 考察 V 的子空间 M L 1n21 f 限制在 M 内 在基 1n21 下的 矩阵为 111211 122221 111211 1 nnnn n n n aaa aaa aaa A L MMM L L 其各阶顺序主子式 0 按归纳假设 0 0 f QM 于是 11 nn EA合同于 于是M内存在一组基 1 n21 使f在此基下的矩阵为 1 n E 将 1 n21 添 加 成为 V 的一组基 令 5 1 1 n i ii f 则 1 n21 与 1 n21 等价 也是 V 的一组基 且0 if 故 f 在 1 n21 下的矩阵为 0 0 1 f E B n B 与 A 合同 有 0 BATTTRMnT 使 于是 0 2 ATBfd 令 1 d n 则 n21 为V的一组基 且在此基下 f的矩阵为 n E 即A合同于 n E 从而 f 正定 最后 我们指出 n 元实二次型可分为如下 5 类 1 1 1 1 正定二次型正定二次型正定二次型正定二次型 正惯性指数 秩 n 2 2 2 2 半正定二次型半正定二次型半正定二次型半正定二次型 正惯性指数 秩 3 3 3 3 负定二次型负定二次型负定二次型负定二次型 负惯性指数 秩 n 4 4 4 4 半负定二次型半负定二次型半负定二次型半负定二次型 负惯性指数 秩 5 5 5 5 不定二次型不定二次型不定二次型不定二次型 其他 第二学期第三次课第二学期第三次课第二学期第三次课第二学期第三次课 第六章第六章第六章第六章 带度量的线性空间带度量的线性空间带度量的线性空间带度量的线性空间 1 欧几里得空间欧几里得空间欧几里得空间欧几里得空间 设f是 实 线 性 空 间V上 的 一 个 正 定 对 称 的 双 线 性 函 数 则 V f称为向量 与的内积内积内积内积 具有内积的实线性空间称为欧几里欧几里欧几里欧几里 得空间得空间得空间得空间 简称欧氏空间欧氏空间欧氏空间欧氏空间 对任意 V 定义 为向量 的长度长度长度长度或模模模模 1 时 称 为单位向量单位向量单位向量单位向量 命题命题命题命题 1 1 1 1 1 1 1 1 柯西柯西柯西柯西 布尼雅可夫斯基不等式布尼雅可夫斯基不等式布尼雅可夫斯基不等式布尼雅可夫斯基不等式 对欧氏空间 V 内任意两个向量 有 证明证明证明证明 t t 0 对任意 t R R R R 成立 而 6 t t t 2 2t 0 4 4 2 故 由命题 1 1 可定义二向量 与的夹角夹角夹角夹角 arccos 如果 0 则称 与正交正交正交正交 设 n21 是 n 维欧氏空间 V 的一组基 令 21 22212 12111 nnnn n n G L MMM L L 称 G 为内积 在基 n21 下的度量矩阵度量矩阵度量矩阵度量矩阵 G 是实正定二次型在这组基下的矩阵 一定是实对称矩阵 并且是正定的 命题命题命题命题 1 2 1 2 1 2 1 2 设欧氏空间 V 内 s 个非零向量 s21 L两两正交 则它们线性无关 证明证明证明证明 假如 0 s2211 s kkkL 两边用 i 作内积 得0 i k i 1 2 s 如果 n 维欧氏空间 V 内有 n 个两两正交的单位向量 n21 则由命题 1 2 可知 它们是线性无关的 从而是 V 的一组基 称为 V 的一组标准正交基标准正交基标准正交基标准正交基 显然 内积在标准正交基下的度量矩阵是单位矩阵 E 设 n21 是 V 的一组基 内积在此基下的度量矩阵为 G G 正定 故存在实可逆 阵 T 使EGTT 现令 n21 n21 T 易验证 n21 就 是一组标准正交基 这说明标准正交基总是存在的 设 R R R R 上 n 阶方阵 T 满足 ETT 则称 T 是正交矩阵正交矩阵正交矩阵正交矩阵 7 命题命题命题命题 1 31 31 31 3 n21 是 V 的一组标准正交基 令 n21 n21 T 则 n21 是一组标准正交基当且仅当 T 是正交矩阵 证明证明证明证明 必要性 内积在不同基下的度量矩阵合同 故 EETT 即ETT T 是正交矩阵 充分性 T 是正交阵 故可逆 于是 n21 也是一组基 设内积在此基下的 度量矩阵为 G 则 GEETT 从而 n21 是标准正交基 命题 1 3 给出了正交矩阵的一个等价定义 正交矩阵就是两组标准正交基间的过度矩 阵 下面我们介绍标准正交基的求法 这个方法通常叫做施密特施密特施密特施密特 Schmidt Schmidt Schmidt Schmidt 正交化方法正交化方法正交化方法正交化方法 把问题提得一般一些 给定 V 中一个线性无关的向量组 s21 L 要求作出一个新向量组 s21 