第四章 稳恒电流的磁场.doc

第四章 稳恒电流的磁场教学要求：1.透彻理解磁感应强度矢量的概念.2.透彻理解毕奥萨伐尔定律矢量式的物理意义,牢固掌握其内容,并会熟练地用它来计算磁场分布.3.深入理解稳恒磁场的两个基本定理磁场的高斯定理和安培环路定理的实质，牢固掌握其内容，并会熟练地用安培环路定理计算特定条件下的磁场分布4.正确理解并掌握安培力公式和洛仑兹力公式,并能运用洛伦兹力求解电荷在均匀电场和磁场中的运动问题.教学重点：1.毕奥萨伐尔定律 2.磁场的高斯定理 3.安培环路定理教学难点： 1.洛仑兹力与安培力 2.磁场的矢势4.1 基本磁现象 安培定律4.2 电流的磁场 磁感强度4.3 稳恒电流磁场的基本方程式4.4 带电粒子在电场和磁场中的运动4.1 基本磁现象 安培定律1、磁现象1）磁极 磁铁具有磁极（磁性集中的区域） 磁极对称出现，分别称为南极（S极）、北极（N极） 同号的磁极相排斥，异号磁极相吸引。 2）电流与磁铁间的相互作用 载流导线会使周围的磁针发生偏转。 磁铁会使载流线圈发生偏转。 磁铁会使载流导线移动。3）电流与电流之间的相互作用 平行载流导线之间有相互作用力。 载流线圈之间有相互作用力。 4）磁场对运动电荷有作用力2、安培定律 安培根据电流与电流之间的相互作用力的实验结果，利用倒推方法，得到电流元之间的相互作用力的实验规律，称为安培定律。 假设两个回路，如图所示，在回路1上取电流元，在回路2上取电流元，两个电流元之间的距离为，则在国际单位制中，安培定律的数学表达为 式中，为电流元对电流元的作用力；为沿的单位矢量；为与间的夹角；为与（）间的夹角；为真空磁导率。 电流元之间相互作用的安培定律不能用实验直接验证，但对闭合载流回路积分得到的结果与实验相符。 施力电流元方向决定受力电流元的方向。 与之间有线性关系，具有叠加性。 受力电流元受到的力与受力电流元自身的方向垂直，具有横向性。 从表达式来看，如果，都增加n倍，不变，遵守平方反比律。 电流元之间的相互作用力一般不满足牛顿第三定律，但两闭合载流回路间的作用力完全符合牛顿第三定律。 电流元应理解为线电流元，当线电流的条件不满足时，应考虑电流在导线中的实际分布，将换成。 安培定律适用真空或磁介质中，同时施力电流元必须稳恒。3、例题例4.1-1分析两平等的无限长载流直导线间的相互作用力。解：设两平行直导线中的电流分别为I1和I2，导线间是距离为a。建立直角坐标，如图所示，在两导线上分别任取一电流元和，它们之间是距离为。到原点的距离为，到z轴上的距离为。电流元对电流元的作用力为其中所以电流的载流导线作用于电流元的力为载流导线1作用于载流导线2的单位长度上的力为负号表示当电流 与 同向时， 是吸引力，当电流 与 反向时， 是排斥力。4.2电流的磁场 磁感强度1、磁场及其描写1）磁场的基本性质 电流或运动电荷在周围空间激发磁场。 磁场对处于场空间中的其他电流或运动电荷都存在着力的作用，电流之间存在的磁作用是通过磁场传递的。 磁场是一种物质，具有能量，动量和有限的传播速度，并可以脱离场源而独立存在。 稳恒电流所激发的磁场称为静电场。2）安培公式电流为I的载流回路所产生的磁场对检测电流元的作用力称为安培力。 式中， ，称为磁场的磁感强度，安培力的大小为：式中为与之间的夹角，的方向垂直于电流元和磁感强度所组成的平面，并满足右手螺旋定则。3）磁感强度的定义磁感强度是描述磁场的强弱和方向的物理量，它是一个矢量。定义磁感强度的方法有很多种，这里用磁场对电流元的作用来定义。