江苏省扬州市邗江实验学校九年级数学上学期第一次月考试题（含解析） 新人教版.doc

江苏省扬州市邗江实验学校2015-2016学年九年级数学上学期第一次月考试题一、选择题（每题3分，共计24分）1下列方程中一定是一元二次方程的是（）a5x2+2=0bax2+bx+c=0c2x+3=6d（a2+2）x22x+3=02一元二次方程x（x3）=3x的根是（）a1b3c1和3d1和23已知一元二次方程：x22x3=0，x2+2x+3=0下列说法正确的是（）a都有实数解b无实数解，有实数解c有实数解，无实数解d都无实数解4点a、o、d与点b、o、c分别在同一直线上，图中弦的条数为（）a2b3c4d55已知o中， =2，则弦ab和2cd的大小关系是（）aab2cdbab=2cdcab2cdd不能确定6某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）a50（1+x）2=182b50+50（1+x）+50（1+x）2=182c50（1+2x）=182d50+50（1+x）+50（1+2x）2=1827定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程已知ax2+bx+c=0（a0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）aa=cba=bcb=cda=b=c8如图，o的直径ab=4，半径ocab，点d在弧bc上，deoc，dfab，垂足分别为e、f，则oeof满足（）aoeof1boeof2coeof3doeof4二、填空题（每题3分，共计30分）9已知：x=3是一元二次方程x2x+m=0的一个根，则m的取值是10以2和2为两根且二次项系数为1的一元二次方程一般式是11扬州一电信销售中心八月份销售某款手机50部，计划九、十月份共销售132部设九、十月每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是12已知m为实数，若（m2+4m）2+5（m2+4m）24=0，则m2+4m的值为13如图是一张长9cm、宽5cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是12cm2的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为14在圆内接四边形abcd中，a、b、c的度数之比为3：4：6，则d=度15如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过点a、b、c，其中点b的坐标为（4，3），则圆弧所在圆的半径为16如图所示，在圆o内有折线oabc，其中oa=8，ab=12，a=b=60，则bc的长为17如图，ab是o的直径，e=25，dbc=50，则cbe=18在等腰abc中，三边分别为a、b、c，其中a=5，若关于x的方程x2+（b+2）x+6b=0有两个相等的实数根，则abc的周长=三、解答题（共计96分）19解下列方程：（1）2x（x+1）+（x+1）=0； （2）2x2x1=020已知关于x的方程x23x+a2+2a7=0的一个根是4，求方程的另一个根和a的值21阅读题：各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想一一转化，把未知转化为已知无理方程（根号下含有未知数的方程）=2，可以通过方程两边平方把它转化为x+1=4，可得x=3通过“方程两边平方”解方程，有可能产生增根，必须对解得的根进行检验例如，把方程=x两边平方，得2x+3=x2，解得x1=3，x2=1经检验，x2=1不是原方程的根，是增根根据上述思想方法，解下列方程：（1）； （2）=2x22如图，a、b、c、d四点都在o上，ad是o的直径，且ad=6cm，若abc=cad，求弦ac的长23水蜜桃是人们非常喜爱的水果之一，每年七、八月份我市水蜜桃大量上市，今年某水果商以16.5元/千克的价格购进一批水蜜桃进行销售，运输过程中质量损耗5%，运输费用是0.6元/千克，假设不计其他费用（1）水果商要把水蜜桃售价至少定为多少才不会亏本？（2）在销售过程中，根据市场调查与预测，水果商发现每天水蜜桃的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示，那么当销售单价定为多少时，每天获得的利润是640元？