2019版高考数学第9章平面解析几何2第2讲两直线的位置关系教案.docx

第2讲两直线的位置关系1两直线的平行、垂直与其斜率的关系条件两直线位置关系斜率的关系两条不重合的直线l1，l2，斜率分别为k1，k2平行k1k2k1与k2都不存在垂直k1k21k1与k2一个为零、另一个不存在2. 两条直线的交点3三种距离点点距点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|点线距点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d线线距两条平行线AxByC10与AxByC20间的距离d4. 几种常见的直线系方程(1)平行于直线AxByC0的直线系方程：AxBy0(C)(2)垂直于直线AxByC0的直线系方程：BxAy0.(3)过两条已知直线A1xB1yC10，A2xB2yC20交点的直线系方程：A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(不包括直线A2xB2yC20) 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1k2l1l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于1.()(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交()(4)已知直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1l2，则A1A2B1B20.()(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离()答案：(1)(2)(3)(4)(5) (教材习题改编)直线l过点(1，2)且与直线2x3y40垂直，则直线l的方程是()A3x2y10 B3x2y70C2x3y50 D2x3y80解析：选A.由题意知，直线l的斜率是，因此直线l的方程为y2(x1)，即3x2y10. 已知点(a，2)(a0)到直线l：xy30的距离为1，则a等于()A. B2C.1 D.1解析：选C.由题意知1，所以|a1|，又a0，所以a1. (教材习题改编)已知直线l1：ax3y10，l2：2x(a1)y10互相平行，则实数a的值是_解析：由直线l1与l2平行，可得解得a3.答案：3 若三条直线2x3y80，xy10和xby0相交于一点，则b_解析：由解得将其代入xby0，得b.答案：两条直线平行与垂直(高频考点)两条直线的平行与垂直是高考的热点，高考多出现在选择题、填空题或解答题中的一小问，一般难度较小高考对两条直线的平行与垂直的考查主要有以下两个命题角度：(1)两条直线位置关系的判断；(2)由两条直线位置关系求直线方程 典例引领 角度一两条直线位置关系的判断 设不同直线l1：2xmy10，l2：(m1)xy10，则“m2”是“l1l2”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【解析】当m2时，代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立当l1l2时，显然m0，从而有m1，解得m2或m1，但当m1时，两直线重合，不合要求，故必要性成立【答案】C角度二由两条直线位置关系求直线方程 (2018湖南东部十校联考)经过两条直线2x3y10和x3y40的交点，并且垂直于直线3x4y70的直线方程为_【解析】法一：由方程组解得即交点为，因为所求直线与直线3x4y70垂直，所以所求直线的斜率为k.由点斜式得所求直线方程为y，即4x3y90.法二：由垂直关系可设所求直线方程为4x3ym0，由方程组可解得交点为，代入4x3ym0得m9，故所求直线方程为4x3y90.法三：由题意可设所求直线的方程为(2x3y1)(x3y4)0，即(2)x(33)y140，又因为所求直线与直线3x4y70垂直，所以3(2)4(33)0，所以2，代入式得所求直线方程为4x3y90.【答案】4x3y90两直线平行、垂直的判断方法若已知两直线的斜率存在(1)两直线平行两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等；(2)两直线垂直两直线的斜率之积等于1.提醒判断两条直线位置关系应注意：(1)注意斜率不存在的特殊情况；(2)注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件 通关练习1已知直线l1：2ax(a1)y10，l2：(a1)x(a1)y0，若l1l2，则a()A2或 B. 或1C. D1解析：选B.