第2章 正投影基础.doc

第2章 正投影基础本章提要本章主要介绍投影法的基本概念和构成物体的基本几何元素点、线、面的投影特性、作图原理和方法；直线与直线、直线与平面的相对位置关系。为解决求直线的实长和平面的实形的问题，还介绍了点、线、面的变换投影面的方法。2.1投影法及三视图的形成2.1.1投影法在日常生活中人们注意到，当太阳光或灯光照射物体时，墙壁上或地面上会出现物体的影子。投影法就源自这种自然现象。如图2-1所示，平面P为投影面，不属于投影面的定点S为投影中心。过空间点A由投影中心可引直线SA，SA为投射线。投射线SA与投影面P的交点a，称作空间点A在投影面P上的投影。同理，点b是空间点B在投影面P上的投影（注：空间点以大写字母表示，其投影用相应的小写字母表示）。由此可知，投影法是投射线通过物体向预定投影面进行投影而得到图形的方法。图2-1投影法图图2-2中心投影法2.1.2投影法的分类投影法一般分为中心投影法和平行投影法两类。1、中心投影法 投射线从投影中心出发的投影法，称为中心投影法，所得到的投影称为中心投影，如图2-2所示，通过投影中心S作出ABC在投影面P上的投影：投射线SA、SB、SC分别与投影面P交于点a、b、c，而abc就是ABC在投影面P上的投影。在中心投影法中，ABC的投影abc的大小随投影中心S距离ABC的远近或者ABC距离投影面P的远近而变化。因此它不适合绘制机械图样。但是，根据中心投影法绘制的直观图立体感较强，适用于绘制建筑物的外观图。2、平行投影法投射线相互平行的投影法，称为平行投影法，所得到的投影称为平行投影。根据投射线与投影面的相对位置，平行投影法又分为：斜投影法和正投影法。（1）斜投影法 投射线倾斜于投影面时称为斜投影法，所得到的投影称为斜投影，如图2-3所示。（2）正投影法 投射线垂直于投影面时称为正投影法，所得到的投影称为正投影，如图2-4所示。绘制工程图样主要用正投影，今后如不作特别说明，“投影”即指“正投影”。图2-3 斜投影图2-4 正投影2.1.3平行投影的基本性质1、类似性在平行投影中，直线的投影一般还是直线。如图2-5所示，直线AB的投影仍为直线ab。平面图形的投影一般仍为原图形的类似形，如图2-4所示，三角形的投影仍为三角形。2、定比性若点在直线上，则点的投影必在该线的同面投影上，且该点分线段之比，投影后保持不变。如图2-6所示，点K在直线AB上，则点K在投影面P上的投影必落在ab上，若点K分AB成定比AK:KB，则点K的投影k亦分ab成相同比例，即ak:kb=AK:KB。图2-5类似性图2-6定比性3、实形性当直线或平面平行于投影面时，其投影反映原直线或原平面图形的实形。投影的这种性质，称为实形性，如图2-7所示。4、积聚性当直线或平面与投影线平行时，其投影积聚成一点或直线。如图2-8所示，这种投影性质称为投影的积聚性。图2-7实形性图2-8积聚性5、平行性在空间互相平行的两直线其投影仍互相平行。如图2-9所示，空间两直线ABCD，它们在P面上的投影abcd。图2-9平行性图2-10 三投影面体系的建立2.1.4三视图的形成一般机械工程图样大都是采用正投影法绘制的正投影图。用正投影法所绘制的图形称为视图。1、三投影面体系的建立如图2-10所示，三投影面体系由三个互相垂直的投影面组成。其中V面称为正立投影面，简称正面；H面称为水平投影面，简称水平面；W面称为侧立投影面，简称侧面。在三投影面体系中，两投影面的交线称为投影轴，V面与H面的交线为OX轴，H面与W面的交线为OY轴，V面与W面的交线为OZ轴。三条投影轴的交点为原点O。三个投影面把空间分成八个部分，称为八个分角。分角分别为、，如图2-10所示。