将检测电流元放在磁场中的某点，若电流元取某一方向时，受到的作用力为最大，则最大作用力与电流元的比值定义为该点的磁感强度的大小，即如果电流元取某一方向时，作用于电流元的磁场力为零，则电流元的指向就是电流元所在处的方向。具体指向由矢积的右手定则确定，如图所示。2、毕奥萨伐尔定律毕奥萨伐尔根据实验结果推得，电流元所形成的磁场，在距它的r处的磁感强度为： 其中，为载流导线上的线元，沿着其中电流的方向，为电流元到考察点的径矢，为方向的单位矢量。这一公式称为毕奥萨伐尔定律。磁感强度的大小为 式中为电流元和径矢间的夹角。的方向垂直于电流元和构成的平面，并满足右手螺旋定则，如图所示： 整个稳恒电流回路在考察点产生的磁感强度等于其中各个电流元所产生的磁感强度的矢量叠加，即： 3、平面载流回路在磁场中受到的力和力矩。1） 载流平面线圈在均匀磁场中所受的力矩当一任意形状的载流平面线圈，其电流强度为I，面积为S，则定义该线圈的磁矩为：式中S为线圈的面积，为线圈的右旋法线单位矢量。如果线圈为N匝，则一个磁矩为的载流平面线圈在均匀磁场中不受力，但受到一个力矩这力矩总是力图使该线圈的磁矩转到磁感强度矢量的方向。 力矩是矢量，其大小为，角度是线圈磁矩与磁感强度之间的夹角。的方向由矢积的右手螺旋定则确定。 当与的夹角时，力矩的数值最大，。当=0或时，力矩=0，线圈处于稳定平衡状态或非稳定平衡状态。 任意形状的平面载流线圈，当其线度远小于所考虑的空间尺度时，可以看成是磁偶极子。磁偶极矩与电偶极子的电偶极矩相对应。2）磁场对磁偶极子的作用 磁偶极子与磁场的相互作用能我们可以用相互作用能来描写磁场对磁偶极子的作用，这与电偶极子处在电场中有相似之处。相互作用能的变化可以用磁力矩作的功来量度，由此求得磁偶极子处在外磁场中的相互作用能为： 磁偶极子在非均匀磁场中受的力磁偶极子在非均匀磁场中，除受到磁场力矩作用外，还受到不等于零的合力作用。力的大小与磁感强度的变化率成正比，力的方向指向B增加的方向。4、用毕奥萨伐尔定律和磁场叠加原理求磁感应强度的方法1）根据载流导线的形状或磁场分布的特点，选择合适的坐标系。2）将载流导线分割成无限多个电流元，根据毕奥萨伐尔定律写出任一电流元在场点产生的磁感强度在坐标轴上的分量表达式。3）根据磁场叠加原理，选择合适的积分变量，积分计算整个载流导线产生的磁场。4）在求一些复杂形状的载流导线产生的磁场时，应先将其分解成典型载流导线，然后利用典型载流导线的磁场公式，求其矢量和（或积分）。5、例题例4.2-1 求无限长载流直导线的磁场解：设无限长直导线中的电流为I，考察点离导线的距离为R，在导线上任取一电流元，它离考察点的距离为r，如图所示，电流元在考察点处产生的磁场垂直于纸面向里，其大小为由图可知代入上式并进行积分得其中和分别为从考察点到导线两端的联线与R的夹角。例4.2-2 求圆电流轴线上的磁场解：一半径为R的导线圆环，流过的稳恒电流为I，考察过圆心垂直于圆环平面的轴线上任一点的磁场。设考察点到圆面的距离为z，如图所示。元电流上任一电流元到考察点的径矢为r，它到考察点的磁场为把分解成沿着z轴的分量和垂直z轴的分量，由对称性可知，叠加结果为零，于是例4.2-3 求载流螺线管内部的磁场解：设有一密绕的螺线管，单位长度上的匝数为n，考察螺线管轴线上的一点P，在距P点处取一宽度为的圆电流，其匝数为n，如图所示。该圆电流在P点的磁场为式中R是螺线管的半径。由图可知代入上式并积分得整个螺线管的电流在P点的磁场为 对无限长螺线管轴线上磁场强度为一个恒量，即 对半无限长螺线管端点磁场强度为 螺线管轴线上磁场分布如下图所示例4.2-4 电流均匀地通过无限长的平面导体薄板,求到薄板距离为x处的磁感强度.