满足 1 L i21 L i21 L 2 s21 两两正交 具体做法如下 2 22 23 1 11 13 33 1 11 12 22 11 1s 1k k kk ks ss i 1k k kk k1i 1i1i LLLLL LLLLL 8 不难看出 s21 满足所要求的条件 设 M 是 n 维欧氏空间 V 的一个子空间 易知 M 关于 V 的内积也成一个欧氏空间 定义 0 有对一切MVM 称 M为 M 的正交补正交补正交补正交补 显然 M也是 V 的子空间 命题命题命题命题 1 51 51 51 5 设M是n维欧氏空间V的子空间 则 MMV 证明证明证明证明 设 MM 则由正交补的定义得 0 所以0 这说明 MM 是 直 和 取 M的 一 组 标 准 正 交 基 s21 先 将 它 扩 为V 的 一 组 基 s21 n1s L 将它先正交化 再单位化 由于 s21 已经是两两正 交的单位向量 故先正交化 再单位化后保持不变 得到 s21 n1s L 显然 n1s L 与 M 中向量都正交 故 n1s L M 于是 V L s21 L n1s L MMV 从而 MMV 推论推论推论推论 n维欧氏空间V中的任一两两正交的单位向量组 s21 都可以扩充为 V的标准正交基 证 明证 明证 明证 明 设 M L s21 在 M中 取 出 一 组标 准 正交 基 n1s L 则 s21 n1s L 就是 V 的一组标准正交基 最后介绍一下欧氏空间同构的概念 设 21 V V是两个欧氏空间 如果存在 21 VV 到的一个映射 满足 1 是 21 VV 到的线性空间的同构映射 2 保持内积关系 则称 是欧氏空间 21 VV 到欧氏空间的同构映射同构映射同构映射同构映射 称 21 VV 与同构同构同构同构 第六章第六章第六章第六章 2 欧氏空间中特殊的线性变换欧氏空间中特殊的线性变换欧氏空间中特殊的线性变换欧氏空间中特殊的线性变换 1 1 1 1 正交变换正交变换正交变换正交变换 设 V 是 n 维欧氏空间 A A A A 是 V 内一个线性变换 如果对任意V 都有 A A A A A A A A 则称 A A A A 是 V 内的一个正交变换正交变换正交变换正交变换 正交变换的四个等价表述 9 命题命题命题命题 2 12 12 12 1 A A A A 是 n 维欧氏空间 V 内的一个线性变换 则下列命题等价 1 A A A A 是正交变换 2 A A A A 把 V 的标准正交基变为标准正交基 3 A A A A 在标准正交基下的矩阵为正交矩阵 4 对任意V A A A A 证明证明证明证明 1 2 设 n21 是 V 的一组标准正交基 则由正交变换的定义 A A A A i A A ii ii 1 A A A A i A A A A j i j 0 i j 于是 A A A A 1 A A A A 2 L A A A A n 是 V 的标准正交基 2 3 A A A A 在 n21 下的矩阵 A 恰是 n21 到 A A A A 1 A A A A 2 L A A A A n 的过渡矩阵 从而 A 是正交矩阵 3 4 设 A A A A 在标准正交基 n21 下的矩阵为 A 设 n i ii a 1 则 A A A A A A A A n21 A n a a M 1 n21 A n a a M 1 n a a AM 1 n a a AM 1 AAaa n L 1 n a a M 1 n aaL 1 n a a M 1 开方即得 A A A A 4 1 如果 A A A A 保持向量长度不变 则 A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A 展开 A A A A A A A A 2 A A A A A A A A A A A A A A A A 2 利用前两个式子 得 A A A A A A A A 证明证明证明证明 显然 E E E E nO 如果 A BA BA BA B nO 则 ABABABAB AB AB AB AB B B B B B B B B 故 ABABABAB nO 若 A A A A nO 则显然可逆 于是 E E E E E E E E A A A A A A A A 1 A A A A A A A A 1 A A A A 1 A A A A 1 从而 A A A A 1 nO 于是 nO构成群 10 由于正交矩阵的行列式只可能为 1 或 1 我们以此对正交变换进行分类 如果正交变换 A A A A 在某一组基下的矩阵的行列式为 1 则称 A A A A 