2、三视图的形成如图2-11（a）所示，将物体放在三投影面体系内，分别向三个投影面投影，保持V面不动，将H面绕OX轴向下旋转90，W面绕OZ轴向右旋转90，与V面处于同一平面上，如图2-11（b）和2-11（c）所示。这样便得到的物体的三视图。V面上的视图称为主视图，H面上的视图称为俯视图，W面上的视图称为左视图。画图时，投影面的边框及投影轴不必画出，如图2-11（d）所示。（a）（b）（c）（d）图2-11三视图的形成图2-12三视图中的相对位置关系3、三视图中的相对位置关系主视图反映左右、上下关系，俯视图反映左右、前后关系，左视图反映前后、上下关系如图2-12所示。2.2点的投影点是最基本的几何元素，一切几何形体都可看成是点的集合。因此，我们应从点的投影出发开始研究形体的投影。2.2.1点在三投影面体系中的投影如图2-13（a）所示，第一分角内有一点A，将其分别向H、V、W面投影，得到水平投影a、正面投影a和侧面投影a。移去空间点A，保持V面不动，将H面绕OX轴向下旋转90，W面绕OZ轴向右旋转90，H、W面与V面处于同一平面，即得到点A的三面投影图，如图2-13（b）所示。图中OY轴被假想分为两条，随H面旋转的称为OYH轴，随W面旋转的称为OYW轴。投影轴中不必画出投影面的边界，如图2-13（c）所示。（a）（b）（c）图2-13 点在三投影面体系中的投影2.2.2点的直角坐标与三面投影规律如图2-10所示，若将三投影面体系当作直角坐标系，则投影面V、H、W相当于坐标面，投影轴OX、OY、OZ相当于坐标轴X、Y、Z，原点O相当于坐标原点O。原点把每一个轴分成两部分，并规定：OX轴从O向左为正，向右为负；OY轴向前为正，向后为负；OZ轴向上为正，向下为负。因此，第一分角内的点，其坐标值均为正。如图2-13（b）所示，点A的三面投影与其坐标间的关系如下：1、空间点的任一投影，均反映了该点的某两个坐标值，即a(xA,yA), a(xA,zA), a(yA, zA)。2、空间点的每一个坐标值，反映了该点到某投影面的距离，即：xA=aa=aaZ =A到W面的距离；yA=aaX=aaZ = A到V面的距离；zA=aaX= aa= A到H面的距离。由上可知，点A的任意两个投影反映了点的三个坐标值。有了点A的一组坐标（xA， yA， zA），就能唯一确定该点的三面投影（a ，a，a）。根据以上分析，可以得出点在三投影面体系中的投影规律：1、点的正面投影和水平投影的连线垂直于OX轴；2、点的正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ轴；3、点的水平投影和侧面投影具有相同的y坐标。2.2.3两点间的相对位置两点间的相对位置是指空间两点之间上下、左右、前后的位置关系。根据两点的坐标，可判断空间两点间的相对位置。两点中，x坐标值大的在左，；y坐标值大的在前；z坐标值大的在上。图2-14（a）中，xAxB，则点A在点B之左；yAyB，则点A在点B之前；zAzB，点A在点B的上方，故a可见，b不可见（点的不可见投影加括号表示）。同理，点C、D为V面的重影点，由于yCyD，点C在点D的前方，故c可见，d不可见。显然，重影点是两个坐标值相等，第三个坐标值不等的空间点。因此，判断重影点的可见性，是根据它们不等的唯一坐标值来确定的，即坐标值大的可见，坐标值小的不可见。2.3直线的投影2.3.1直线的投影直线的投影一般仍为直线，特殊情况下，可积聚成一点。（即前面2.1.3平行投影的基本性质中的类似性和积聚性）根据初等几何知识：两点确定一条直线。我们用直线段的投影表示直线的投影，即作出直线段上两端点的投影，则两点的同面投影连线为直线的投影，如图2-16所示。另外，已知直线上一点的投影和该直线的方向，也可画出该直线的投影。