24如图，ab为o的直径，点c为o上一动点，点d为弦ac的中点（1）当=2，求bac的度数；（2）若ab=4，当点c在o上运动时，点d始终在一个圆上，请你确定这个圆的圆心以及这个圆的半径25已知关于x的一元二次方程（a+b）x22cx+（ab）=0，其中a、b、c分别为abc三边的长（1）如果x=1是方程的根，试判断abc的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断abc的形状，并说明理由；（3）如果abc是等边三角形，试求这个一元二次方程的根26如图，在半径为5的扇形aob中，aob=90，点c是弧ab上的一个动点（不与点a、b重合）odbc，oeac，垂足分别为d、e（1）当bc=6时，求线段od的长；（2）在doe中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由27已知：如图，abc内接于o，ab为直径，点d是弧ac上的一点，连接ad、bd，ac交bd于点f，deab于点e，交ac于点p，abd=cbd=cad（1）求证：pa=pd；（2）判断ap与pf是否相等，并说明理由；（3）当点c为半圆弧的中点，小李通过操作发现bf=2ad，请问小李的发现是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请写出bf与ad正确的关系式28已知abc中，a、b、c分别为a、b、c的对边，方程cx2+bxa=0是关于x的一元二次方程（1）判断方程cx2+bxa=0的根的情况为（填序号）；方程有两个相等的实数根； 方程有两个不相等的实数根；方程无实数根； 无法判断（2）如图，若abc内接于半径为2的o，直径bdac于点e，且d=30，求方程cx2+bxa=0的根；（3）若x=a是方程cx2+bxa=0的一个根，abc的三边a、b、c的长均为整数，试求a、b、c的值2015-2016学年江苏省扬州市邗江实验学校九年级（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，共计24分）1下列方程中一定是一元二次方程的是（）a5x2+2=0bax2+bx+c=0c2x+3=6d（a2+2）x22x+3=0【考点】一元二次方程的定义【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案【解答】解：a、不是整式方程，故不是一元二次方程，故a错误；b、当a=0时，不是一元二次方程，故b错误；c、是一元一次方程，故c错误；d、由a2+220，符合一元二次方程的定义，故d正确故选：d【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是22一元二次方程x（x3）=3x的根是（）a1b3c1和3d1和2【考点】解一元二次方程-因式分解法【专题】计算题【分析】移项得x（x3）+（x3）=0，分解因式得到（x3）（x+1）=0，一元二次方程转化为两个一元一次方程x3=0或x+1=0，然后解这两个一元一次方程即可【解答】解：x（x3）=3x，x（x3）+（x3）=0，（x3）（x+1）=0，x3=0或x+1=0，x1=3，x2=1故选c【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程变形为一般式，再把方程左边进行因式分解，然后把一元二次方程转化为两个一元一次方程，解一元一方程得到原方程的解3已知一元二次方程：x22x3=0，x2+2x+3=0下列说法正确的是（）a都有实数解b无实数解，有实数解c有实数解，无实数解d都无实数解【考点】根的判别式【分析】分别找出两个一元二次方程的a、b和c的值，并代入=b24ac，然后计算，最后根据计算结果判断方程根的情况【解答】解：a=1，b=2，c=3，=b24ac=（2）241（3）=160，方程x22x3=0有两个不相等的实数根；：a=1，b=2，c=3，=b24ac=22413=80，方程x2+2x+3=0没有实数根；故选c【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0，a，b，c为常数）的根的判别式=b24ac当0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根4点a、o、d与点b、o、c分别在同一直线上，图中弦的条数为（）a2b3c4d5【考点】圆的认识【分析】弦是连接圆上任意两点的线段，根据定义作答【解答】解：由图可知，点a、b、e、c是o上的点，图中的弦有ab、bc、ce，一共3条故选b【点评】本题考查了圆的认识，熟记连接圆上任意两点的线段叫弦是解题的关键5已知o中， =2，则弦ab和2cd的大小关系是（）aab2cdbab=2cdcab2cdd不能确定【考点】圆心角、弧、弦的关系；三角形三边关系【分析】如图，取弧ab的中点e，利用=2得到=，则根据圆心角、弧、弦的关系得到ae=be=cd，再利用三角形三边的关系得ae+beab，于是有2cdab【解答】解：如图，取弧ab的中点e，则=，=2，=，ae=be=cd，ae+beab，2cdab故选c【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等也考查了三角形三边的关系6某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）a50（1+x）2=182b50+50（1+x）+50（1+x）2=182c50（1+2x）=182d50+50（1+x）+50（1+2x）2=182【考点】由实际问题抽象出一元二次方程【专题】增长率问题；压轴题【分析】主要考查增长率问题，一般增长后的量=增长前的量（1+增长率），如果该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示五、六月份的