为第一类正交变换第一类正交变换第一类正交变换第一类正交变换 如果行列式为 1 则称 A A A A 为第第第第 二类正交变换二类正交变换二类正交变换二类正交变换 第二学期第五次课第二学期第五次课第二学期第五次课第二学期第五次课 第六章第六章第六章第六章 2 欧氏空间中特殊的线性变换欧氏空间中特殊的线性变换欧氏空间中特殊的线性变换欧氏空间中特殊的线性变换 续续续续 命题命题命题命题 正交矩阵的特征多项式的根的绝对值等于 1 证明证明证明证明 设 C C C C 是正交矩阵 A 的特征多项式的根 则 0 齐次线性方程组 E A X 0 在 C C C C n 内有非零解向量 n a a M 1 显然 A A 1 A 1 A 1 从而 1 推论推论推论推论 正交矩阵的特征值只能是 1 命题命题命题命题 设A A A A是n维欧氏空间V上的正交变换 若A A A A的特征多项式有一个根 0 e i sincosi 则在V内存在互相正交的单位向量 21 使得 A A A A sincos 211 A A A A cossin 212 证明见课本 22 23 页 命题命题命题命题 n维欧氏空间 V 上的正交变换A A A A的不变子空间 M 的正交补 M仍是不变子空间 证明证明证明证明 取 V 的一组标准正交基 n21 使 r21 是 M 的标准正交基 而 n2r1r 是 M的标准正交基 由A A A A 1 A A A A n 仍是 V 的标准正交基 及 A A A AM i i 1 2 r 可知A A A A M j j r 1 n 于是 M仍是不变子空间 定理定理定理定理 设A A A A是n维欧氏空间V上的正交变换 则A A A A在V的某组标准正交基下的矩阵呈准 对角形 其主对角线由1 和如下的二阶子阵组成 11 cossin sincos ii ii 证明证明证明证明 对 n 做数学归纳法 第二学期第六次课第二学期第六次课第二学期第六次课第二学期第六次课 第六章第六章第六章第六章 3 对称变换对称变换对称变换对称变换 设 A A A A 是 n 维欧氏空间 V 内的一个线性变换 如果对 V 都有 A A A A A A A A 则称 A A A A 是 V 内的对称变换对称变换对称变换对称变换 命题命题命题命题 n维欧氏空间 V 上的线性变换A A A A是对称变换当且仅当它在标准正交基 n21 下的矩阵 A 是实对称矩阵 证明证明证明证明 设 n21 X n21 Y 则 A A A A YAX A A A A AYX 由 A A A A A A A A 可得AA 命题命题命题命题 实对称矩阵 A 的特征根都是实数 证明证明证明证明 设 是 A 的特征多项式在 C C C C 内的根 则存在 n 维非零复向量 X 使 AX X 于是 XAX 从而XXAXX 另一方面 XXAXX 得到 命题命题命题命题 n维欧氏空间 V 上的对称变换A A A A的属于不同特征值 21 的特征向量 21 必正 交 证明证明证明证明 A A A A 1 1 1 A A A A 2 2 2 于是 1 21 A A A A 1 2 1 A A A A 2 2 21 由于 1 2 故 21 0 命题命题命题命题 n维欧氏空间上 V 的对称变换A A A A的不变子空间 M 的正交补 M仍是不变子空间 证明证明证明证明 M M 因A A A A M 有 0 A A A A A A A A 这表明 A A A A M 故 M是不变子空间 定理定理定理定理 设n维欧氏空间上的对称变换某组标准正交基下的矩阵呈对角形 证明证明证明证明 对维数 n 做数学归纳法 12 推论推论推论推论 设A是n阶实对称矩阵 则存在n阶正交矩阵T 使得 1 ATTATT 为对角 阵 证证证证明明明明 把 A 看作 V 上对称变换A A A A在一组标准正交基下的矩阵 由上述定理 A A A A在另一组标 准正交基下的矩阵是对角阵 设过渡矩阵为 T 则易证 1 ATTATT 是对角阵 推论推论推论推论 n元实二次型经过适当的正交线性变数替换可以化为标准形 提示 n元实二次型的矩阵是实对称矩阵 由上一推论可得 最后介绍用正交矩阵将实对称矩阵化成对角形的计算方法 亦即用正交线性变数替换将 n元实二次型化为标准形的计算方法 1 计算特征多项式 并求出他的全部根 两两不同者 k21 2 对每个 i 求齐次线性方程组 i E A X 0 的一个基础解系 1 i X 2i X i it X 它们 是解空间 i M 的一组基 3 在欧氏空间 R R R R n 内将 1 i X 2i X i it X正交化 