（a）（b）（c）图2-16 直线的投影2.3.2各种位置直线及其投影特性根据直线相对投影面的位置不同，直线可分为三类：1、投影面平行线；2、投影面垂直线；3、一般位置直线。前两类统称为特殊位置直线。直线与其水平投影、正面投影、侧面投影的夹角，分别称为该直线对投影面H、V、W的倾角，分别用、表示。1、投影面平行线及其投影特性平行于一个投影面，而与另外两个投影面倾斜的直线称为投影面平行线。它又分为三种：（1）水平线（只H面）； （2）正平线（只V面）；（3）侧平线（只W面）。（见表2-1所示）下面以水平线为例介绍其投影特性：1）水平线的正面投影平行OX轴，侧面投影平行于OY轴，且均小于实长。因为AB上各点与H面等距，即z坐标相等，所以 abOX,abOY。同时，ab=ABcosAB，ab=ABcosAB。2）水平线的水平投影反映直线实长。因为ABba是矩形，abAB，所以ab=AB。3）水平线的水平投影与OX、OY轴的夹角分别反映该直线对V面、W面的倾角、。因为ABab，abOX，abOY，所以ab与OX、OY的夹角即为AB对V面、W面的真实夹角、。同理，也可得出并可证明正平线和侧平线的投影特性。由表2-1可概括出投影面平行线的投影特性：1）在它所不平行的两个投影面上的投影平行于相应的投影轴，但不反映实长。2）在它所平行的投影面上的投影反映实长，且与投影轴的夹角，分别反映该直线对另两个投影面的真实夹角。表2-1 投影面平行线的投影特性名 称轴 侧 图投 影 图投 影 特 性水 平线（H）1、ab反映实长；2、abOX，abOYW;3、反映夹角、的大小。正平线(V)1、ab反映实长；2、abOX，abOZ;3、反映夹角、的大小。侧平线(W)1、ab反映实长；2、abOZ;3、反映夹角、的大小。2、投影面垂直线及其投影特性垂直于一个投影面，而与另外两个投影面平行的直线，称为投影面垂直线。它分为三种：（1）铅垂线（H面）；（2）正垂线（V面）；（3）侧垂线（W面）（见表2-2所示）下面以铅垂线为例，介绍其投影特性：1）由于AB垂直H面，所以A、B两点对H面的投影积聚为一点；2）AB垂直H面，必平行V、W面，所以AB在V、W面上的投影均反映实长；3）直线AB垂直H面，必垂直OX、OY轴，所以abOX轴，abOYW轴。同理，也可证明正垂线和侧垂线的投影特性。由表2-2可概括出投影面垂直线的投影特性：1）直线在所垂直的投影面上的投影积聚为一点；2）另外两个投影面上的投影垂直相应的投影轴，且反映线段的实长。表2-2 投影面垂直线的投影特性名 称轴 侧 图投 影 图投 影 特 性铅垂线（H）1、H投影a、b积聚为一点；2、abOX， abOYW；3、ab、ab反映实长。正垂线（v）1、V投影a、b积聚为一点；2、abOX，abOZ；3、ab 、ab反映实长。侧垂线（W）1、W投影a、b积聚为一点；2、abOYH，abOZ；3、ab 、ab反映实长。、3、一般位置直线对三个投影面都倾斜的直线，称为一般位置直线。图2-17表示一般位置直线AB的三面投影。因为、均不等于零，所以as=AScosAS,as=AScosAS,as=AScosAS.一般位置直线的投影与相应投影轴的夹角,都不反映该直线对投影面的倾角。由上述可知，一般位置直线的投影特性为：三个投影都倾斜于投影轴，且不反映该直线的实长；投影与投影轴的三个夹角，都不反映直线对投影面的倾角。（a）（b）图2-17 一般位置直线2.3.3点与直线的相对位置1、点与直线的从属关系；点与直线的从属关系有两种情况，即点在直线上和点不在直线上。根据投影的基本特性可知：若点在直线上，则点的各个投影必在直线的同面投影上。如图2-18（a）所示，点C在直线AB上，其水平投影c必在ab上，正面投影c必在ab上。