产量，然后根据题意可得出方程【解答】解：依题意得五、六月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2，50+50（1+x）+50（1+x）2=182故选b【点评】增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量7定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程已知ax2+bx+c=0（a0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）aa=cba=bcb=cda=b=c【考点】根的判别式【专题】压轴题；新定义【分析】因为方程有两个相等的实数根，所以根的判别式=b24ac=0，又a+b+c=0，即b=ac，代入b24ac=0得（ac）24ac=0，化简即可得到a与c的关系【解答】解：一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有两个相等的实数根，=b24ac=0，又a+b+c=0，即b=ac，代入b24ac=0得（ac）24ac=0，即（a+c）24ac=a2+2ac+c24ac=a22ac+c2=（ac）2=0，a=c故选a【点评】一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根8如图，o的直径ab=4，半径ocab，点d在弧bc上，deoc，dfab，垂足分别为e、f，则oeof满足（）aoeof1boeof2coeof3doeof4【考点】勾股定理；矩形的判定与性质；圆的认识【分析】先由勾股定理得出oe2+of2=ef2，再证明四边形ofde是矩形，根据矩形的对角线相等得出ef=od=2，然后利用不等式的性质解答即可【解答】解：ocab，oe2+of2=ef2，ocab，deoc，dfab，四边形ofde是矩形，ef=od=2，oe2+of2=4，oeof（oe2+of2）=2故选b【点评】本题考查了勾股定理，矩形的判定与性质，圆的认识，不等式的性质，利用矩形的对角线相等把ef转化为od是解题的关键二、填空题（每题3分，共计30分）9已知：x=3是一元二次方程x2x+m=0的一个根，则m的取值是6【考点】一元二次方程的解【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=3代入已知方程列出关于m的新方程，通过解新方程即可求得m的值【解答】解：x=3是一元二次方程x2x+m=0的一个根，x=3满足一元二次方程x2x+m=0，32+m3=0，解得，m=6；故答案是：6【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值即用这个数代替未知数所得式子仍然成立10以2和2为两根且二次项系数为1的一元二次方程一般式是x24=0【考点】根与系数的关系【分析】根据两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，两根之积等于常数项除二次项系数，直接写出一个方程即可【解答】解：一元二次方程的两根之和与两根之积分别为2+2和22，且二次项系数为1，这样的方程为x24=0，故答案为：x24=0【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟记两根之和与两根之积是解题的关键11扬州一电信销售中心八月份销售某款手机50部，计划九、十月份共销售132部设九、十月每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是50（1+x）+50（1+x）2=132【考点】由实际问题抽象出一元二次方程【专题】增长率问题【分析】设九、十月每月的平均增长率为x，由此得到九月份销售50（1+x）台，十月份销售50（1+x）2台，由此可以列出关于x的方程【解答】解：设九、十月每月的平均增长率为x，八月份销售50部，九月份销售50（1+x）部，十月份销售50（1+x）2部，依题意得50（1+x）+50（1+x）2=132故答案为：50（1+x）+50（1+x）2=132【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，求平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1x）2=b12已知m为实数，若（m2+4m）2+5（m2+4m）24=0，则m2+4m的值为3或8【考点】换元法解一元二次方程【分析】设t=m2+4m，则原方程转化为关于t的一元二次方程t2+5t24=0，利用因式分解法求得t的值，即m2+4m的值即可【解答】解：设t=m2+4m，则由原方程得到：t2+5t24=0，整理，得（t3）（t+8）=0，解得t=3或t=8故答案是：3或8【点评】本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换13如图是一张长9cm、宽5cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