再单位化 得 i M 的一组标准正交基 12 i iiit ZZZL 此时 1 iknij Z L j 1 2 i t 即为 V i 的一组标准正交基 而所寻 求的正交矩阵 T 应为 n21 到 k21 kt1kt221t 111 LLLL 的过渡矩阵 其列向量组应为 k21 kt1kt221t 111 Z Z Z Z Z ZLLLL 此时相应的对角矩阵 D 为 kk 22 11 k k 2 2 1 1 t t t D 个 个 个 M O O O O 第二学期第七次课第二学期第七次课第二学期第七次课第二学期第七次课 第六章第六章第六章第六章 3 酉空间酉空间酉空间酉空间 13 设 V 是复线性空间 V V 上的一个函数 如果满足 i 对第一个变量是线性的 ii iii V 0 且 0 0 则称 为向量 的内积内积内积内积 具有内积的复线性空间称为酉空间酉空间酉空间酉空间 欧氏空间在复线性空 间上的推广 称为酉空间中向量 的长度长度长度长度 1 时 称 为单位向量单位向量单位向量单位向量 0 时 称二向量 正交正交正交正交 同欧氏空间类似 我们有如下命题 命题命题命题命题 酉空间中两两正交的非零向量组是线性无关的 类似地 我们把 n 维酉空间 V 中由 n 个两两正交的单位向量组成的向量组称为 V 的一组 标准正交基标准正交基标准正交基标准正交基 标准正交基的求法 施密特施密特施密特施密特 Schmidt Schmidt Schmidt Schmidt 正交化正交化正交化正交化 2 22 23 1 11 13 33 1 11 12 22 11 1s 1k k kk ks ss i 1k k kk k1i 1i1i LLLLL LLLLL 设 U 是 n 阶复矩阵 如果 1 UU 则称 U 是一个酉矩阵酉矩阵酉矩阵酉矩阵 命题命题命题命题 3 23 23 23 2 n21 是 n 维酉空间 V 的一组标准正交基 令 n21 n21 U 则 n21 是一组标准正交基当且仅当 U 是酉矩阵 证明证明证明证明 必要性 若 n21 是标准正交基 则 ji ij 而 U 的第 j 个列向量为 j 在 n21 下的坐标 故 14 ji njniji uuuu L 11 ij 这表示EUU EUU U 为酉矩阵 充分性 若 U 为酉矩阵 则 ji njniji uuuu L 11 ij n21 是标准正交基 设 M 是 n 维酉空间 V 的一个子空间 定义 0 有对一切MVM 称 M为 M 的正交补正交补正交补正交补 显然 M也是 V 的子空间 命题命题命题命题 设W是n维酉空间V的子空间 则 WWV 证明证明证明证明 同欧氏空间 推论推论推论推论 n维酉空间V中的任一两两正交的单位向量组都可以扩充为V的标准正交基 设 21 V V是两个酉空间 如果存在 21 VV到的一个映射 满足 1 是 21 VV到的线性空间的同构映射 2 保持内积关系 则称 是酉空间 21 VV到酉空间的同构映射同构映射同构映射同构映射 称 21 VV与同构同构同构同构 酉空间 V 上的线性变换U U U U如果满足 U U U U U U U U 对一切 V 则称U U U U是一个 酉变换酉变换酉变换酉变换 正交变换在酉空间上的推广 酉变换的四个等价表述 命题命题命题命题 U U U U是 n 维酉空间 V 上的线性变换 则下列命题等价 1 U U U U是一个酉变换 2 V 有 U U U U 3 U U U U把标准正交基变为标准正交基 4 U U U U在标准正交基下的矩阵是酉矩阵 证明证明证明证明 1 2 显然 2 3 设 n21 是标准正交基 由假设知只用证 U U U U i U U U U j 0 i j 时 V 有 U U U U U U U U U U U U 2 2 以 k i j 代入上式 在分别令 k 1 及 I 可得 U U U U i U U U U j 0 15 3 4 由命题 3 2 可得 4 1 设U U U U在标准正交基 n21 下的矩阵U是酉矩阵 由命题3 2知U U U U 1 U U U U n 也是标准正交基 设 n2211 n xxx n2211 n yyy 则 U U U U 1 xU U U U 1 n xU U U U n U U U U 1 yU U U U 1 n yU U U U n 于是 U U U U U U U U nny xyx L 11 即 U U U U 是酉变换 命题命题命题命题 n维酉空间上的酉变换的全体 关于映射的复合 构成群 称为n维酉变换群酉变换群酉变换群酉变换群 记为 U U U U n 证明证明证明证明 