反之，若点的各个投影均在直线的同面投影上，则点必在该直线上。否则，点就不在该直线上。这是判断点、线从属关系的根据。如图2-18（b）中的D、E两点都不在直线AB上。对于一般位置直线，只需察看点和直线的任何两个投影，就可确定点是否在直线上。但是，对于投影面平行线，则需要察看直线在所平行的投影面上的投影；仅凭直线在所不平行投影面上的两投影，仍不能判定点是否在直线上。例如，图示2-19（a）所示为一侧平线AB,虽然其H和V投影符合m在ab上及m在ab上的条件，但还不能确定M点是否在直线AB上。此时，需察看m是否在ab上，从图中可看出M不在直线AB上。（a）（b）图2-18 点与直线的从属关系2、分隔线段成定比由投影的基本特性可知：若点在直线上，则点分直线长度之比等于其投影之比。反之，若点分直线各投影长度成相同之比，则该点必此在直线上。如图示2-19（a）所示,除了用侧面投影判断M点不在直线AB上之外,还可用分割线段成定比的方法来判断.因am:mbam:mb,故点M不在AB上.见图示2-19（b）。（a）（b） 图 2-19判断点是否在直线上图 2-20求点K【例2-1】已知直线AB的两面投影,试求一点K,使AK:KB=1:4,见图2-20。分析:分点K的投影必在直线AB的同面投影上,且ak:kb= ak: kb=1:4,可用比例作图法作图。解:作图步骤如下：(1)过a(或b)任做射线aB0；(2)选适当的长度为单位长,在aB0上截取ak0:k0B0=1:4；(3)连b、B0两点；(4)过k0作k0 bB0b,与ab交于k；(5)过k作OX轴的垂线,交ab于k,则点K(k,k)即为所求。2.3.4两直线的相对位置两直线的相对置有三种情况:平行、相交、交叉。平行和相交的两直线均属于同一平面(共面)的直线,而交叉两直线则不属于同一平面(异面)的直线。下面分别讨论它们的投影特性。1、两直线平行（1）如果空间两直线互相平行，则两直线的各同面投影必定互相平行。反之，若两直线的各同面投影互相平行，则两直线在空间也必定互相平行。证明如下：如2-21所示，AB和CD是互相平行的两直线.将它们向H面投影时,由于投射线AaBbCcDd，其投射线与AB和CD所构成的两个平面AabB和CcdD也互相平行,因此两平面与H面的交线也必定平行,即abcd。同理,AB和CD的正面投影和侧面投影也必互相平行,即abcd,abcd。（2）两直线平行，其长度之比等于各同面投影长度之比。如图2-21所示，若ABCD，则AB：CD=ab:cd= ab:cd=ab:cd。对于一般位置直线，根据两个投影就可以判断两直线在空间是否平行。但当两直线平行于某一投影面，而又没给出两直线在该投影面上的投影时，其判别方法如下：1）从字母顺序判别。图2-22（a）两直线字母顺序不同故直线AB与直线CD不平行。图2-22（b）中两直线字母顺序相同，所以直线EF与直线GH有可能平行。2）比例法判别。即检查两直线同面投影之比是否相等，如图2-22（b）所示，自h引任意方向直线，截hG0=hg，截 G0E0=ef ，在hg的延长线上截gE1=ef，连接E0E1和gG0，从图中可知 E0E1 不平行gG0，则说明两直线同面投影之比不相等，所以EF与GH不平行。3）补投影判别。即补出两直线在所平行的投影面上的投影。作出EF和GH的侧面投影，根据其侧面投影是否平行来判别EF与GH是否平行，如图2-22（c）所示。（a）（b）图2-21 平行两直线的投影（a）（b）（c）图 2-22 判断两直线是否平行2、两直线相交如果两直线在空间相交，则它们的各同面投影必相交，且交点符合点的投影规律。反之，如果两直线的各同面投影相交且交点符合点的投影规律，则此两直线在空间必定相交。如图2-23所示，AB和CD为相交两直线，其交点K为两直线的共有点。