是12cm2的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为（92x）（52x）=12【考点】由实际问题抽象出一元二次方程【专题】几何图形问题；压轴题【分析】由于剪去的正方形边长为xcm，那么长方体纸盒的底面的长为（92x），宽为（52x），然后根据底面积是12cm2即可列出方程【解答】解：设剪去的正方形边长为xcm，依题意得（92x）（52x）=12，故填空答案：（92x）（52x）=12【点评】此题首先要注意读懂题意，正确理解题意，然后才能利用题目的数量关系列出方程14在圆内接四边形abcd中，a、b、c的度数之比为3：4：6，则d=100度【考点】圆内接四边形的性质【分析】根据圆内接四边形对角互补可得b+d=a+c=180，再根据a、b、c的度数之比为3：4：6分别计算出a、b、c的度数，进而可得d的度数【解答】解：四边形abcd是圆内接四边形，b+d=a+c=180，a、b、c的度数之比为3：4：6，a=180=60，c=180=120，c=180=80，d=18080=100，故答案为：100【点评】此题主要考查了圆内接四边形的性质，关键是掌握圆内接四边形对角互补15如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过点a、b、c，其中点b的坐标为（4，3），则圆弧所在圆的半径为2【考点】垂径定理；勾股定理【分析】利用垂径定理的知识可得：作线段ab与bc的垂直平分线，交点即为点d，继而可求得圆心的坐标，利用勾股定理即可求得d的半径【解答】解：如图，作线段ab与bc的垂直平分线，交点d即为圆心，连接ad，圆心d的坐标为（2，1），ad=2；故答案为：2【点评】此题考查了垂径定理、勾股定理等知识，能先根据垂径定理确定出圆心的坐标，再由勾股定理求解是解答此题的关键，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用16如图所示，在圆o内有折线oabc，其中oa=8，ab=12，a=b=60，则bc的长为20【考点】垂径定理；等边三角形的判定与性质【专题】计算题；压轴题【分析】延长ao交bc于d，根据a、b的度数易证得abd是等边三角形，由此可求出od、bd的长；过o作bc的垂线，设垂足为e；在rtode中，根据od的长及ode的度数易求得de的长，进而可求出be的长；由垂径定理知bc=2be，由此得解【解答】解：延长ao交bc于d，作oebc于e；a=b=60，adb=60；adb为等边三角形；bd=ad=ab=12；od=4，又adb=60，de=od=2；be=10；bc=2be=20；故答案为20【点评】此题主要考查了等边三角形的判定和性质以及垂径定理的应用17如图，ab是o的直径，e=25，dbc=50，则cbe=57.5【考点】圆周角定理【分析】连接ac，根据圆周角定理可推出dba=dca，bca=90，可求出cba+cab=90，由外角的性质可得cab=e+dca，通过等量代换即得cbd+dba+e+dba=90，然后根据e=25，dbc=50，即可求出dba的度数，最后由cbe=dba+cbd，通过计算即可求出结果【解答】解：连接ac，dba和dca都为所对的圆周角，dba=dca，ab为o的直径，bca=90，cba+cab=90，cab=e+dca，cbd+dba+e+dba=90，e=25，dbc=50，dba=7.5，cbe=dba+cbd=7.5+50=57.5故答案为：57.5【点评】本题主要考查圆周角定理，直角三角形的性质，三角形外角的性质，关键在于正确的做出辅助线，熟练运用相关的性质定理求出相关角之间的等量关系，认真进行等量代换列出等式cbd+dba+e+dba=90，求出dba的度数18在等腰abc中，三边分别为a、b、c，其中a=5，若关于x的方程x2+（b+2）x+6b=0有两个相等的实数根，则abc的周长=12【考点】根与系数的关系；解一元二次方程-因式分解法；根的判别式；三角形三边关系；等腰三角形的性质【专题】综合题；分类讨论；方程思想【分析】先由关于x的一元二次方程x2+（b+2）x+6b=0有两个相等的实数根，得出根的判别式=0，据此求出b的值；再由三角形三边关系定理确定等腰三角形的三边长，即可求得其周长【解答】解：关于x的方程x2+（b+2）x+6b=0有两个相等的实数根，=（b+2）24（6b）=0，即b2+8b20=0；解得b=2，b=10（舍去）；当a为底，b为腰时，则2+25，构不成三角形，此种情况不成立；当b为底，a为腰时，则5255+2，能够构成三角形；此时abc的周长为：5+5+2=12故答案为12【点评】此题考查了一元二次方程根的情况与根的判别式（=b24ac）之间的关系、根与系数的关系、等腰三角形的性质及三角形三边关系定理，综合性较强，难度中等注意在求三角形的周长时，不能盲目的将三边相加，而应在满足三角形三边关系定理的条件下分类讨论，以免造成多解、错解三、解答题（共计96分）19解下列方程：（1）2x（x+1）+（x+1）=0； （2）2x2x1=0【考点】解一元二次方程-因式分解法【分析】（1）方程左边提取公因式（x+1）即可得