解：设导体板的宽度为2a，通过宽为单位长度的狭条的电流为。取oyz平面与导体板重合，x轴与板垂直，如图（a）所示。在板上任取一宽度为，位于到之间内的狭条。这狭条可作为无限长的直导线处理，其中电流的线密度为 ，电流为，它在考察点P的磁场为 其方向与R垂直。把分解成沿x和y方向的两个分量，由于对称性，与z轴对称的任意两狭条在P点的磁场和的x分量相互抵消，如图所示。因此。P点的磁感强度由各狭条在P点产生的磁场的y分量叠加而成，即a-a- 图（a） 图（b）由图知 ，因此代入上式得因 所以若薄板是无限宽的，即，则有例4.2-5 半径为R的薄圆盘均匀带电,电荷面密度为,若盘绕自身的中心轴线以角速度旋转，求轴线上离盘心为z处的P点的磁感强度。解：在半径为r，宽度为的圆形环带上（如图）所形成的等效电流为在P点所产生的磁感强度为方向沿z轴的方向。整个旋转圆盘产生的磁感强度为在盘心处4.3 稳恒电流磁场的基本方程式1、磁感线可以用磁感线作为描写磁场的辅助工具。规定：磁感线的切线方向与该点磁感强度的方向相同，磁感线的稀密程度正比于磁感强度大小。 磁感线是围绕电流的无头无尾的闭合曲线。 进入封闭曲面的磁感线的条数必须等于离开该封闭曲面的磁感线条数。2、磁感通量（磁通量）在磁场中取一小面积元dS，其法向单位矢量为，面元矢量为，面元处磁感强度为，与的夹角为。通过面元的磁感通量定义为： 对于有限曲面S，其磁感通量为： 积分遍及整个曲面。 磁感通量是具有正负的标量。对非闭合曲面而言，面元法线的两个方向可任选，当时， ；当 时， 。对于闭合曲面，规定外法线方向为正法线方向，穿入处磁感通量为负，穿出处磁感通量为正。 当规定通过场中任一面元的磁感线数等于该面元的磁感通量，则有通过垂直于的单位面积上的磁感线的条数（磁感线密度）等于该处B值的大小。3、磁场中的高斯定理在磁场中，通过任意闭合曲面S的磁感通量恒等于零，即这一结论称为磁场的高斯定理。 高斯定理说明磁场是无源场，磁感线具有闭合性，它是自然界中不存在磁荷的数学表述。 高斯定理反映了稳恒电流磁场的横向性，轴对称性和可叠加性。 高斯定理是引进矢量势概念的依据。 高斯定理不仅适用于真空、介质中稳恒磁场，也适用于非稳恒磁场，是电磁场理论的基本规律之一。4、磁场中的安培环路定理在稳恒电流的磁场中，磁场对任意闭合路径的线积分（环流）等于穿过这个闭合路径的所有电流强度的代数和的倍，即 当电流的方向与积分路径的绕行方向组成右手螺旋时，该电流取正号，否则取负号。这一结论就是安培环路定理。 环路定理表示磁场是涡旋场，电流以涡旋的方式激发磁场。 环路定理只反映了稳恒磁场的平方反比律，可叠加性和稳恒电流的闭合连续性。 环路定理不仅适用于真空中的稳恒磁场，也适用于有磁介质存在时的稳恒磁场，但不适用于非稳恒磁场。 只有磁场分布具有高度对称性时，才能直接用安培环路定理计算磁感强度。5、用安培环路定理求场强的方法1）分析磁场分布，判断能否用安培定理求出磁场。安培环路定理对于稳恒磁场是普遍成立的，但要用它求磁场的分布，必须使中的的数值能提到积分号外，才能进行计算，这就要求在所选取的积分回路的全部或某一部分上磁感应强度的数值不变。要满足这要求，磁场的分布必须具有一定对称性，对称性一般具有轴对称性（无限长载流直导线、无限长载流圆柱、无限长载流圆柱面、无限长载流同轴圆柱面等），以及面对称（无限大载流平面、无限大载流平板、若干无限大载流平面等）。2）选择适当积分回路 回路C必须通过所求场强的点。 回路C上各点的磁感强度的大小处处相等，的方向处处平行于线元；或回路C的一部分上的大小相等，方向平行于；而另一部分上的的方向垂直于线元；或者某一部分上的等于0。 