因为直线l1：2ax(a1)y10，l2：(a1)x(a1)y0，l1l2，所以2a(a1)(a1)(a1)0，解得a或a1.故选B.2求满足下列条件的直线方程(1)过点P(1，3)且平行于直线x2y30；(2)已知A(1，2)，B(3，1)，线段AB的垂直平分线解：(1)设直线方程为x2yc0，把P(1，3)代入直线方程得c7，所以直线方程为x2y70.(2)AB中点为，即，直线AB斜率kAB，故线段AB垂直平分线斜率k2，所以其方程为y2(x2)，即4x2y50.距离公式 典例引领 (1)已知A(2，0)，B(0，2)，若点C在函数yx2的图象上，则使得ABC的面积为2的点C的个数为()A4 B3C2 D1(2)若两平行直线3x2y10，6xayc0之间的距离为，则c的值是_【解析】(1)设点C(t，t2)，直线AB的方程是xy20，|AB|2.由于ABC的面积为2，则这个三角形中AB边上的高h满足方程2h2，即h.由点到直线的距离公式得，即|tt22|2，即t2t22或者t2t22.因为这两个方程各有两个不相等的实数根，故这样的点C有4个(2)依题意知，解得a4，c2，即直线6xayc0可化为3x2y0，又两平行线之间的距离为，所以，因此c2或6.【答案】(1)A(2)2或6距离的求法(1)点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式(2)两平行直线间的距离利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；利用两平行线间的距离公式 通关练习1已知点P(4，a)到直线4x3y10的距离不大于3，则a的取值范围是()A10，10 B10，5C5，5 D0，10解析：选D.由题意得，点P到直线的距离为.又3，即|153a|15，解得0a10，所以a的取值范围是0，102与直线l1：3x2y60和直线l2：6x4y30等距离的直线方程是_解析：l2：6x4y30化为3x2y0，所以l1与l2平行，设与l1，l2等距离的直线l的方程为3x2yc0，则：|c6|c|，解得c，所以l的方程为12x8y150.答案：12x8y1503l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是_解析：当两条平行直线与A，B两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大又kAB2，所以两条平行直线的斜率为k，所以直线l1的方程是y1(x1)，即x2y30.答案：x2y30对称问题 典例引领 已知直线l：2x3y10，点A(1，2)求：(1)点A关于直线l的对称点A的坐标；(2)直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程；(3)直线l关于点A(1，2)对称的直线l的方程【解】(1)设A(x，y)，由已知解得所以A.(2)在直线m上取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点M必在直线m上设M(a，b)，则解得M.设直线m与直线l的交点为N，则由得N(4，3)又因为m经过点N(4，3)，所以由两点式得直线m的方程为9x46y1020.(3)设P(x，y)为l上任意一点，则P(x，y)关于点A(1，2)的对称点为P(2x，4y)，因为P在直线l上，所以2(2x)3(4y)10，即2x3y90. 通关练习1(2018河北五校联考)直线axy3a10恒过定点M，则直线2x3y60关于M点对称的直线方程为()A2x3y120 B2x3y120C2x3y120 D2x3y120解析：选D.由axy3a10，可得a(x3)(y1)0，令可得x3，y1，所以M(3，1)，M不在直线2x3y60上，设直线2x3y60关于M点对称的直线方程为2x3yc0(c6)，则，解得c12或c6(舍去)，所以所求方程为2x3y120，故选D.2如图，已知A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是_解析：直线AB的方程为xy4，点P(2，0)关于直线AB的对称点为D(4，2)，关于y轴的对称点为C(2，0)，则光线经过的路程为|CD|2.答案：2 由一般式确定两直线位置关系的方法直线方程l1：A1xB1yC10(AB0)l2：A2xB2yC20(AB0)l1与l2垂直的充要条件A1A2B1B20l1与l2平行的充分条件(A2B2C20)l1与l2相交的充分条件(A2B20)l1与l2重合的充分条件(A2B2C20) 易错防范(1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在若两条直线都有斜率，可根据相应公式或性质判断，若直线无斜率，要单独考虑(2)求点到直线的距离时，若给出的直线不是一般式，则应化为一般式(3)在运用两平行直线间的距离公式d时，一定要注意将两方程中x，y的系数化为相同的形式1(2018石家庄模拟)已知点P(3，2)与点Q(1，4)关于直线l对称，则直线l的方程为()Axy10 Bxy0Cxy10 Dxy0解析：选A.