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第六章 力学量与本征态6 - 1 量子力学中的力学量一 力学量用算符表达 量子力学中的两个基本概念 量子态 波函数 力学量 （具有特定性质的）算符 算符代表着对波函数的一种运算（但并不一定都与力学量相对应）： ：对波函数取导数，：对波函数乘以， ： 对波函数取复共轭， ： 对波函数开平方根 考察位置算符r和动量算符： ,（6. 1） . （6. 2）经典力学中的力学量还有：势能 纯位置坐标的函数（算符不变）力 速度 动量的函数（算符可由动量的对应关系得出）动能动能 (6. 3)角动量 (6. 4)在直角坐标系中的分量表达式 (6. 5) 角动量算符的模方(的平方) . (6. 6)角动量在球面坐标系的表示 (6. 7) (6. 8) （6. 9） 利用了： ， ， ；，, .图21 - 1 球面坐标系二 量子力学中的哈密顿量 1、 哈密顿算符 薛定谔方程的普遍形式在量子力学中，薛定谔方程的普遍形式是 (6. 10)式中是体系的哈密顿算符( = 动能函数 + 势能函数), (6. 11)对于一个粒子在势场V ( r )中运动的情况，有, (6. 12)讨论： 哈密顿算符决定了体系的量子态随时间的变化规律，在量子力学中占有特别重要的地位。当我们探索用新的理论模型来解释物理现象时，核心问题之一就是要找到该体系哈密顿算符的合理表达式。 式(6. 10)并不意味着算符等于算符.在自然界中真正能够实现的波函数y ( t )的演化必须满足薛定谔方程，而绝不是说方程对于任意波函数y ( t )都成立。2、 定态薛定谔方程当哈密顿算符不显含时间t时，薛定谔方程 可以分离变量，对应的定态薛定谔方程(能量本征值方程)为 (6. 13) yE 能量本征函数能量本征值哈密顿算符为能量算符6 - 2 本征值和本征函数 线性厄米算符一 力学量算符的本征值方程1、 本征值方程和简并一般情况下，当算符作用在任意波函数上时，其结果往往都是另外一个函数。算符的本征值方程 (6. 14)算符的本征函数算符的本征值 在求解本征值方程时，如果作为力学量A的本征态，则还要满足物理上的一些要求。 由力学量算符的相应力学量的可能取值为本征值方程解出的全部本征值。如果用测量仪器测量这个力学量的取值，则只能测得其本征值。 简并度和简并态如果属于本征值的本征态是（1）个，即力学量A的本征值方程为 (6. 15)则称本征值是重简并的。称fn为简并度。在出现简并时，简并态的选择并不是唯一的。在出现简并时，简并态的选择不是唯一的，而且一般说来，这些简并态并不一定彼此正交。但是，可以证明，总可以把它们适当地线性叠加，使之彼此正交。在常见的一些问题中，当出现简并时，为了把某力学量A的简并态确定下来，往往可以用A以外的其他力学量的本征值来对简并态进行分类，此时正交性问题将自动得到解决。这就涉及到了两个或多个力学量的共同本征态问题。2、 角动量的z分量的本征值方程（例子）角动量的z分量的本征值方程 , (6. 16)本征值改上式为 , 其解为 , (6. 17)归一化因子本征值 ？当时，即当体系绕z轴旋转一周时，体系将回到空间原来的位置。可以证明，为了保证作为一个力学量所相应的算符的厄米性，要求波函数满足周期性边条件 , 即 , . (6. 18)则本征值 (6. 19)可见，微观体系的角动量在z轴方向的分量的本征值是量子化的，它只能取0, 中的一个。相应的归一化本征函数 (6. 20) 2001年4月25日3 、 动量的x分量的本征值方程（例子）动量的x分量的本征值方程 , (6. 21)本征值上式改写为 , 其解为 . (6. 22)？若粒子位置不受限制，则可以取一切实数值。与连续的本征值相应的波函数所表示的是不能归一化的平面波，习惯上取, (6. 23)则有 . (6. 24)平面波的“归一化”就用函数的形式表示了出来。在三维情况下，动量算符的本征值方程是 , (6. 