与正交变换群类似 平行地 n阶酉矩阵的全体 对于矩阵的乘法 构成群 称为n阶酉群酉群酉群酉群 也记为 U U U U n 第二学期第八次课第二学期第八次课第二学期第八次课第二学期第八次课 设 A A A A 是 n 维酉空间 V 内的线性变换 如果 V 内的线性变换A A A A 满足 V 有 A A A A A A A A 则称A A A A 是 A A A A 的共轭变换 共轭变换共轭变换共轭变换 A A A A 为 A A A A 的共轭变换当且仅当它们在标准正交基下的矩阵互为共轭 转置 共轭变换的五条性质 1 E E E E E E E E 2 A A A A A A A A 3 kA A A A k A A A A 4 A A A A B B B B A A A A B B B B 5 ABABABAB B B B B A A A A 如果A A A A A A A A 则称 A A A A 是一个厄米特变换厄米特变换厄米特变换厄米特变换 设 A 是 n 阶复矩阵 如果 A A 则称 A 是一个厄米特矩阵厄米特矩阵厄米特矩阵厄米特矩阵 n 个复变量 n21 xxx 的二次齐次函数 n i n j jiij xxaf 11 jiij aa 称为一个厄米特二次型厄米特二次型厄米特二次型厄米特二次型 对称变换 实对称矩阵 实二次型的推广 16 酉变换和厄米特变换都是下面的正规变换的特殊情形 如果 A A A A A A A A A A A A A A A A 则称 A A A A 为一个正规变换 正规变换正规变换正规变换 将酉变换的性质推广 有一般的结果 命题命题命题命题 酉空间 V 上的线性变换 A A A A 的不变子空间 M 的正交补 M是共轭变换 A A A A 的不变子 空间 证明证明证明证明 M M 有 A A A A A A A A 0 这表明 A A A A M 命题命题命题命题 酉空间上的正规变换 A A A A 的属于特征值 的特征向量 的是共轭变换 A A A A 的属于特 征值 的特征向量 证明证明证明证明 按假设 有 A A A A 则 A A A A A A A A A A A A E E E E A A A A A A A A E E E E A A A A E E E E A A A A E E E E A A A A E E E E 0 0 从而 A A A A 命题命题命题命题 酉空间上的正规变换的属于不同特征值的特征向量互相正交 证明证明证明证明 设 A A A A A A A A 则 A A A A A A A A 必有 0 定理定理定理定理 n维酉空间上的正规变换在某组标准正交基下的矩阵是对角阵 证明证明证明证明 对维数 n 做数学归纳法 推论推论推论推论 n维酉空间上的酉变换在某组标准正交基下的矩阵是对角阵 命题命题命题命题 厄米特变换的特征值都是实数 证明证明证明证明 若 A A A A 则 A A A A A A A A 是实数 推论推论推论推论 n维酉空间上的厄米特变换在某组标准正交基下的矩阵是实对角阵 定理定理定理定理 厄米特二次型f在适当的酉变数替换下可以化为标准形 17 111nnn yydyydf L 其中 n dd 1 L都是实数 证明证明证明证明 f 的矩阵 A 是一个厄米特矩阵 于是存在酉矩阵 U 使 n d d d O 2 1 DAUU 为实对角矩阵 令 X UY 即可 推广欧氏空间上的度量的概念 用以统一处理洛仑兹变换和辛变换 数域K上的n维线性空间V的任一满秩双线性函数f都可以定义V上的度量度量度量度量 以及一 组基的度量矩阵度量矩阵度量矩阵度量矩阵 nnji f G 在此度量下同样可定义一个线性变换的共轭变换一个线性变换的共轭变换一个线性变换的共轭变换一个线性变换的共轭变换和正正正正 交变换交变换交变换交变换 设 A A A A 是 V 上线性变换 如果存在线性变换 A A A A 使 f A A A A f A A A A V 则称 A A A A 是 A A A A 的 关于 f 的 共轭变换 如果线性变换 A A A A 满足 f A A A A A A A A f V 则称 A A A A 为 关于 f 的 正交变换 在给定的基 度量矩阵为G 下一个线性变换 A A A A 矩阵为A 的共轭变换的矩阵 GAGA 1 这是因为 f A A A A f A A A A YGAXGY AX 从而 GAGA 如果 A A A A 是正交变换 A A A A 的共轭变换等于 A A A A 1 因为 f f A A A A A A A A f A A A