第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷详解(小学组).pdf

学习改变命运 1 第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛 初赛试卷 小学组 初赛试卷 小学组 时间 2011 年 3 月 19 日 10 00 11 00 一 选择题 每小题一 选择题 每小题 10 分分 以下每题的四个选项中 仅有一个是正确的 请将表以下每题的四个选项中 仅有一个是正确的 请将表 示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内 1 若连续的四个自然数都为合数 那么这四个数之和的最小值为 若连续的四个自然数都为合数 那么这四个数之和的最小值为 A 100 101 102 103 解析 最小的四个连续的合数是 24 25 26 27 所以四个数之和的最小值为 24 25 26 27 102 故选 C 2 用火柴棍摆放数字 用火柴棍摆放数字 的方式如下 的方式如下 现在 去掉 现在 去掉 的左下侧一根 就成了数字 的左下侧一根 就成了数字 我们称 对应 去掉 我们称 对应 去掉 的上下两根和左下角一根 就成了数字 的上下两根和左下角一根 就成了数字 我们称 对应 规定 我们称 对应 规定 本身对应 本身对应 按照这样的规则 可以对应出 按照这样的规则 可以对应出 个不同的数字 个不同的数字 解析 对应 0 对应 1 对应 2 对应 3 对 应 4 对应 5 所以可以对应出 5 个不同的数字 故选 C 3 两数之和与两数之商都为 那么这两数之积减两数之和与两数之商都为 那么这两数之积减这两数之差 大减小 等于 这两数之差 大减小 等于 解析 这道是一个简单的和倍问题 易得大数为 36 7 小数为 6 7 两数之积为 366216 7749 两 数之差为 36630 777 这两数之积减这两数之差 大减小 等于 216306 49749 故选 D 学习改变命运 2 4 老师问学生 昨天你们有几个人复习数学了 老师问学生 昨天你们有几个人复习数学了 张 没有人张 没有人 李 一个人李 一个人 王 二个人王 二个人 赵 三个人赵 三个人 刘 四个人刘 四个人 老师知道 他们昨天下午有人复习 也有人没复习 复习了的人说的都是真话 没复习的老师知道 他们昨天下午有人复习 也有人没复习 复习了的人说的都是真话 没复习的 人说的都是假话 昨天这 个人中复习数学的有 人说的都是假话 昨天这 个人中复习数学的有 个人 个人 解析 这五句话中只能有 1 句是真话 所以这 5 个人中复习数学的有 1 个人 故选 B 5 如右图所示 在 的方格点上 有 只机器小蚂蚁 他们如右图所示 在 的方格点上 有 只机器小蚂蚁 他们 以相同的速度沿线爬行到格点以相同的速度沿线爬行到格点 M N P Q 图中空心圆圈所表 图中空心圆圈所表 示的四个位置 中的某个上聚会 所用时间总和最小的格点是示的四个位置 中的某个上聚会 所用时间总和最小的格点是 D Q 解析 以一个小格的边长做为一个单位 先选择 M 作为标准 从 上往下 7 只蚂蚁走的单位数分别为 7 3 1 2 2 4 7 总路 程 26 再拿 N 与 M 做对比 7 只蚂蚁走的路程变化分别是 少走 了 1 少走了 1 多走了 1 多走了 1 多走了 1 少走了 1 少走 了 1 所以总路程为 26 1 25 同理可得走到 P 的总路程为 27 走 到 Q 的总路程为 26 所以 所用时间总和最小的格点是 N 6 用若干台计算机同时录入一部书稿 计划若干小时完成 如果增加用若干台计算机同时录入一部书稿 计划若干小时完成 如果增加 3 台计算机 则只需原台计算机 则只需原 定时间的定时间的 75 如果减少 如果减少 3 台计算机 则比原定时间多用小时 那么原定完成录入这部书稿台计算机 则比原定时间多用小时 那么原定完成录入这部书稿 的时间是 的时间是 小时 小时 A B C D 解析 总工作量不变 计算机的数量比是速度比的倒数 设原来计算机是 x 台 75 13 314 x x 解得 x 9 再设原计划时间是 y 根据题意 有 5 9 6 93 y y 解得 y 5 3 学习改变命运 3 二 填空题 每小题二 填空题 每小题 10 分 满分分 满分 40 分分 7 有图由有图由 