16.2.1 线段垂直平分线的性质 课件

16.2线段的垂直平分线第1课时线段垂直平分线的性质定理学习目标1.会进行线段垂直平分线的性质定理的证明.（重点）3.会做最短路径的问题.（难点）2.理解并能灵活运用线段垂直平分线的性质解题.（难点）新课导入1.什么叫做线段的垂直平分线？2.线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？垂直且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线.线段是轴对称图形，对称轴是它的垂直平分线或者说中垂线.新知探究如图

，已知线段AB和它的垂直平分线l，O为垂足.在直线l上任取一点P，连接PA，PB.线段PA和线段PB有怎样的数量关系?请提出你的猜想并说明理由.ABPOl·PA=PB猜想：

.

线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等

你能证明它吗?∵线段AB是轴对称图形，中垂线是其对称轴，∴当AB沿对称轴对折后，点A，B重合.用对称的知识说明：BAOPl即PA与PB重合.∴PA=PB.新知探究用全等的知识进行推理：BAOPl证明：∵l⊥AB（已知），∴∠AOP＝∠BOP＝90°（垂直定义）.在△AOP与△BOP中，∵AO＝BO（已知），∠AOP＝∠BOP（已证），

PO＝PO（公共边），∴△AOP≌△BOP（SAS），∴PA＝PB（全等三角形对应边相等）.新知探究线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.ABlP点A、点BPA、PBBAOPl新知探究几何语言：∵l垂直平分AB，∴PA=PB.用途：推出相等的线段.BAOPl新知探究典型例题例1如图，古诗描述了一位将军在观望烽火之后，从山脚A处出发，到河边饮马，再回到宿营地B处的活动过程.那么怎样选择饮马地点，才能使路程最短?1.将河岸抽象为直线l，问题便转化为在直线l上选取一点P，使得线段PA与PB的和最短.分析:2.我们知道两点之间线段最短，那么想办法把将不同线的三点转化为同线的三点。利用轴对称变换将同侧问题转化为异侧问题.新知探究解:如图，作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，交直线l于点P，则AP+BP最短.理由如下：∵点A，A'关于直线l对称，∴直线l为线段AA'的垂直平分线.∴AP=A'P(线段垂直平分线的性质定理).∴AP+BP=A'P+BP=A'B(等量代换).如图，在直线l上任取一点P'，连接

AP'，BP'，A'P'，则A'P'+BP'≥A'B(两点之间线段最短)，

即AP'+BP'=A'P'+BP'>A'B=AP+BP.∴AP+BP

最短.新知探究求线段（和）最短问题的实质（1）若A、B两点在直线两侧，直接连接A、B两点，直线段最短；（2）若A、B两点在直线的同侧，作其中一个点关于直线的对称点，化同侧为两侧，化折线段为一条直线段；（3）最后利用“两点之间线段最短”加以解决.做一做1.已知：如图，D，E分别是AB，AC的中点，CD上AB于点D，BE⊥AC

于点E.求证：AC=AB.证明：连接BC，如图所示.∵D为AB的中点，∴AD=BD.又∵CD⊥AB，∴CD垂直平分AB，∴AC=BC.∵E为AC的中点，∴AE=EC.又∵BE⊥AC，∴BE垂直平分AC.∴AB=BC，∴AC=AB.2.如图，A，B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A，B两地，问该站建在河边的什么地方，可使所修的渠道最短？2.连接A'B，交a于点P.作法：1.做点A关于a的对称点A'.点P即为抽水站的位置.ABaA'P做一做1.如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（）A.AB=ADB.AC平分∠BCDC.AB=BDD.△BEC≌△DECBADCEC课堂练习2.如图，AD⊥BC于点D，D为BC的中点，连接AB，∠ABC的平分线交AD于点O，连接OC，若∠AOC=120°，则∠ABC=_____.BADCO60°课堂练习3.如图，在△ABC中，AB=AC,D是AB的中点，且DE⊥AB,已知△BCD的周长为12，且AC-BC=2，求AC,BC的长.ABCDE解：∵D是AB的中点，DE⊥AB.∴DE为AB的中垂线.∴AE=BE.∵△BCE的周长为12.∴BC+CE+BE