25)动量算符的本征值在直角坐标系中的三个分量px, py 和pz均为实数。动量本征值方程的解是, (6. 26)为的单色平面波。在量子力学中，平面波代表粒子处在动量一定、在空间各处出现的概率都相同的状态，这是一种理想化的模型。它不能用通常的办法归一化，而是采用函数的形式“归一化”。二 线性厄米算符量子力学的基本假设测力学量A时所有可能出现的值，都是相应的线性厄米算符的本征值。若体系处在的本征态yn，则每次测量力学量A所得结果都是An 。1 、 线性算符线性算符的运算规则 (6. 27)where y1和y2：两个任意波函数，c1和c2：两个量子力学的基本假设描写物理系统的每一个力学变量都对应于一个线性算符。任意常数，一般为复数。 证明：此假设来自态叠加原理。why?设和描写的是某力学量的算符的本征态(简并态)，它们是同属于一个本征值A。由态叠加原理，线性组合所描写的也必然是属于本征值A 的本征态。得此结论的条件：算符是线性的。why?如果是线性算符，则有；反之，若不是线性算符，则上式就不成立，这就会与态的叠加原理相矛盾。以下凡是提到算符，均指线性算符。例、动量算符是线性算符。例、取复共轭不是线性算符, 因 (通常) 2 、 波函数的内积定义一个量子体系的任意两个波函数y 与j 的内积, (6. 28)其中积分对体系的全部空间坐标进行，dt 是坐标空间体积元。一维粒子 = ； 三维粒子 = . 内积的性质：对于任意波函数y 与j 以及任意复常数c1和c2 , (7. 29a), (7. 29b),(7. 29c).(7. 29d)3 、 厄米共轭算符 算符的复共轭算符： 将表达式中的所有量，都换写成其复共轭。例、动量算符的复共轭算符 = . (7. 30) 算符的转置算符: 或 . (7. 31) 算符的厄米共轭算符或伴随算符 或 . (7. 32) 厄米共轭算符就是转置共轭算符 证： （厄米共轭算符定义）（复共轭算符定义）（复共轭算符定义）.（转置算符定义） (7. 33)4、 厄米算符（自伴算符）满足下列关系的算符： 或. (7. 34)利用厄米共轭算符的定义式，可以得到. (7. 35)因此，厄米算符的定义式也为. (7. 36)三 厄米算符的性质 厄米算符与力学量 1 、 厄米算符的平均值必为实数假设一个体系处于波函数y 所描写的量子态，当对力学量A进行多次测量时，一般说来，可能出现各种不同的结果，各有一定的概率。系综：设大量的、完全相同的、均处在用波函数y 描述的状态体系的集合。平均值或期望值：对系综进行多次测量，然后对所得的结果求平均，则将会发现这个值趋于一个确定值。量子力学的基本假设对处在量子态y的体系测量力学量A时，所得到的平均值 (7. 37)以下一般都假定波函数y 已归一化（上式中的分母）. 厄米算符平均值的基本性质：体系在任何状态下，其厄米算符的平均值必为实数。证明：利用厄米算符的性质，对于任意波函数y，有, (6.38)这表明该平均值是实数。 证毕。 可证：在任何状态下平均值均为实数的算符必为厄米算符。 实验上可观测力学量的算符必须是厄米算符。因可观测量当然要求在任何状态下的平均值都是实数。故，在量子力学中厄米算符具有特殊的重要性。2 、 厄米算符的本征值必为实数厄米算符本征值的基本性质。证明：由本征值方程可见，在yn态下的平均值就等于其相应的本征值An，即对于归一化本征函数yn有. (6. 39)再根据厄米算符平均值的基本性质，即可得出上述结论。3、厄米算符本征函数的正交性如果函数和的内积为零，即， (6.40)则称和两函数是相互正交的，式中的积分遍及变量的整个变化区域。厄米算符的本征函数的基本性质：厄米算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交。证明：设 , ,假定内积存在,可得 , (利用厄米算符的本征值必为实数的性质)再利用厄米算符的定义，可得 ,将以上两式相减，立即得到.即，若Am An，必有. 证毕。通常，总是把厄米