由题意知直线l与直线PQ垂直，直线PQ的斜率kPQ1，所以直线l的斜率k1.又直线l经过PQ的中点(2，3)，所以直线l的方程为y3x2，即xy10.2已知过点A(2，m)和点B(m，4)的直线为l1，直线2xy10为l2，直线xny10为l3.若l1l2，l2l3，则实数mn的值为()A10 B2C0 D8解析：选A.因为l1l2，所以kAB2.解得m8.又因为l2l3，所以(2)1，解得n2，所以mn10.3已知直线l1：y2x3，直线l2与l1关于直线yx对称，则直线l2的斜率为()A.BC2D2解析：选A.直线y2x3与yx的交点为A(1，1)，而直线y2x3上的点(0，3)关于yx的对称点为B(3，0)，而A，B两点都在l2上，所以kl2.4已知点A(1，2)，B(3，4)P是x轴上一点，且|PA|PB|，则PAB的面积为()A15B.C6D.解析：选D.设AB的中点坐标为M(1，3)，kAB，所以AB的中垂线方程为y32(x1)即2xy50.令y0，则x，即P点的坐标为(，0)，|AB|2.P到AB的距离为|PM|.所以SPAB|AB|PM|2.5(2018河南安阳模拟)两条平行线l1，l2分别过点P(1，2)，Q(2，3)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间距离的取值范围是()A(5，)B(0，5C(，)D(0， 解析：选D.当PQ与平行线l1，l2垂直时，|PQ|为平行线l1，l2间的距离的最大值，为，所以l1，l2之间距离的取值范围是(0， 故选D.6设曲线yex在点(0，1)处的切线与曲线y(x0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为_解析：设点P的坐标为，x00，曲线y在点P处的切线斜率k2(x00)又因为曲线yex在点(0，1)处的切线斜率k1ex|x01，k1k21，所以x1，所以x01，所以点P的坐标为(1，1)答案：(1，1)7已知一直线经过点(1，2)，并且与点(2，3)和(0，5)的距离相等，则此直线的方程为_解析：若所求直线的斜率存在，则可设其方程为：y2k(x1)，即kxyk20，由题设有，即|k1|k7|，解得k4.此时直线方程为4xy20.又若所求直线的斜率不存在，方程为x1，满足题设条件故所求直线的方程为4xy20或x1.答案：4xy20或x18(2018山西四校联考)若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0，2)与点(4，0)重合，点(7，3)与点(m，n)重合，则mn_解析：由题可知纸的折痕垂直平分点(0，2)与点(4，0)的连线，可得折痕所在直线为y2x3，又折痕也垂直平分点(7，3)与点(m，n)的连线，于是解得所以mn.答案：9已知直线l1：xa2y10和直线l2：(a21)xby30(a，bR)(1)若l1l2，求b的取值范围；(2)若l1l2，求|ab|的最小值解：(1)因为l1l2，所以b(a21)a20，即ba2(a21)a4a2，因为a20，所以b0.又因为a213，所以b6.故b的取值范围是(，6)(6，0(2)因为l1l2，所以(a21)a2b0，显然a0，所以aba，|ab|2，当且仅当a1时等号成立，因此|ab|的最小值为2.10已知直线l经过直线2xy50与x2y0的交点P.(1)点A(5，0)到直线l的距离为3，求直线l的方程；(2)求点A(5，0)到直线l的距离的最大值解：(1)因为经过两已知直线交点的直线系方程为(2xy5)(x2y)0，即(2)x(12)y50，所以3，解得或2.所以直线l的方程为x2或4x3y50.(2)由解得交点P(2，1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到直线l的距离，则d|PA|(当lPA时等号成立)所以dmax|PA|.1(2018洛阳统考)已知点P(x0，y0)是直线l：AxByC0外一点，则方程AxByC(Ax0By0C)0表示()A过点P且与l垂直的直线B过点P且与l平行的直线C不过点P且与l垂直的直线D不过点P且与l平行的直线解析：选D.因为点P(x0，y0)不在直线AxByC0上，所以Ax0By0C0，所以直线AxByC(Ax0By0C)0不经过点P，排除A、B；又直线AxByC(Ax0By0C)0与直线l：