高中数学 专题17 函数奇偶性的图象和性质课件 新人教A版必修1.ppt

函数奇偶性的图象和性质 2 应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法 1 求函数值 将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解 2 求解析式 将待求区间上的自变量转化到已知区间上 再利用奇偶性求出 或充分利用奇偶性构造关于f x 的方程 组 从而得到f x 的解析式 1 具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y轴对称 奇函数的图象关于原点对称 3 求函数解析式中参数的值 利用待定系数法求解 根据f x f x 0得到关于待求参数的恒等式 由系数的对等性得参数的值或方程 组 进而得出参数的值 4 画函数图像和判断单调性 利用奇偶性可画出另一对称区间上的图像及判断另一区间上的单调性 例1 根据函数图象判断函数的奇偶性 根据图象的对称性易知 a d为偶函数 b c为奇函数 例2 已知函数f x x x 2x 则下列结论正确的是 a f x 是偶函数 递增区间是 0 b f x 是偶函数 递减区间是 1 c f x 是奇函数 递减区间是 1 1 d f x 是奇函数 递增区间是 0 解析 将函数f x x x 2x去掉绝对值得 画出函数f x 的图像 如图 观察图像可知 函数f x 的图像关于原点对称 故函数f x 为奇函数 且在 1 1 上单调递减 故选c c 例3 已知f x g x 分别是定义在r上的奇函数和偶函数 且 则f 1 g 0 g 1 之间的大小关系是 解析 在中 用 x替换x 得f x g x 2x 由于f x g x 分别是定义在r上的奇函数和偶函数 所以f x f x g x g x 因此得 f x g x 2x 于是解得 于是 故f 1 g 0 g 1 f 1 g 0 g 1 例4 设f x 是 上的奇函数 f x 2 f x 当0 x 1时 f x x 1 求f 3 的值 2 当 4 x 4时 求f x 的图像与x轴所围成图形的面积 解 1 由f x 2 f x 得 f x 4 f x 2 2 f x 2 f x 所以f x 是以4为周期的周期函数 所以f 3 f 3 4 f 1 1 又0 x 1时 f x x 且f x 的图像关于原点成中心对称 则 1 x 0时 f x x 则f x 的图像如图所示 2 由f x 是奇函数与f x 2 f x 得f x 1 2 f x 1 f x 1 即f 1 x f 1 x 故知函数y f x 的图像关于直线x 1对称 当 4 x 4时 设f x 的图像与x轴围成的图形面积为s 则s 4s oab 4 例5 定义在r上的偶函数f x 满足 对任意的x1 x2 0 x1 x2 有 则 a f 3 f 2 f 1 b f 1 f 2 f 3 c f 2 f 1 f 3 d f 3 f 1 f 2 解 由题意知x 0 时 f x 为减函数且当x r时 f x 的图像关于直线x 0对称 所以f 1 f 2 f 3 故选a a 例6 设函数f x x3cosx 1 若f a 11 则f a 解析 观察可知 y x3cosx为奇函数 且f a a3cosa 1 11 故a3cosa 10 则f a a3 cosa 1 10 1 9 例7 若函数f x x2 x a 为偶函数 则实数a 解析 法一 f x f x 对于x r恒成立 x a x a 对于x r恒成立 两边平方整理得ax 0对于x r恒成立 故a 0 法二 由f 1 f 1 得 a 1 a 1 得a 0 例8 设奇函数f x 的定义域是 5 5 当x 0 5 时 f x 的图象如图1 则不等式f x 0的解是 解 根据奇函数的图象关于原点成中心对称的性质 画出函数f x 在 5 5 上的图象如图2 根据图象 易知不等式f x 0的解是 2 0 2 5 2 0 2 5 利用定义判断函数奇偶性的步骤 1 首先确定函数的定义域 并判断其是否关于原点对称 2 确定f x 与f x 的关系 3 作出相应结论 若f x f x 或f x f x 0 则f x 是偶函数 若f x f x 或f x f x 0 则f x 是奇函数 注意 函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件 首先看函数的定义域是否关于原点对称 若不对称则函数是非奇非偶函数 若对称 1 再根据定义判定 2 由f x f x 0或f x f x 1来判定 3 利用定理 或借助函数的图象判定 1 若函数f x 是定义在区间d的奇函数 则具备以下性质 a 定义域关于原点对称 即 若定义域为 a b 则a b 0 b 对于定义域内任意x 都有 c 奇函数的图像关于原点 0 0 对称 d 若0 d 则f 0 0 e 奇函数在关于原点对称的区间具有相同的单调性 2