A A A A A 故 f A A A A A A A A E E E E 0 由 f 非退化知 A A A A A A A A E E E E 第二学期第九次课第二学期第九次课第二学期第九次课第二学期第九次课 第六章第六章第六章第六章 4 四维时空空间与辛空间四维时空空间与辛空间四维时空空间与辛空间四维时空空间与辛空间 在狭义相对论中 用三个空间坐标和一个时间坐标来刻画一个物体的运动 称为四维时四维时四维时四维时 空空间空空间空空间空空间 在 R R R R 4 上 规 定 一 个 特 殊 的 度 量 f 44332211 yxyxyxyx 其 中 18 4321 xxxx 4321 yyyy 称为四维时空空间的度量四维时空空间的度量四维时空空间的度量四维时空空间的度量 令 1000 0100 0010 0001 I 在 R R R R 4 内取定基 1 1 0 0 0 2 0 1 0 0 3 0 0 1 0 4 0 0 0 1 设 1 2 3 4 X 1 2 3 4 Y 则 f IY X 如果 R R R R 4 上的线性变换 A A A A 关于上述内积是正交变换 则称为广义洛仑兹变换广义洛仑兹变换广义洛仑兹变换广义洛仑兹变换 命题命题命题命题 4 14 14 14 1 设 A A A A 是四维时空空间 R R R R 4 上的一个线性变换 则有 i A A A A 为广义洛仑兹变换 它在基 1 2 3 4 下的矩阵 A 满足IIAA ii 实数域上 4 阶方阵 A 满足IIAA 它满足IAAI iii 如果 A A A A 为广义洛仑兹变换 设它在基 1 2 3 4 下的矩阵为 A ij a 则 44 a 1 证明证明证明证明 i A A A A 为广义洛仑兹变换 f A A A A A A A A f IYXYIAAX 而这 又等价于IIAA ii 若IIAA 则EIIAIA 2 这说明EAIAIIAIA 于是的逆是 两边左 乘 I 得IAAI 反之 若IAAI 则 2 IEIAIAEIAIAI两边右乘于是 得IIAA iii 按 i 有IIAA 考察两边方阵的第四行第四列元素 得 1 2 44 2 34 2 24 2 14 aaaa 即1 11 44 2 34 2 24 2 14 2 44 aaaaa于是 向量 4321 xxxx 如果满足0 2 4 2 3 2 2 2 1 x则称为正类时向量正类时向量正类时向量正类时向量 若1 44 a 则称 A A A A 为洛仑兹变换洛仑兹变换洛仑兹变换洛仑兹变换 命题命题命题命题 广义洛仑兹变换是洛仑兹变换的充分必要条件是它在正类时向量上的作用封闭 19 证明证明证明证明 设 A A A A 在基 1 2 3 4 下的矩阵为 A ij a 如果 4321 xxxx 为正类 时向量 则 A A A A 在 1 2 3 4 下的坐标为 4 3 2 1 4 3 2 1 44434241 34333231 24232221 14131211 x x x x x x x x aaaa aaaa aaaa aaaa 因 A A A A 为广义洛仑兹变换 故 2 4 2 3 2 2 2 1 xxxx f A A A A A A A A f 2 4 2 3 2 2 2 1 xxxx 0 即 A A A A 仍为类时向量 而 4443432421414 xaxaxaxax 由于IAAI 比较两边第四行第四列元素 有 1 2 44 2 43 2 42 2 41 aaaa 由柯西 布尼雅可夫斯基不等式 得 2 343242141 xaxaxa 2 43 2 42 2 41 aaa 2 3 2 2 2 1 xxx 2 4 2 44 2 4 2 44 1xaxa 即 444343242141 xaxaxaxax 由此可知 10 444 ax 命题得证 命题命题命题命题 洛仑兹变换所组成的集合 L 关于映射的复合 构成群 称为洛仑兹群洛仑兹群洛仑兹群洛仑兹群 证明证明证明证明 i 显然 E E E E L ii 若 A A A A B B B B L 对 R R R R 4 有 ABABABAB ABABABAB B B B B B B B B 故 ABABABAB 是广义洛仑兹变换 现设 为一正类时向量 则 B B B B 是正类时向量 同理 ABABABAB 也是正 类时向量 故 ABABABAB L iii 设 A A A A L 显然 A A A A 可逆 对 R R R R 4 有 AAAAAAAA 1 AAAAAAAA 1 A A A A 1 A A A A 1 于是 A A A A 1 是广义洛仑兹变换 