到（x+1）（2x+1）=0，进而解两个一元一次方程即可；（2）把2x2x1=0进行因式分解得到（2x+1）（x1）=0，进而解两个一元一次方程即可【解答】解：2x（x+1）+（x+1）=0，（x+1）（2x+1）=0，x+1=0或2x+1=0，x1=1，；（2）2x2x1=0，（2x+1）（x1）=0，2x+1=0或x1=0，x2=1【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程的知识，解答本题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤：移项，使方程的右边化为零；将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解20已知关于x的方程x23x+a2+2a7=0的一个根是4，求方程的另一个根和a的值【考点】一元二次方程的解【分析】根据根与系数的关系，两根之和等于，求出另一个根；再将任何一个根代入原方程即可求的a的值【解答】解：设方程的另一个根为x2，则4+x2=，解得x2=将x=4代入方程x23x+a2+2a7=0，得4234+a2+2a7=0，解得a=3或a=1即方程的另一个根是和a的值是3或1【点评】本题考查了学生对一元二次方程根与系数的掌握21阅读题：各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想一一转化，把未知转化为已知无理方程（根号下含有未知数的方程）=2，可以通过方程两边平方把它转化为x+1=4，可得x=3通过“方程两边平方”解方程，有可能产生增根，必须对解得的根进行检验例如，把方程=x两边平方，得2x+3=x2，解得x1=3，x2=1经检验，x2=1不是原方程的根，是增根根据上述思想方法，解下列方程：（1）； （2）=2x【考点】无理方程【专题】阅读型【分析】（1）根据平方，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案；（2）根据平方，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案【解答】解：（1）两边平方，得3x2=x2，x23x+2=0，解得x1=1，x1=2；（2）两边平方，得4x2=3x+7，解得x1=1（不符合题意，舍）x2=【点评】本题考查了无理方程，利用平方转化成整式方程是解无理方程的关键，注意要检验方程的根22如图，a、b、c、d四点都在o上，ad是o的直径，且ad=6cm，若abc=cad，求弦ac的长【考点】圆周角定理；勾股定理【专题】计算题【分析】连接dc，则adc=abc，而abc=cad，得到adc=cad，得ac=cd，又因为ad是o的直径，得到dca=90，于是ad=ac，而ad=6cm，通过计算即可得到弦ac的长【解答】解：连接dc，如图，adc=abc，而abc=cad，adc=cad，ac=cd，又ad是直径，acd=90（直径所对的圆周角是直角），在rtacd中，ac2+cd2=ad2，即2ac2=36，ac2=18，ac=3（cm）故答案为：3cm【点评】本题考查了圆周角定理在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半同时考查了圆周角的推论：直径所对的圆周角为90度23水蜜桃是人们非常喜爱的水果之一，每年七、八月份我市水蜜桃大量上市，今年某水果商以16.5元/千克的价格购进一批水蜜桃进行销售，运输过程中质量损耗5%，运输费用是0.6元/千克，假设不计其他费用（1）水果商要把水蜜桃售价至少定为多少才不会亏本？（2）在销售过程中，根据市场调查与预测，水果商发现每天水蜜桃的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示，那么当销售单价定为多少时，每天获得的利润是640元？【考点】一次函数的应用【分析】（1）设购进水蜜桃a千克，水蜜桃售价定为m元/千克时，水果商才不会亏本，由题意建立不等式求出其值就可以了；（2）由（1）可知，每千克水蜜桃的平均成本为18元，再根据售价进价=利润列出方程，然后解方程即可【解答】解：（1）设购进水蜜桃a千克，水蜜桃售价定为m元/千克时，水果商才不会亏本，由题意得：ma（15%）a（16.5+0.6），由 a0 可解得 m18 答：水果商要把售价至少定为18元/千克才不会亏本；（2）由（1）可知，每千克水蜜桃的平均成本为18元，求出y与销售单价x之间的函数关系为y=5x+210，由题意得：（x18）y=（x18）（5x+210）=5x2+300x3780=640，解得x=26或34 