4 个正六边形组成 每个面积是个正六边形组成 每个面积是 6 以这 以这 4 个正六边形的顶点为个正六边形的顶点为 顶点 可以连接面积为顶点 可以连接面积为 4 的等边三角形有的等边三角形有 个个 解析 如图 将满足条件的等边三角形分为 A 型和 B 型两种 代入原图中 很容易找出所有情况 一共是 8 个 8 甲 乙两车分别从甲 乙两车分别从 A B 两地同时出发 相向而行 两地同时出发 相向而行 3 小时相遇后 甲掉头返回小时相遇后 甲掉头返回 A 地 乙继地 乙继 续前行 甲到达续前行 甲到达 A 地后掉头往地后掉头往 B 行驶 半小时后和乙相遇 那么乙从行驶 半小时后和乙相遇 那么乙从 A 到到 B 共需共需 分钟分钟 解析 如图 假设第一次相遇地点为 C 地 第二次相遇地点为 D 地 甲车到达 C 点用了 3 个小 时 所以掉头回去到达 A 点一定也是用了 3 个小时 而从 A 地到 D 地甲用了半个小时 根据速 度不变 路程比等于时间比 AC 6AD CD 5AD 由已知 乙走完 CD 用了 3 5 小时 所以 乙走 AD 应该花 3 5 5 0 7 小时 所以 乙从 A 到 B 共需 3 3 5 0 7 7 2 小时 即 432 分钟 9 如右图所示 梯形 如右图所示 梯形 ABCD 的面积为的面积为 117 平方厘米 平方厘米 AD BC EF 13 厘米 厘米 MN 4 厘米 又已知与厘米 又已知与 O 点 那么阴影部分的总点 那么阴影部分的总 面积为面积为 平方厘米 平方厘米 解析 梯形 ABCD 被 EF 分为两个小的梯形 梯形 ABFE 和梯形 EDCF 根据蝴蝶定理 容易得到 ABMEFM SS CDNEFN SS 所以 1 2252 2 EMFN SSMNEF 白色部分 所以阴影部分的面积为 117 52 65 平方厘米 学习改变命运 4 10 在右面的加法竖式中 如果不同的汉在右面的加法竖式中 如果不同的汉字字代表不同的数字 是代表不同的数字 是 的算式成立 那么四位数的算式成立 那么四位数华杯初赛的最大值是的最大值是 解析 首先 一定有 华 1 其次 考虑 杯 若 杯 9 则 十 必须是 1 与 华 相同 与题意不符 若 杯 8 则 十 不能为 1 只能是 2 这时 兔 只能取 1 矛盾 若 杯 7 同样可以推出 十 只能是 2 现在我们要让 初 尽可能大 9 和 8 明显不可能 若 初 6 可以有 1769 234 68 2011 所以 华杯初赛的最大值是 1769 部分部分地区附加题 地区附加题 第第 11 题 题 有有 6 个时刻 个时刻 6 30 6 31 6 32 6 33 6 34 6 35 这几个时刻里 这几个时刻里 时刻时针和分针靠时刻时针和分针靠 得最近 得最近 时刻时针和分针靠得最远时刻时针和分针靠得最远 解析 理解为圆形跑道的追及问题 分针每分钟走 1 格 时针每分钟走格 1 12 格 6 30 时针与 分针的间隔为 30 30 1 1 12 2 5 30 12 格 时针与分针的间隔每分钟缩小 11 12 格 所以分针与时 针在 6 31 间隔19 12 格 6 32 间隔 8 12 格 6 33 间隔 3 12 格 6 34 间隔14 12 格 6 35 间隔 25 12 格 所以 6 33 时刻时针和分针靠得最近 6 30 时刻时针和分针靠得最远 第第 12 题 题 一个纸片倒过来 一个纸片倒过来 0 1 8 三个数字转三个数字转 180 后不变 后不变 6 变成变成 9 9 变成变成 6 其他数字转 其他数字转 180 后后 没意义 问 没意义 问 7 位数转位数转 180 后不变的有后不变的有 个 其中能被个 其中能被 4 整除的数有整除的数有 个 这些转个 这些转 180 后不变的后不变的 7 位数的总和是位数的总和是 解析 若ABCDEFG转 180 后不变 那么 D 一定是 0 1 8 中的一个 C 和 E B 和 F A 和 G 这三组每组内两个数字只能同时为 0 1 或 8 或者一个 6 一个 9 这样只需要确定 A B C D 四个数字即可 所以 7 位数转 180 后不变的共有 4 5 5 3 300 个 在这其中能被 4 整除的数末两位数只能是 00 08 16 60 68 学习改变命运 5 80 88 96 其中末尾为 00 80 60 的数转 180 后首位为 0 矛盾 排除 所以其中能被