现设 为一正类时向量 假如 A A A A 1 不是正类时向量 但它仍 为类时向量 由于 A A A A L 故 A A A A A A A A 1 不是正类时向量 矛盾 由 i ii iii 可知 L 是一个群 20 定义定义定义定义 设 V 是复数域 C C C C 上 n 2m 维线性空间 f 是 V 内一个满秩的反对称双线性函 数 定义 V 内两个向量 的内积为 f 具有这种内积的线性空间称为辛空间辛空间辛空间辛空间 若 0 则称 正交正交正交正交 设 n21 为 V 的一组基 令 ji ij g i j 1 2 n 称 g G ij 为这组基的度量矩阵基的度量矩阵基的度量矩阵基的度量矩阵 它就是 f 在这组基下的矩阵 命题命题命题命题 设 V 是 n 2m 维辛空间 则在 V 内存在一组基 n21 其度量矩阵为 A A A G O 其中 01 10 A 这样的基称为第一类辛基第一类辛基第一类辛基第一类辛基 证明证明证明证明 对 m 作数学归纳法 推论推论推论推论 设 V 是 n 2m 维辛空间 则在 V 内存在一组基 n21 其度量矩阵为 0E E0 其中 E 为 m 阶单位矩阵 这种基称为第二类辛基第二类辛基第二类辛基第二类辛基 证明证明证明证明 设 n21 是 V 的一组第一类辛基 令 m 2 1i i2im1i2i L 通过计算 不难验证 n21 即为所求的基 定义定义定义定义 设 V 是 n 2m 维辛空间 A A A A 是 V 上一个线性变换 如果 A A A A 满足 A A A A A A A A V 则称 A A A A 是 V 内一个辛变换辛变换辛变换辛变换 偶数维辛空间上的正交变换 命题命题命题命题 偶数维辛空间上的线性变换 A A A A 是辛变换的充分必要条件是 A A A A 可逆且它的逆等于它 的共轭变换 21 证明证明证明证明 如果 A A A A 是辛变换 则 V 有 A A A A A A A A A A A A A A A A 从而 A A A A A A A A E E E E 0 由于内积是满秩的 故 A A A A A A A A E E E E 0 对 V 成立 故 A A A A A A A A E E E E A A A A 可逆且它的逆等于它的共轭变换 反之 若 A A A A 可逆且它的逆等于它的共轭变换 则有 A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A 是辛变换 设 A A A A 是辛空间 V 内一个辛变换 又设 mm2211 L为 V 内一组第一类辛基 此 时其度量矩阵为 01 10 01 10 JO A A A A 在此组基下的矩阵为A 则有JJAA 满足此条件的 n 2m阶复方阵 A 称为一个 2m 阶辛矩辛矩辛矩辛矩 阵阵阵阵 命题命题命题命题 m2维辛空间上所有辛变换构成群 S 称为m2维辛变换群辛变换群辛变换群辛变换群 所有的m2阶辛矩阵 的全体构成群 称为m2阶辛群辛群辛群辛群 证明证明证明证明 i 显然 E E E E S ii 如果 A A A A B B B B S 则 ABABABAB ABABABAB B B B B B B B B 从而 ABABABAB S iii 如果 A A A A S 则 AAAAAAAA 1 AAAAAAAA 1 A A A A 1 A A A A 1 从而 A A A A 1 S 于是 S 是一个群 m2阶辛矩阵的全体构成群的证明作为练习 第二学期第十次课第二学期第十次课第二学期第十次课第二学期第十次课 第七章第七章第七章第七章 线性变换的线性变换的线性变换的线性变换的 Jordan 标准型标准型标准型标准型 1 1 1 1 幂零线性变换的幂零线性变换的幂零线性变换的幂零线性变换的 Jordan 标准型标准型标准型标准型 A A A A 是数域 K 上 n 维线性空间 V 上的线性变换 如果存在正整数 m 使 A A A A m 0 0 0 0 则称 A A A A 是一个 幂零线性变换幂零线性变换幂零线性变换幂零线性变换 对数域 K 上 n 阶方阵 A 如果存在正整数 m 使 m A 0 则称 A 为幂零矩阵幂零矩阵幂零矩阵幂零矩阵 22 命题命题命题命题 幂零线性变换的特征值等于 0 证明证明证明证明 设 是 V 上幂零线性变换 A A A A 的特征值 则存在 V 中非零向量 使得 A A A A 假设 m A 0 0 0 0 则 A A A A m m 0 从而 m 0 0 设 A A A A 是数域 K 上 n 维线性空间 V 