根据直线上点的投影特性，则点K的正面投影k既在ab上，又在cd上，所以ab和cd的交点k就是交点K的正面投影。同理ab和cd的交点k及 ab和cd的交点k分别是交点K的水平投影和侧面投影。所以k、k、k必须符合一个点的投影规律，即k kOX， kkOZ。（a）（b）图 2-23 相交两直线的投影一般情况下，只需根据空间两直线的两个投影即可判定该两直线在空间是否相交。但当两直线其中有一直线是投影面平行线时，其判别方法如下：（1）补投影判别。根据两直线在该投影面上的投影是否相交以及交点是否符合一个点的投影规律才能判定。如图2-24（a）所示，补出侧面投影后方知直线AB与直线CD不相交。（2）用定比法判别。如图2-24（b）所示，自d引任一直线，在其上取dK1=dk, K1C1=kc,连C1 c，作K1kC1 c,交dc于k,因k与AB和CD的正面投影交点不重合，故可判定两直线AB和CD不相交。（a）（b）图 2-24 判断两直线是否相交 3、交叉两直线既不平行也不相交的两直线,称为交叉(或相错)两直线。如图25（a）所示。交叉两直线的投影可表现为有一个、两个甚至三个同面投影相交，但其交点绝不会符合点的投影规律，因为这些点都是重影点，见图5（b）。有时交叉两直线的投影可能有一个或两个同面投影互相平行，但绝不会三个同面投影都平行，如图4（a）所示。见图25所示，与的水平和正面投影均相交，但交点连线不垂直轴，所以与是交叉两直线。它们水平投影的交点是两直线上对面的一对重影点和的投影，其中在上，在上。同理，ab与cd的交点是直线上的点和直线上的点的正面投影。（a）（b）图 2-25 交叉两直线的投影2.4平面的投影2.4.1平面的表示法1、用几何元素表示平面；由初等几何可知，空间平面可由下列任意一组几何元素来确定。在投影图上，可以用其中任意一组几何元素的投影来表示平面(见图2-26)：（1）不在同一直线上的三点；（2）一直线和直线外一点；（3）相交两直线；（4）平行两直线；（5）任意平面图形（如三角形、圆及其它封闭图形）。以上五组表示平面的方法，虽然形式不同，但均符合三点确定一个平面的原理。它们之间可以互相转换。图 2-26 平面的表示法2、用迹线表示平面：如图2-27（a）所示，平面与投影面的交线，称为平面的迹线，平面也可用迹线表示。用迹线表示的平面称为迹线平面。平面与V面、H面、W面的交线，分别称为正面迹线（V面迹线）、水平迹线（H面迹线）、侧面迹线（W面迹线）。迹线的符号用平面名称的大写字母附加投影面名称的注脚表示，如图2-27（b）中的PV、PH、PW。迹线是投影面上的直线，它在该投影面上的投影位于原处，用粗实线表示，并标注上述符号；它在另外两个投影面上的投影，分别在相应的投影上，不需作任何表示和标注。（a）（b）图 2-27 用迹线表示平面2.4.2各种位置平面在三投影面体系中，空间平面对投影面的相对位置有以下三种：投影面垂直面、投影面平行面、一般位置平面。前两种统称为特殊位置平面。1、投影面垂直面投影面垂直面是指垂直于某一投影面，同时倾斜于其它两投影面的平面。投影面垂直面有三种：铅垂面（H面）；正垂面（V面）；侧垂面（W面）。表23列出了三种投影面垂直面的投影情况和特征。下面以铅垂面为例，进一步说明其投影特性。ABC为铅垂面，所以它的水平投影积聚为倾斜的直线段，该投影与OX和OYH轴的夹角，反映该平面与V、W面的倾角、的真实大小。它的V、W面的投影都是三角形（与原平面图形类似），且比实形小。正垂面和侧垂面也有类似的投影特性，见表23。综上所述投影面垂直面的投影特性是：（1）在所垂直的投影面上的投影积聚成一条直线；（2）具有积聚性的投影与投影轴的夹角，反映该平面与相应投影面的倾角；（3）另外两个投影面上的投影为原图形的类似形。