所选的积分回路C应是简单几何曲线（场强轴对称分布时，取圆形线，当场强面对称分布时，取垂直于平面的矩形线）。3）求出积分4）计算回路C所圈围的电流的代数和。5）由环路定理求出B值。6、例题例4.3-1 一圆柱形的长直导线,截面半径为R,稳恒电流均匀通过导线的截面,电流为I,求导线内和导线外的磁场分布。解：假定导线是无限长的，根据对称性，可以判定磁感强度的大小只与观察点到圆柱体轴线的距离有关，方向沿圆周的切线如图（a）所示。在圆柱体内部，以 为半径作一圆，圆心位于轴线上圆面与轴线垂直。把安培环路定理用于这圆周，有图（a） 图（b） 在圆柱体外部，以 为半径作一圆，圆心亦位于轴线上，把安培环路定理用于这一圆周有圆柱体内外磁感强度B分布规律如图（b）所示。例4.3-2 用安培环路定理计算载流长螺线管内部的磁场解：设密绕螺线管单位长度的匝数为n，导线中的电流为I。如果螺线管很长，管内每一点的磁场几乎都平行于轴线。作矩形闭合路径，使两条边与轴线平行，并分别位于管内外，另两条边与轴线垂直，如图所示。磁场对abcd这一闭合路径的环流为即在螺线管内磁场是均匀的。磁场对abfe这一闭合路径的环流为所以即在螺线管外磁场为零。例4.3-3 在半径为a的圆柱形长直导线中挖一半径为b所圆柱形空管(a2b)空管的轴线与柱体的轴线平行,相距为d,当电流仍均匀分布在管的横截面上且电流为I 时,求空管内磁场强度的分布。解：图（a）空管的存在使电流的分布失去对称性，采用“填补法”将空管部分等效为同时存在电流密度为和的电流，如图（a）所示。这样，空间任一点的磁场可以看成由半径为a、电流密度为的长圆柱导体产生的磁场和半径为b、电流密度为的长圆柱导体产生的磁场的矢量和，即由安培环路定理不难求出如图（b）所示，将和分解，x轴上的分量为因为所以y轴分量为所以由此得空管内的磁场强度4.4 带电粒子在电场和磁场中的运动1、洛伦兹力 磁场对运动电荷的作用力称为洛伦兹力，即 洛伦兹力的大小为式中B是电荷所在处的磁感强度，是与的夹角。 洛伦兹力的方向垂直于和组成的平面，时，、三个量的方向构成右手螺旋，如图所示。 洛伦兹力对运动电荷不做功，只改变运动电荷的运动方向，而不改变其数值。 当电场和磁场同时存在时，运动电荷受到的总的作用力为，称为洛伦兹力。 两个运动电荷之间相互作用力，“大小既不相等，方向也不相反”，不满足牛顿第三定律。2、带电粒子在匀强磁场中的运动1）横向匀强磁场 磁感强度与带电粒子的速度互相垂直的磁场称为横向磁场，如图所示。处在横向匀强磁场中的带电粒子在洛伦兹力作用下作圆周运动，圆周半径为 式中m为带电粒子的质量，q为带电粒子的电量，称为带电粒子的荷质比，圆周运动的周期为 它与带电粒子的速度无关，仅取决于磁感强度和带电粒子的荷质比。2）纵向匀强磁场 磁感强度与带电粒子的速度互相平行的磁场称为纵向磁场，如图所示。带电粒子在纵向磁场中作匀速直线运动。3）任意方向的匀强磁场 若磁感强度与粒子的速度成任意角，可分解成平行于的分量和垂直于的分量，对于，磁场是纵向的，粒子沿着磁场方向作当速直线运动；对于，磁场是横向的，粒子作圆周运动。这两种运动的合成是螺旋运动。螺旋半径为 其螺距h为 3、霍尔效应 处在匀强磁场中的通电导体板，当电流的方向垂直于磁场时，在垂直于磁场和电流方向的导体板的两端面之间会出现电势差，这一现象成为霍尔效应，出现的电势差称为霍尔电势差或霍尔电压。 实验指出，在磁场不太强时，霍尔电势差与通过导体板的电流I，磁场的磁感强度B成正比，与板的厚度d成反比，即 式中K称为霍尔系数，它与载流子的密度成反比，即 式中q为载流子所带的电