上的一个幂零线性变换 取 V 中任意非零向量 则存在 最小的正整数 k 使得 A A A A 1k 0 但 A A A A k 0 可以证明 向量组 A A A A A A A A 1k 是线性 无关的 令I L A A A A A A A A 1k 则I 为A A A A的一个不变子空间 且dim I k 称 I 为 A A A A 的循环不变子空间循环不变子空间循环不变子空间循环不变子空间 A A A A 限制在 I 中 在基 A A A A 1k A A A A 下的矩阵为 0 10 0 0 10 J O OO O 定义定义定义定义 形如 s 2 1 J 0 0 J J J O ii nn i 00 1 0 010 J O O 的准对角矩阵称为 JordanJordanJordanJordan 形矩阵形矩阵形矩阵形矩阵 而主对角线上的小块方阵 i J称为 JordanJordanJordanJordan 块块块块 命题命题命题命题 数域K上的n维线性空间 V 上的幂零线性变换 A A A A 在某组基下的矩阵可以成为 Jordan 形的充分必要条件是V可以分解为 A A A A 的循环不变子空间的直和 证明证明证明证明 必要性 设 A A A A 在某组基下的矩阵可以成为 Jordan 形 则 V 可分解为 A A A A 的不变子空间 的直和 V 1 M s2 MM L 且在 i M内存在一组基 i in2i1 i 使 A A A A 限制在 i M内在此基下的矩阵为 23 ii nn i 00 1 0 010 J O O 这表明 i M I i in 即 i M为 A A A A 的循环不变子空间 充分性 若 I I IV s21 L 在每个 I i 内选取基 A A A A 1ni i A A A A i i 则它们合并为 V 的一组基 在此组基下 A A A A 的矩阵即为 Jordan 形矩阵 定理定理定理定理 数域K上的n维线性空间 V 上的幂零线性变换 A A A A 在某组基下的矩阵可以成为 Jordan 形 证明证明证明证明 只用证 V 可以分解为 A A A A 的循环不变子空间的直和 对 n 作数学归纳法 第二学期第十一次课第二学期第十一次课第二学期第十一次课第二学期第十一次课 第七章第七章第七章第七章 2 2 2 2 一般线性变换的一般线性变换的一般线性变换的一般线性变换的 JordanJordanJordanJordan 标准型标准型标准型标准型 定义定义定义定义 形如 s 2 1 J 0 0 J J J O ii nn i i i i 0 1 01 J O O 的准对角矩阵称为 JordanJordanJordanJordan 形矩阵形矩阵形矩阵形矩阵 而主对角线上的小块方阵 i J称为 JoJoJoJordanrdanrdanrdan 块块块块 定理定理定理定理 设 A 是数域K上的n维线性空间V上的线性变换 如果 A 的特征值全属于K 则 A 在V的某组基下的矩阵为 Jordan 形 并且在不计 Jordan 块的意义下 Jordan 形是唯一 的 证明证明证明证明 对 n 作数学归纳法 定理定理定理定理 设A是数域K上的n阶方阵 如果A的特征值全属于K 则A在K上相似于 Jordan 形矩阵 并且在不计 Jordan 块顺序的意义下 Jordan 形是唯一的 证明证明证明证明 此定理就是上一定理用矩阵的语言叙述出来 Jordan 标准形的计算方法 设A是数域K上的n维线性空间V上的线性变换 为求出A的Jordan标准型 假设存在 24 可按如下步骤进行 1 先求 A 在V的一组基 n21 下的矩阵 A 2 求出 A 的全部不同特征值 t21 假设都属于数域 K 3 对每个 i 令EAB i 由公式 B r2 B r B r 11lll 计算出以 i 为特征值 阶为l的 Jordan 块个数 从 A A A A 的 Jordan 形 J 的特征多项式容易看出 以 i 为特征值的 Jordan 块的阶数之和等于特征值 i 的重数 由此可知是否已找出全部特征 值为 i 的 Jordan 块 或者从 B r B r 1 ll 等于 J 中以 i 为特征值而阶 l 1 的 Jordan 块 的个数这一点作出判断 4 将所获得的 Jordan 块按任意次序排列成准对角形 J 即为所求 第二学期第十二次课第二学期第十二次课第二学期第十二次课第二学期第十二次课 定义定义定义定义 设 A 是数域 K 上一个 n 阶方阵 g x 是 K 上一个 m 次多项式 如果 g A 0 则 g x 称为方阵 A 的一个化零多项式化零多