2、投影面平行面投影面平行面是指平行于某一投影面，同时又垂直于另外两投影面的平面。投影面平行面有三种：水平面（H面）；正平面（V面）；侧平面（W面）。表24列出了三种投影面平行面的投影情况和特征。现以正平面为例，进一步说明其投影特征。ABC为正平面，由于它平行于V面，所以它的正面投影反映ABC的实形，即ABCabc。又因为ABC垂直于H面和W面，所以它的水平和侧面投影均积聚为一直线段且分别平行于OX和OZ轴。水平面和侧平面也有类似的投影特性，见表24。由上所述可得投影面平行面的投影特性：（1）在其所平行的投影面上的投影，反映平面图形的实形；（2）在另外两个投影面上的投影均积聚成直线，且平行于相应的投影轴。3、一般位置平面对三个投影面都倾斜的平面，称为一般位置平面。图2-28所示ABC是一般位置平面，由于它对三个面都倾斜，所以三个投影均不反映实形，是原图形的类似形。同时各投影也不反映该平面对各投影面的倾角、。由此得到一般位置平面的投影特性是：一般位置平面在三个投影面上的投影均为原图形的类似形，且形状缩小。图 2-28 一般位置平面的投影表2-3 投影面垂直面的投影特性名 称轴 测 图投 影 图投 影 特 性铅垂面（H）1、H投影积聚为一直线,它与OX和OYH轴的夹角分别反映平面与V和W面夹角和的大小。2、V、W投影不反映实形，均为类似形。正垂面（V）1、V投影积聚为一直线，它与OX和OZ轴的夹角分别反映平面与H和W面夹角和的大小。2、H、W投影不反映实形，均为类似形。侧垂面（W）1、W投影积聚为一直线，它与OYw和OZ轴的夹角分别反映平面与H和V面夹角和的大小。2、H、V投影不反映实形，均为类似形。表2-4投影面平行面的投影特性名 称轴 测 图投 影 图投 影 特 性水平面(H)1、H投影反映实形；2、V、W投影分别为平行OX、OYw的直线段，有积聚性。正平面(V)1、V投影反映实形；2、H、W投影分别为平行OX、OZ轴的直线段，有积聚性。侧平面(W)1、W投影反映实形；2、V、H投影分别为平行OZ、OYH轴的直线段，有积聚性2.5平面内的点和直线2.5.1在平面上取直线根据初等几何可知，直线在平面上的几何条件是：1、若直线通过平面上的两个已知点，则直线必在该平面上；2、若直线通过平面上的一个已知点，且平行于平面上的一直线，则直线在该平面上。（a）（b）（a）（b）图 2-29平面内的直线一图 2-30平面内的直线二图2-29所示两相交直线AB、BC确定一平面P，在两直线上分别取点MN，连接M、N两点的直线必在P平面上。又知图2-30，直线LK通过平面Q上的一点M，且LKEF，则直线LK必在平面Q上。2.5.2在平面上取点点在平面上的几何条件是：若点位于平面上的任一直线上，则此点必在该平面上。如图2-30M点在直线DE上，而直线DE又在平面Q上，则点M一定在平面Q上。又如图2-30（b）中的G点也在平面Q上。2.5.3平面上的投影面平行线平面上的投影面平行线有三种：即平面上的水平线、正平线和侧平线。它们的投影具有两重性，既符合线在面上的几何条件，又具有投影面平行线的投影特性。（a）（b）图 2-31 平面上的投影面平行线（水平线）的投影如图2-31所示，在ABC上作一条水平线AD。作图步骤如下：1、过a作一直线adOX,交bc于d；2、在bc 上求出D的水平投影d；3、连接ad，则AD=ad，AD即为ABC上过A点的一条水平线。见图2-30b。同理，在ABC上可作正平线和侧平线。【例2-2】 已知ABC内一点K的水平投影k，试求其正面投影k。(已知条件如图2-32（a)所示）（a）（b）（c）（d）图 2-32求K点的正面投影分析：点K既在平面内，则必在平面内的一条直线上。所以过点K的水平投影k，任作直线，求出此线的正面投影k。