答：当销售单价定为26元或34元时，每天获得的利润是640元【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，一次函数的应用，一元二次方程的应用，在解答中求出水蜜桃的平均进价是解题的关键24如图，ab为o的直径，点c为o上一动点，点d为弦ac的中点（1）当=2，求bac的度数；（2）若ab=4，当点c在o上运动时，点d始终在一个圆上，请你确定这个圆的圆心以及这个圆的半径【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系【分析】（1）由ab为o的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得c=90，由=2，可得b=2a，继而求得答案；（2）首先连接od，由点d为弦ac的中点，易得od是abc的中位线，继而可得ado=90，即可知点d在以oa为直径的圆上，则可求得答案【解答】解：（1）ab为o的直径，c=90，a+b=90，=2，b=2a，3a=90，解得：bac=30；（2）连接od，oa=ob，点d为弦ac的中点，odbc，ado=c=90，点d在以oa为直径的圆上，ab=4，oa=2，圆心是：oa的中点，这个圆的半径为：1【点评】此题考查了圆周角定理以及三角形中位线的性质注意准确作出辅助线，确定点d在以oa为直径的圆上是解此题的关键25已知关于x的一元二次方程（a+b）x22cx+（ab）=0，其中a、b、c分别为abc三边的长（1）如果x=1是方程的根，试判断abc的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断abc的形状，并说明理由；（3）如果abc是等边三角形，试求这个一元二次方程的根【考点】一元二次方程的应用【专题】几何图形问题【分析】（1）直接将x=1代入得出关于a，b的等式，进而得出a=b，即可判断abc的形状；（2）利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断abc的形状；（3）利用abc是等边三角形，则a=b=c，进而代入方程求出即可【解答】解：（1）abc是等腰三角形；理由：x=1是方程的根，（a+b）2c+（ab）=0，a+b2c+ab=0，ac=0，a=c，abc是等腰三角形；（2）方程有两个相等的实数根，（2b）24（a+c）（ac）=0，4b24a2+4c2=0，a2=b2+c2，abc是直角三角形；（3）当abc是等边三角形，（a+c）x22bx+（ac）=0，可整理为：2ax22ax=0，x2x=0，解得：x1=0，x2=1【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用以及根的判别式和勾股定理逆定理等知识，正确由已知获取等量关系是解题关键26如图，在半径为5的扇形aob中，aob=90，点c是弧ab上的一个动点（不与点a、b重合）odbc，oeac，垂足分别为d、e（1）当bc=6时，求线段od的长；（2）在doe中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由【考点】垂径定理；三角形中位线定理【分析】（1）如图（1），根据垂径定理可得bd=bc，然后只需运用勾股定理即可求出线段od的长；（2）连接ab，如图（2），用勾股定理可求出ab的长，根据垂径定理可得d和e分别是线段bc和ac的中点，根据三角形中位线定理就可得到de=ab，de保持不变；【解答】解：（1）如图（1），odbc，bd=bc=6=3，bdo=90，ob=5，bd=3，od=4，即线段od的长为4（2）存在，de保持不变理由：连接ab，如图（2），aob=90，oa=ob=5，ab=5，odbc，oeac，d和e分别是线段bc和ac的中点，de=ab=，de保持不变【点评】本题考查了垂径定理、三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角函数、勾股定理等知识，运用垂径定理及三角形中位线定理是解决第（2）小题的关键27已知：如图，abc内接于o，ab为直径，点d是弧ac上的一点，连接ad、bd，ac交bd于点f，deab于点e，交ac于点p，abd=cbd=cad（1）求证：pa=pd；（2）判断ap与pf是否相等，并说明理由；（3）当点c为半圆弧的中点，小李通过操作发现bf=2ad，请问小李的发现是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请写出bf与ad正确的关系式【考点】圆的综合题【分析】（1）如图1，连接cd，由ab是半o的直径，deab于e，得到dba+dab=ade+dae=90，于是得到dba=ade，根据圆周角定理得到dca=dba=dac，即可求出结论；（2）根据圆周角定理求出dap=adp，求出ap=dp，求出bde=dae，求出dp=fp，即可得出答案；（3）根据全等三角形的性质和判定求出ad=bf，da=dg，即可得出答案【解答】解：（1）如图1，连接cd，ab是半o的直径，adb=90，deab于e，dea=90，dba+dab=ade+dae=90，dba=ade，点d是弧ac的中点，dca=dba=dac，dap=adp，ap=dp；（2）ap=pf；理由是：ab是直径，deab，adb=deb=90，ade=abd，d为弧ac中点，dac=dba，ade=dac，ap=dp，fde=afd，dp=pf，ap=pf；（3）小李的发现是正确的，理由是：如图2，延长ad、bc，两线交于g，c为半圆弧的中点，d是弧ac的中点，cbd=gac，bca=acg=90，ac=