解法一（图2-32（b）：过平面内两已知点作辅助线，求点的投影。连ck,交ab于d点，求出cd，在cd上求出k。解法二（图2-32（c）：过平面内一已知点，作平面内已知直线的平行线，求点的投影。过k作mnab，由m求m，过m作mnab，在mn上求出k。解法三（图2-32（d）：过平面内一已知点，作投影面平行线，再求点的投影。过k作efOX(EF为平面内的一条正平线)，再求出ef，则k必在正平线的正面投影ef上。2.6求直线的实长和平面的实形2.6.1换面法的基本概念从投影面平行线的投影能直接反映实长和对投影面的倾角可以得到启示：当几何元素在两个互相垂直的投影面体系中对某一投影面处于特殊位置时，可以直接利用一些投影特性解决几何元素的图示和图解问题，使作图简化。若几何元素在两投影体系中不处于这样的特殊位置，则可以保留一个投影面的，用垂直于被保留的投影面的新投影面代替另一个投影面，组成一个新的两投影面体系，使几何元素在新投影面体系中对新投影面处于有利于解题的特殊位置，以便在新投影面体系中作图求解，这种方法称为变换投影面法，简称换面法。如图2-33所示，铅垂面ABC在V、H两投影体系中（简称V H体系）的两个投影均不反映实形。若取一个平行ABC且垂直于H面的V1面来替换V面，则V1面和H面将构成新的两投影面体系V1 H。在新体系中，ABC对V1面的投影a1b1c1反映ABC的实形。在上述变换过程中，原V面称为新投影面，原投影轴X称为旧轴，V1面和H面的交线X1称为新轴，abc称为旧投影，abc称为不变投影，a1b1c1称为新投影。显然，新投影面不能随意选择，它必须符合以下两个基本条件；1、新投影面必须垂直于一个不变的投影面；2、新投影面必须对空间几何元素处在最有利于解题的位置。图 2-33换面法的基本概念这里提醒大家注意：一次变换只能更换一个投影面，而不能一次更换两个投影面。必须在一个更换完了之后，在新的两面体系中交替地再更换另一个， 2.6.1点的投影变换1、点的一次换面点是最基本的几何形体元素，要掌握线、面的投影变换必须首先掌握点的投影变换规律。如图2-34所示，点A在旧投影体系V H中，正面投影为a，水平投影为a。现令H面保持不变，用一铅垂面V1 （V1H）来代替正面V，则V1面与H面就形成了新的投影体系V1 H。过点A向V1面作投影线并与V1面相交得到点A在V1面上的投影a1。因为是用V1面来代替V面的，因此我们称V1面为新投影面；称V面为旧投影面；称H面为不变投影面。称点A在新投影面上的投影a1为新投影；称点A在旧投影面上的投影a为旧投影；称点A在不变投影面上的投影a为不变投影。称新投影体系中的坐标轴OX1轴为新轴。称旧投影体系中的坐标轴OX为旧轴。由于是正投影，因此我们可以归纳出以下两条点的投影变换规律：（1）由于这两个投影体系具有公共的水平面H，因此点A到水平面H的距离在新旧投影体系中都是相同的，即Aa=aax=a1ax1。（2）当V1面绕X1轴转至与水平面H重合时，根据点的投影规律可知a1ax1必定垂直于X1轴。这与aax垂直于X轴的性质是一样的。根据以上分析，可以得出点的投影变换规律：（1）点的新投影和不变投影的连线必垂直于新投影轴。（2）点的新投影到新轴的距离等于被替换的点的旧投影到旧投影轴的距离。同理，保持正面V不变，用新的水平面H1来代替H面也可以证明出以上点的投影变换规律（请读者自已证明）。（a）（b）（c）图 2-34点的一次换面2、点的二次换面在利用投影变换解决实际问题时，更换一次投影面往往不以解决问题，而需要更换两次或多次才行。如图2-35所示是点的两次换面，其原理与点的一次换面相同，但应注意：（1）新投影面的选择必须符合投影变换所要求的两个条件。（2）一次变换中能更换一个投影面。必须在一次投影变换完成之后再在新的投影体系中交替更换更一个投影面。即先由V1面代替V面，构成新体系V1 H；再以这个体系为基础，取H2代替H面，又构成新体系V1 H2。在第一次换面后的新投影面、新投影轴、新投影的标记，分别加注脚“1”；在第二次换面后则都加注脚“2”。（a）（b）（c）图 2-35点的二次换面2.6.2直线的投影变换1、求直线的实长及直线对投影面的倾角其实质为一次换面，将一般位置直线变换为投影面平行线，新投影轴应平行于直线原有的投影。（a）（b）图 2-36 将一般位置直线变换为投影面平行线如图2-36（a）所示,为了使AB在V1 H中成为V1面平行线,可以用一个既垂直于H面、又平行于AB的V1面替换V面，通过一次换面即可达到目的。按照正平线的投影特性：新投影轴X1在V1 H中应平行于原有投影ab。作图过程如图2-36（b）所示：（1）在适当位置作X1ab（设置新投影轴，应使几何元素在新投影面体系中的两个投影分别位于新投影轴的两侧）。（2）按投影变换的基本作图法分别求作点A、B的新投影a1、b1，连接a1b1即为所求。AB就成为在V1 H中的正平线，a1b1反映实长，a1b1与X1的夹角就是AB对H面倾角。2、将投影面平行线变换为投影面垂直线其实质为一次换面，新投影轴应垂直于反映实长的投影。 （a）（b）图 2-37将投影面平行线变换为投影面垂直线如图2-37（a）所示，在V H中有正平线AB。因为垂直于AB的平面也垂直于V面，故可用H1面来替换H面，使AB成为V H1中的铅垂线。在V H1中，新投影轴X1应垂直于ab。作图过程如图2-37（b）所示：（1）作X1a1b1。（2）按投影变换的基本作图法求得点A、B互相重合的投影a1和b1，a1 b1即为AB积聚成一点的H1面投影。AB就成为V H1中的铅垂线。3、将一般位置直线变换为投影面垂直线其实质为二次换面，具体步骤为先一次换面将一般位置直线变换为投影面平行线，再二次换面将投影面平行线变换为投影面垂直线。如图2-38（a）所示，由于与AB相垂直的平面是一般位置平面，与H、V面都不垂直，所以不能用一次换面就达到这个要求。可先将AB变换为V1/H中的正平线，再将V1/H中的正平线AB变换为V1 H2中的铅垂线，作图过程如图2-38（b）所示：（1）与图2-36（b）相同，作X1ab,将V H的ab变换为V1 H中的a1b1。（2）在V1/H中作X2a1b1，将V1 H中的ab变换为V1 H2中的a2b2, a2b2即为AB积聚成一点的H2面投影。AB就成为V1 H2中的H2面垂直线。 （a）（b）图 2-38 将一般位置直线变换为投影面垂直线【例2-3】 如图2-39所示，求直线AB的实长及其对V面的倾角。解：要作出倾角，必须将一般位置直线AB变换为V H1中的水平线，这时，X1应平行于ab。作图过程如下：（1）作X1ab；（2）按投影变换的基本作图法分别作出点A、B的H1面投影a1、b1。a1 b1即为AB的实长；a1 b1与X1的夹角也就是AB对V面的倾角。图 2-39求直线AB的实长及其对V面的倾角2.6.3平面的投影变换1、求一般位置平面对投影面的倾角其实质为一次换面，可将一般位置平面变换为投影面垂直面，新投影轴应与平面内平行于原有投影面的直线的投影相垂直。如图2-40（a）所示，在V/H中有一般位置平面ABC，要将它变换为V1 H中的正垂面，可在ABC内任取一条水平线，例如AD，再用垂直于AD的V1面来替换V面。由于V1面垂直于ABC，又垂直于H面，就可将V H中的一般位置平面ABC变换为V1 H中的正垂面，a1b1c1积聚成直线。这时，新投影轴X1应与ABC内平行于原有的H面的直线AD的投影ad相垂直作图过程如图2-40（b）